Преподавание алгебры в 7 классе с углубленным изучением математики

1. Преподавание алгебры в 7 классе с углубленным изучением математики

Феоктистов
Илья Евгеньевич
Москва
1

2. УМК Ю.Н. Макарычева для классов с углубленным изучением математики

2

3. Какова цель? Откуда и куда?

3

4. Зачем нужно математическое образование?

Концепция
школьной
геометрии
И.Ф.
Шарыгина.
Прочитать ее
можно в этой
книге (и в
отдельном
издании).
4

5. Зачем нужны математические классы?

Концепция
углубленного
математическо
го
образования
А.Н.
Землякова. Ее
изложение – в
приложении к
методическому
пособию…
5

6. Учебники на сайте издательства «Просвещение»

6

7. Планирование: два варианта…

7

8. Особенности преподавания алгебры в 7 математическом классе

7-ой класс – профориентационный…
Расширение традиционных тем за счет: а)
некоторых дополнительных теоретических
вопросов; б) традиционных вопросов
алгебры, но из старших классов; в)
разнообразных по сложности задач;
Историзм в учебнике как повод для
повышения мотивации учащихся…
Некоторые подробности – ниже…
8

9. п. 8. Одночлен. Умножение одночленов (3 ч)

Иногда степень одночлена обозначают как
deg – от английского слова degree – степень.
9

10. Свойства логарифмов в 7 классе…

При изучении темы «Одночлены» можно
записать еще одно свойство, напоминающее
свойство логарифмов…
10

11. Некоторые особенности преподавания темы «Многочлены» в 7 математическом классе

Очень полезные вопросы: чему равно
значение многочлена с одной переменной
при х=1, х=0, х=-1?
В учебнике содержатся несколько «хитрых»
упражнений: № 331 (найдутся ли такие
целые значения переменной, при которых
значение многочлена будет четным числом,
нечетным числом, числом, кратным 5);
№ 335: верно ли, что при любом
натуральном значении многочлен …
принимает отрицательные значения?
11

12. Вычисление значений многочленов по схеме Руффини-Горнера

Ниже
приведено упражнение №336,
лежащее в основе вычисления
многочленов по схеме Горнера…
12

13. Вычисление значений многочленов по схеме Руффини-Горнера

Упражнение
336 и его продолжение,
упражнение 337…
13

14. Вычисление значения многочлена по схеме Горнера

Х=7
Х=7
2
-9
-32
2
?
2
-9
-32
2
5
?
0
0
-57
-57
14

15. Вычисление значения многочлена по схеме Горнера

Х=7
Х=7
2
-9
-32
0
-57
2
5
3
?
2
-9
-32
0
-57
2
5
3
21
?
15

16. Схема для вычисления значения многочлена по схеме Горнера

стоящее слева от заполняемой клетки
число умножается на х и складывается с
числом, стоящим над ней.
Х=7
2
-9
-32
0
-57
2
5
3
21
?
16

17. О лексикографической форме стандартного вида многочленов

Все одночлены должны быть записаны в
стандартном виде;
Все подобные слагаемые должны быть
приведены;
Одночлены должны быть записаны по
убывающим степеням сначала первой (по
алфавиту) переменной, потом – второй, и т.д.
Например, многочлен
2a 3b5 4a 3b 2 5ab 25 25
записан в стандартном виде с точки зрения
лексикографической формы.
Заметим, что старший коэффициент этого
многочлена равен 2, хотя одночлен
наибольшей степени имеет коэффициент -5!
17

18. Сложение и вычитание многочленов в столбик

Необычно для современного школьника…
Записывать нужно многочлены так, чтобы подобные
слагаемые располагались друг под другом;
Особенно важно уметь вычитать многочлены,
поскольку это действие будет включаться в состав
деления многочленов уголком (8 математический
класс)…
18

19. Что еще специального, «математического» в теме «Многочлены»?

19

20. «Математических» задач по этой теме много в дополнительных упражнениях…

20

21. «Математических» задач по этой теме много в дополнительных упражнениях…

21

22. «Математических» задач по этой теме много в дополнительных упражнениях…

22

23. Умножение одночлена на многочлен: кое-что для «математиков»…

23

24. Что еще специального, «математического» в этой теме?

Конечно, задачи! Например,
24

25. Что еще специального, «математического» в этой теме?

А вот еще задачи…
25

26. Что еще специального, «математического» в этой теме?

Не стоит проходить мимо исторического
материала – несколько слов о «геометрической
алгебре» древних греков нужно сказать…
Умножение одночлена на многочлен в столбик,
точнее, наоборот, следует не просто показать,
но и спросить с учащихся, выполнив одно из
упражнений двумя способами («фонтанчиком» и
в столбик).
26

27. Кое-что для математиков…

Если в начале урока сказать, что учащимся сегодня
на уроке предстоит увидеть и самим «потрогать»
экспонат, датируемый III веком до нашей эры, а
потом красиво преподнести формулу умножения
многочленов, то …
А еще в учебнике есть хорошие задачи...
27

28. Умножение многочленов в столбик… 1703 год

28

29. Кое-что для математиков…

В учебнике есть хорошие задачи...
29

30. Для учащихся математического класса

Уравнения …
30

31. Для учащихся математического класса

31

32. И еще…

32

33. Для математического класса…

Можно строго доказать свойства уравнений,
данные в учебнике без доказательства;
Можно добавить уравнения с параметром,
взяв их из «Дидактических материалов»…
33

34. Для математического класса…

Это только начало!
34

35. Уравнения, сводящиеся к линейным, для учащихся математического класса…

35

36. Исторические задачи…

Заметим, что никаких уравнений в современном
смысле слова, в древних папирусах или глиняных
табличках нет: есть лишь задачи и их решения без
каких-либо обоснований, почему нужно решать так,
как указывается. Реконструкция этих решений
приводит к тем уравнениям, которые представлены в
учебнике.
36

37. Некоторые нюансы для учащихся математического класса

Любое число является одночленом, а одночлен многочленом. Тогда мы должны считать, что любой
многочлен можно разложить на множители хотя бы
потому, что любой многочлен можно представить в
виде произведения числового множителя и другого
многочлена. Например,
Говоря о разложении многочленов на множители
мы не будем рассматривать случай, когда один из
многочленов не содержит переменной. Т.е.
рассмотренный выше многочлен неразложим на
множители.
37

38. О разложении квадратного трехчлена на множители в 7 математическом классе

Метод неопределенных коэффициентов (приводящий
фактически к системе из двух уравнений с двумя
неизвестными, одно из которых – уравнение второй
степени);
Метод проб и ошибок (работа со средним
слагаемым).
38

39. Для математического класса…

Задачи, задачи, задачи…
39

40. Есть ли в этом пункте что-то для математического класса?

«Доказательство» того, что два различных числа
равны, (упражнение 689) может привести некоторых
учащихся в ступор… В сети есть по этому поводу
юмористический рассказ (не для детей) «2=1»…
40

41. Дополнительные упражнения – для математиков!

41

42. И еще для математического класса…

К упражнению № 722: формула для умножения
чисел указанного вида не выразительна, ее нужно
пояснить на примере а) для умножения 32 и 38
умножим количество десятков (число 3) на
следующее число (на 4) и к полученному результату
(число 12) припишем произведение последних цифр
указанных чисел 16. Получим 1216 – это ответ!
42

43. Некоторые тонкости для математиков (и не только!)

О математических терминах и русском языке…
43

44. И еще кое-что для математиков и для их учителей…

Замечено, что учащиеся объясняют своим товарищам
математический материал доходчивее, чем это
делает самый опытный учитель! Почему? Ответ
прост: учитель не может говорить, не используя
математических терминов, а ученик может! Это
вовсе не значит, что учитель должен снизить
уровень научности своей речи до уровня обыденного
языка (чтоб его лучше понимали учащиеся)!
44

45. Алгебра – это искусство решать уравнения…

Уравнения для математического класса…
45

46. О «геометрической» алгебре Евклида

Тождество, доказанное в 5-м предложении II книги
«Начал» Евклида, позволяло Евклиду
преобразовывать прямоугольник со сторонами a и b
в квадрат со стороной x, то есть решать уравнение
46

47. И еще немного о «геометрической» алгебре

47

48. Папирус с текстом «Начал»…

48

49. Искусство решения уравнений или история человеческой мысли?

Нечетные числа пифагорейцы изображали в виде Гобразных чисел (гномонов). № 770 – это две задачи:
сумма нечетных последовательных чисел есть
квадратное число; разность квадратных чисел есть…
49

50. Софизмы…

Имеешь то, что не терял. Терял
рога? Значит у тебя есть рога!
50

51. Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5

Правило возведения в квадрат двузначных чисел,
оканчивающихся на 5: число десятков умножаем на
число, следующее после него, и к полученному
произведению приписываем 25. После нескольких
«проверок» становится актуальным вопрос, с которого
началась древнегреческая наука – «Почему»! И здесь
можно решить упражнение № 949…
51

52. Для учащихся математического класса…

Некоторые упражнения достойны математиков…
52

53. О царевне Дидоне и первых задачах на экстремумы…

Опираясь на содержание пункта «Квадратный
трехчлен», можно выйти на решение простейших
изопериметрических задач и рассказ о финикийской
царевне Дидоне…
53

54. Для математического класса…

Большинство упражнений должны изучаться в 9 классе…
54

55. Треугольник Паскаля, бином Ньютона, комбинаторика, теория вероятностей…

…воспроизводить
треугольник Паскаля,
получать из коэффициентов
одной строки коэффициенты
следующей строки
(коэффициенты бинома
Ньютона)…
55

56. Треугольник Паскаля… Кому он нужен?

«Трактат об арифметическом треугольнике», Блез
Паскаль, 1653 год;
«Общий трактат о числе и мере», Николо Тарталья,
1560 год;
Учебник арифметики, Петр Апиан, иллюстрация на
титульном листе, начало XVI века;
Иллюстрация в книге китайского математика …, 1303
год;
Омар Хайям, 1100 год;
Индийские трактаты, из которых узнал о биномиальном
треугольнике Омар Хайям;
…
56

57. Что в этом пункте найдут математики?

Упражнения, упражнения…
57

58. График функции и математический класс…

58

59. Линейное уравнение с двумя переменными и его график для математиков

Ничего особенного! Только упражнения!
59

60. Пишу новые ДМ и КДУ к новым учебникам…

60

61. И в заключение …

Если
у Вас возникли вопросы и Вы на
них не получили ответа во время
семинара – пишите мне на электронную
почту [email protected], и мы
что-нибудь придумаем!
61