Повторение курса алгебры 10 класса

1.

Повторение
Алгебра и начала
анализа (ЕМН)
10 класс

2.

Разделы 1 полугодия
Раздел 10.1А: Функция, ее свойства и график
Раздел 10.1В: Тригонометрические функции
Раздел 10.1.С: Обратные
тригонометрические функции
Раздел 10.2.А: Тригонометрические
уравнения
Раздел 10.2.В: Тригонометрические
неравенства.
Раздел 10.2.С: Вероятность

3.

Цель урока
Повторить разделы:
Функция, ее свойства и график
Тригонометрические функции
Обратные тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения
Тригонометрические неравенства.

4.

Задание
По графику определите:
А) Область определения функции. Является
ли функция непрерывной?
B) Область значений функции.
C) Является ли функция ограниченной?
D) Является ли функция периодической?
E) Является ли функция четной (нечетной)?
Объясните.
F) Определите промежутки монотонности
функции, экстремумы.

5.

6.

Функция y = cos x
Свойства функции:
1.
2.
3.
4.
D(у) = (-∞;+∞)
E(у) = [- 1 ; 1]
T = 2π
y = cos x – четная функция,
график симметричен относительно
оси ординат
5. cos x = 0 при х = π /2 + πn, n Z (нули функции)
промежутки знакопостоянства:
cos x > 0 при - π /2 + 2πn < x < π /2 + 2πn, n Z
cos x < 0 при π /2 + 2πn < x < 3π /2 + 2πn, n Z
6. промежутки монотонности:
возрастает на отрезках [ π+ 2πn; 2π+ 2πn], n Z
убывает на отрезках [0 + 2πn; π+ 2πn], n Z
7. экстремумы:
y max = 1 при х = 2πn, n Z
График функции
y min = - 1 при х = π+ 2πn, n Z
y = cos x - косинусоида

7.

Функция y = sin x
Свойства функции:
1. D(у) = (-∞;+∞)
2. E(у) = [- 1 ; 1]
3. T = 2π
4. y = sin x – нечетная функция,
график симметричен относительно
начала координат
5. sin x = 0 при х = πn, n Z (нули функции)
sin x > 0 при
0 + 2πn < x < π+ 2πn, n Z
sin x < 0 при
π + 2πn < x < 2π+ 2πn, n Z
6. возрастает на отрезках [- π /2 + 2πn; π /2 + 2πn], n Z
убывает на отрезках [ π /2 + 2πn; 3π /2 + 2πn], n Z
7. экстремумы:
y max = 1 при х = π /2 + 2πn, n Z
y min = - 1 при х = - π /2 + 2πn, n Z
График функции
y = sin x - синусоида

8.

Функция y = tg x
Свойства функции:
1.D(у): х
k , k Z
2
2. E(у) = ;
3. T = π
4. y = tg x – нечетная функция
график симметричен относительно
начала координат
5. tg x = 0 при х = πn, n Z (нули функции)
промежутки знакопостоянства:
tg x > 0 при 0 + πn < x < π /2 + πn, n Z
tg x < 0 при - π /2 + πn < x < 0 + πn,
n Z
6. возрастает на интервалах
(- π /2 + πn; π /2 + πn), n Z
7. экстремумов нет
График функции y = tg x – тангенсоида

9.

Свойства
функции:
Функция
y = ctg x
1. D(ctg x) : х k ,
k Z
2. E(ctg x) = ;
3. T = π
4. y = ctg x – нечетная функция
график симметричен относительно
начала координат
5. ctg x = 0 при х = π /2 + πn, n Z (нули
функции)
промежутки знакопостоянства:
ctg x > 0 при 0 + πn < x < π /2 + πn,
n Z
ctg x < 0 при π /2 + πn < x < π + πn,
n Z
График функции y = ctg x –6. промежутки монотонности:
убывает на интервалах (0+ πn; π+ πn),
котангенсоида
n Z
7. экстремумов нет

10.

Функция y = arcsin x и ее свойства
Если |а| ≤ 1, то arcsin а – это такое число
из отрезка [-π/2; π/2], синус которого
равен а.
Если |а| ≤ 1, то
arcsin а = t
sin (arcsin a) = a
sin t = а,
-π/2 ≤ t ≤ π/2;

11.

Функция y = arcsin x и ее свойства
1. D(y) = [-1; 1].
2. E(y) = [-π/2; π/2].
3. arcsin (-x) = - arcsin x – функция
нечетная.
4. Функция возрастает на [-1; 1].
5. Функция непрерывна.
sin-1x=arcsin x

12.

Геометрическая иллюстрация
у
arcsin(- a) = - arcsin a
2
a
arcsin a
0
-a
2
х
arcsin(- a)

13.

Функция y = arccos x и ее график
у
π
y = arccos x
π/2
y=соs x
π
-1
0
1
х

14.

Функция y = arccos x и ее свойства
1. D(y) = [-1; 1].
2. E(y) = [0; π].
3. Функция не является ни четной, ни
нечетной.
4. Функция убывает на [-1; 1].
5. Функция непрерывна.
cos-1x=arccos x

15.

Функция y = arccos x и ее свойства
Если |а| ≤ 1, то arccos а – это такое число
из отрезка [0; π], косинус которого равен
а.
Если |а| ≤ 1, то
arccos а = t
cos t = а,
0 ≤ t ≤ π;
cos (arccos a) = a
arccos (-a) = π – arccos a, где 0 ≤ а ≤ 1

16.

Геометрическая иллюстрация
у
arccos (-a) = π – arccos a
2
arccos (-a)
arccos a
-a
a
2
0
х

17.

Работаем устно
arcsin 1
arcsin 0
arccos 1
arccos 0
2
arcsin
2
1
arcsin
2
1
arccos
2
1
arccos
3
arcsin(-x) = - arcsinx
1
arcsin( )
2
1
arccos( )
2
3
2
arcsin( )
arccos(
)
2
2
arccos(-x) = - arccosx

18.

Вычислите:
а) sin (arcsin 3 )
5
3
б) cos (arcsin
)
5
3
в) tg (arcsin 5 )

19.

20.

простейшие тригонометрические
уравнения
sin x a
x arcsin a 2 n, п Z
x arcsin a 2 n, n Z .
Частные случаи:
sin x 0
x n, n Z
sin x 1
x
2
2 n, n Z
sin x 1
x
2
2 n, n Z

21.

простейшие тригонометрические
уравнения.
cos x a
x arccos a 2 n, n Z
cos x 0
x
2
n, n Z
Частные случаи:
cos x 1
cos x 1
x 2 n, n Z
x 2 n, n Z

22.

простейшие тригонометрические
уравнения
tgx a
x arctga n, n Z
Частные случаи:
tgx 1
tgx 0
x n, n Z
x
4
n, n Z
tgx 1
x
4
n, n Z

23.

простейшие тригонометрические
уравнения
ctgx a
x arcctga n, n Z
ctgx 0
x
2
n, n Z
Частные случаи:
ctgx 1
x
4
n, n Z
ctgx 1
3
x
n, n Z
4

24.

Задание: а)Решить уравнение
б)Указать корни уравнения,
удовлетворяющие условию.
1.а)
2.а)
3.а)
4.а)
x
x
x
x
3 sin cos cos sin sin 2 x x ;
2
2
2
2
2
x
3
x
4 cos 1 sin x sin 2 x
2 ; 2
2
3
x ; 2
2
2
3 sin x cos
x
2
2
13
6tg x
12 0
cos x
3 7
x ;
2 2
3
cos
2 x cos x 0
2
x 2 ;
2
2
5.а)

25.

Решить неравенство:
2
cos x
2
3
4
2
3
arccos(
)
2
4
4
1. Отметим на оси абсцисс
интервал x 2 / 2.
2. Выделим дугу окружности,
соответствующую интервалу.
3. Запишем числовые значения
граничных точек дуги.
4. Запишем общее решение
неравенства.
y
1
1
-1
2/2
3
4
0
x
-1
3
3
2 n x
2 n, n Z
4
4

26.

Решить неравенство:
y
1
1
arcsin
2 6
6
2
-1
1
0
x
-1
6
1
sin x
2
1. Отметим на оси абсцисс
интервал y < 1/2.
2. Выделим дугу окружности,
соответствующую интервалу.
3. Запишем числовые значения
граничных точек дуги.
4. Записать общее решение
неравенства.
5
13
2 n x
2 n, n Z
6
6

27.

1
sin x
2
6
5
6
13
6
17
6
7
x
2 n; 2 n , n Z
6
6
25
6
29
6

28.

Решить неравенство:
tgt
2
y
3
3
arctg 3
-1
0
x
tgx 3
1. Отметим на линии тангенсов
интервал tgx 3
2. Выделим дуги окружности,
соответствующую интервалу.
3. Запишем числовые значения
граничных точек дуги.
4. Запишем общее решение
неравенства.
2
t n; n n Z
2
3

29.

1. Решите неравенство, применяя
тригонометрические формулы:
а) 4sin3x∙cos3x> 2
b)
sin 3