Прикладные методы расчёта конструкций РКТ

1.

Литература по курсу «Прикладные методы
расчёта конструкций РКТ»
1. Бутенин Н.В. и др. Курс теоретической
механики. Том II. М.: 1985. гл. 2, 19, 20, 28.
2. Бишоп Р. Колебания. М.: 1979.
3. Магнус К. Колебания: Пер с нем. – М.: Мир,
1982. – 304 с.
4. Яблонский А. А., Норейко С. С. Курс теории
колебаний. М.: Высшая школа. 1975.
5. Пановко Я. Г. Введение в теорию
1
механических колебаний. М.: 1980, 1991.

2.

6. Мигулин В. В. и др. Основы теории колебаний.М.: Наука, Гл. ред. физ-мат лит. 1978.
7. Светлицкий В. А., Стасенко И. В. Сборник задач
по теории колебаний. М.: 1979.
8. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. / Ред.
Совет: В. Н. Челомей (пред.) М.: Mашиностроение, 1978. Т.1: Колебания линей-ных
систем / Под ред. В. В. Болотина, 352 с.
9. Ильин И. М. и др. Теория колебаний: Учеб. Для
вузов / Под общей ред. К. С. Колесникова. – М.:
Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. – 272 с. –
(Сер. Механика в техн. ун-те; Т.4)
10. Калашников Б. А. Нелинейные колебания
механических систем: Учеб. пособие. – Омск:
ОмГТУ, 2006. – 206 с.
2

3.

СПИСОК ПРИНЯТЫХ СОКРАЩЕНИЙ
АТТ – абсолютно твёрдое тело;
МС – механическая система;
3

4.

1. ПОНЯТИЕ ЖЁСТКОСТИ СИСТЕМЫ С
ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
4

5.

5

6.

Рис. 1.1
. Колебательные системы с одной поступательной
степенью свободы q:
а – линейная МС – груз на пружине;
б нелинейная МС – осциллятор Дуффинга
6

7.

7
Рис.1.2
. Колебательные системы с одной угловой
степенью свободы
а – восстанавливающий элемент
два последовательно соединённых торсиона
с диском или тонким ободом на конце;
б математический маятник;
при малых угловых перемещениях обе МС
могут считаться линейными

8.

n
1
2
П q ci i q ;
2 i 1
q
F q
;
q
.
F П
c
2 ;
q q
2
8

9.

9
a
б
С.5
Рис. 1.3 Примеры линейных колебательных МС с
одной степенью свободы:
а –параллельно-последовательное соединение пружин;
б – последовательное соединение торсионов

10.

q
Для схемы
На рис. 1.1 а
Для схемы
На рис. 1.3 а
;
10
1 2 q
c1
c2
; 2 q
1 q
c1 c2
c1 c2
4
Gdi
GJ
ci
p ,i
3
ci
8Di ni
q
li
1
1
2
2
П с1 1 с2 2
2
2
1 с1с2 2
П
q
2 с1 с2

11.

с1с2
ceq
с1 с2
11
eq 1 2 q
С.6
ceq с1 с2
eq 1 2 q
С.6

12.

12
Рис. 1.4
.Нелинейная зависимость
деформации упругого элемента в
С.6
осцилляторе Дуффинга обусловлена
ортогональностью оси пружины и
вектора перемещения q

13.

13
1
2
П q c0 q ;
2
1
1
2
П q c0 q c0
2
2
q l l s0
2
2
> П(q):=taylor(П(q), q=0, 6);
S0 q
1 s0 2 1
П q c0 q 2 1
2 l
2l
l 4
1 2 1 4
c1q ck q ;
2
4
4

14.

s0
ceq c1 c0
l
s0 0
3
cq
F q 2
2l
c0
s0
ck 2 1
2l
l
4
c0 q
2
8l
ceq c1 0
F 3cq
c q
2
q
2l
2
14
14

15.

в)
а)
б)
15

16.

а)
а
б)
г)
в)
16

17.

4
Gd
c
8 D 3n
E
G
, = 0,3 – для стали;
2 1
,
T
N
2
соб
с
m
соб
c m
2
соб
2
Т
17

18.

Введение
18

19.

19

20.

20

21.

21

22.

22

23.

23

24.

К. МАГНУС, СТР. 106
24

25.

25

26.

q
q
г)
a)
M
ж)
q
q
M
С
в)
q
д)
2r
б)
а
з)
M
е)
26

27.

q
1
2
3
q
а)
q
1
2
3
б)
г)
д)
q
в)
Составление динамических моделей систем с несколькими
степенями свободы первым способом
2
е)
27

28.

Дискретизация распределенной системы
по второму способу. Пример:
c
c
c
28

29.

Характеристика сил, действующих при колебаниях МС
1. Силы, зависящие от времени:
Mq q cq F( t )
Mq qотн cqотн 0
q qотн x
Mqотн qотн cqотн Mx
Предположим, что..
x x0 cos t
F t Mx Mx0 cos t
2
29

30.

• 8 октября 2018года . Лекция №5
30

31.

M восст mgL sin
2. Позиционные силы:
mgL
M восст mgL sin 0
cos 0 ( 0 )
1!
mgL
mgL
2
sin 0 ( 0 )
cos 0 ( 0 )3
2!
3!
mgL 3
M восст mgL
...
6
0,1 3 0.001
Если
, то
1 , то
mgL
Если
M восст
M восст c
0,001
0,16%
6 0,1
6
6
1
100% 17%
6 1
c mgL , Нм
31

32.

Для схемы :
Для схемы :
c c0 L mgL
2
c c0 L mgL
а)
2
б)
П : П1 П 2 ;
1
П1 : mgL 1 cos ; П1 mgL 2 ;
2
1
2
П 2 : c L
2
П : П;
32

33.

Mg p0 pокр S
Mg pокр S p0 S
pV p0V0 ;
p0V0
h
p
p0
V0 Sq
h q
33

34.

p0 Sh
Fвосст q Mg pокр S
;
h q
h
Fвосст q p0 S 1
;
h q
1
q
Fвосст Q 1
;Q
1 Q
h
34

35.

> Res:=taylor((p_0*V_0/(V_0+S*q)-p_okr)*S,
q=0,2);
p_0 S 2
Res := ( p_0 p_okr ) S
q O( q 2 )
V_0
> Res:=convert(Res, polynom);
p_0 S 2 q
Res := ( p_0 p_okr ) S
V_0
Уравнение равновесия:
> eq:=M*g=(p_0-p_okr)*S;
eq := M g ( p_0 p_okr ) S
35

36.

Восстанавливающая сила:
2
p_0 S q
> F_rest:=rhs(eq)-Res; F_rest :=
V_0
2
p_0 S
c :=
V_0
Производная точной силы в нуле
> c:=diff((M*g-(p_0*V_0/(V_0+S*q)-p_okr)*S),q);
2
p_0 V_0 S
c :=
( V_0 S q ) 2
> q:=0; c:=c;
q := 0
p_0 S 2
c :=
V_0
p0 S
с
h
36

37.

Fвосст сq
Подробности и дальнейшее
рассмотрение в книге
Калашников Б.А.
«Нелинейные колебания
механических систем».
Омск-2006г. 206 стр. На Стр. 20.
37

38.

3. Силы, зависящие от относительной скорости
Fдисс q 1qотн
F q 0 sign q
– сила линейного неупругого
сопротивления (трения);
– сила сухого трения;
F q n q sign q
n
– сила нелинейно-вязкого трения
или:
Fдисс q n qотн
n 1
qотн
F q 1q 3 q 5 q ..
3
5
38
(с. 33 НКМС - 2006) ЛР .№3 В НКМС-2006, СТР . 107

39.

39

40.

40

41.

Точное значение коэффициента
2
(квадратичное трение) для гидравлического
амортизатора:
41

42.

Н
H м
1
м / сек с
Q f др
2 p
Q Sqотн
S
Fдисс p S
Fдисс qотн
S
3
2 f др
2
qотн qотн ;
2
S 3
2 f др42
2

43.

Зависимость диссипативных сил от
относительного перемещения
qотн Aотн cos t qотн Aотн sin t
2
sin t 1 cos t
q
отн
n
sin t 1
Aотн
Fдисс qотн n qотн
n
n
2 2
sign qотн n qотн
n 1
(*)
qотн
43

44.

q
Fдисс qотн n Aотн 1 отн
Aотн
n
nl
F , дисс
A
n Aотн
2
n
2
n
НКМС – 2006, СТР. 35-36
44

45.

45

46.

c 100 Н м
12 с
1
0<n<1
n=0
n=1
n=2
n>2
46

47.

Найдём количество… …линейной силой трения
в линейной по восстанавливающей силе системе
qотн Aотн cos t
lin
diss
F
qотн Aотн sin t
Возводя в квадрат qотн
2
qотн Аотн sin t
и
lin
Fdiss
, получим
2
qотн F
1
Аотн Аотн
lin
diss
a Аотн b Аотн W
S ab
A
2
отн47

48.

Q q,t
Q(q, q )
48

49.

Свободные колебания МС
Уравнение Лагранжа II рода:
d T T
П
dt q q
q
Если
ri
-радиус-вектор i-ой точки определяется только
-одной обобщённой координатой
q
и не зависит явно от времени, то
n
n
1
1
2
T mi i mi i i
2 i 1
2 i 1
d ri ri
1 2
ri
i
q и тогда T q mi
2 i 1 q
dt q
n
49
2

50.

ri
A q mi
i 1
q
n
2
q 0
A 0 2
A q A 0 A 0 q
q ..
2!
1 2
T aq
A 0 a
2
П П q
П 0 2
П q П 0 П 0 q
q ...
2!
50

51.

П 0 0; П Fвосст q и Fвосст 0 0;
1 2
П cq , где с П 0
2
П 0 0; c 0 c 0
Движение происходит вблизи устойчивого состояния
статического равновесия.
51

52.

aq cq 0; соб
q
2
соб
с
;
a
q 0;
q C1 sin coб t C2 cos соб t;
q 0 q0 и q 0 q0
C1
q0
соб
; C2 q0
52

53.

> eq_1:=q =C_1*sin(omega*t)+
C_2*cos(omega*t);
> eq_2:=q_v=diff(rhs(eq_1),t);
> Sys:=[eq_1, eq_2];
> B:=[C_1, C_2];
> Res:=solve (Sys, B);
> Res:=subs(t=0, q=q_0, q_v=q_v_0, Res);
> C_1:=rhs(Res[1][1]);
> C_2:=rhs(Res[1][2]);
53

54.

ВЫДЕЛЕНИЕ ИЗ СПИСКА СПИСКОВ
ПОСТОЯННОЙ С_1:
> C_1:=rhs(Res[1][1]);
( rhs - правая часть от
q_v_0
C_1 :=
right hand side)
И
ВЫДЕЛЕНИЕ ИЗ СПИСКА СПИСКОВ
ПОСТОЯННОЙ С_2:
> C_2=rhs(Res[1][2]);
C_2 := q_0
В ИТОГЕ ПОЛУЧАЕМ ПОСТОЯННЫЕ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ВИДЕ:
С1
q0
cоб
С2 q0
54

55.

q
q0
соб
q0
соб
sin соб t q0 cos соб t
q0 С2 Asin
С1 Acos
qгде A sin
q Asin собt ,
t , где
соб
2
q0
соб q0
2
A
q0 ; arctg
q0
соб
55

56.

соб
Рис. Собственные гармонические колебания линейной
56
системы с одной степенью свободы

57.

Следует заметить, что амплитуда
собственных незатухающих колебаний :
q0
A q
соб
2
2
0
определяется только начальными условиями,
а частота собственных незатухающих колебаний:
соб
с
1
,
c
.
a
Период собственных незатухающих колебаний:
2 .
T
соб
57

58.

Линейные диссипативные системы
с одной степенью свободы
d T T
П
Fdiss
dt q q
q
Fdiss - обобщённая сила линейного трения
Примем, что на каждую точку системы..
Ri i i
i - коэффициент трения
Основное выражение
для обобщённой силы:
ri
F Ri
q
i 1
n
58

59.

ri i
q q
и соотношение
ri
i
i i
i i
q
q
i 1
i 1
n
Fdiss
С их учётом:
n
Так как
i 1
1
i
i i
q 2 q
2 q
2
i ,
n
то
Fdiss
i 1
i
2 q
q i 1 2
2
i
n
2
i i
59

60.

n
Сумма
i 1
2
i i
формальна сходна с T, и её называют
диссипативной функцией Рэлея
2
1 2
Ф q
2
Fdiss
- обобщённый коэффициент
вязкого (линейного)
трения, или сопротивления.
Ф
q
q
aq q cq 0
Х. уравнение:
Частное
решение:
a c 0
2
e
t
60
Его корни:

61.

1,2
4ac
2a
2
, где
h h
2
Вынося
соб
2
соб
и обозначая
1,2 соб 1
Если
q e
2
h
соб
h
2a
2 ca
1
1,2 соб i 1
C
sin t C2 cos t
ht
1
*
соб
2
*
соб61

62.

*
соб
2
соб
h соб 1
2
2
t 0 : q 0 q0 ; q 0 q0
C1
q0 hq0
*
соб
; C2 q0
C1 Asin ; C2 Acos
q Ae
ht
, где
sin t
*
соб
62

63.

A
q0 hq0
*2
соб
2
q
2
0
C2
q0
tg
C1 q0 hq0
*
соб
63

64.

ПРОПУСТИТЬ,
ПО ДРУГОМУ ПУТИ!
64

65.

> restart;
q:=exp(-h*t)*
((C_1+C_2)*cos(omega*t)+
I*(C_1-C_2)*sin(omega*t));
q := e
( h t )
( ( C_1 C_2 ) cos( t ) ( C_1 C_2 ) sin ( t ) I )
> q_v:=diff(q,t);
q_v := h e
e
( h t )
( h t )
( ( C_1 C_2 ) cos( t ) ( C_1 C_2 ) sin ( t ) I )
( ( C_1 C_2 ) sin ( t ) ( C_1 C_2 ) cos( t ) I )
>t:=0; eq_1:=q_0=q; eq_2:=q_v_0=q_v;
t := 0
eq_1 := q_0 C_1 C_2
eq_2 := q_v_0 h ( C_1 C_2 ) ( C_1 C_2 ) I
65

66.

> sys:=[eq_1,eq_2];
sys := [ q_0 C_1 C_2 , q_v_0 h ( C_1 C_2 ) ( C_1 C_2 ) I ]
> B:=[C_1,C_2];
B := [ C_1 , C_2 ]
1
I ( q_v_0 q_0 h q_0 I )
q_0 q_v_0 I q_0 h I
2
Res := C_1
, C_2
2
> Res_1:= (Res[1]);
66

67.

> Res_1:= (Res[1]);
1
I ( q_v_0 q_0 h q_0 I )
q_0 q_v_0 I q_0 h I
2
Res_1 := C_1
, C_2
2
> C_1:=rhs(Res_1[1]);
q_0 q_v_0 I q_0 h I
C_1 :=
2
> C_2:=rhs(Res_1[2]);
1
I ( q_v_0 q_0 h q_0 I )
2
C_2 :=
67

68.

> С2:=C_1+C_2;
1
I ( q_v_0 q_0 h q_0 I )
q_0 q_v_0 I q_0 h I 2
Ñ2 :=
2
> C2 := simplify( С2, 'symbolic' );
C2 := q_0
C1:=I*(C_1-C_2);
1
I ( q_v_0 q_0 h q_0 I )
q_0 q_v_0 I q_0 h I 2
I
C1 :=
2
> C1 := simplify(C1, 'symbolic' );
q_v_0 q_0 h
C1 :=
68

69.

• ДРУГОЙ ПУТЬ:
ДЛЯ СОВРЕМЕННЫХ
СТУДЕНТОВ
69

70.

> restart;
q:=exp(-h*t)*(C_1*sin(omega*t)+C_2*
cos(omega*t));
q := e
( h t )
( C_1 sin ( t ) C_2 cos( t ) )
> q_v:=diff(q,t);
q_v :=
h e
( h t )
( C_1 sin ( t ) C_2 cos( t ) ) e
( h t )
( C_1 cos( t ) C_2 sin ( t ) )
> t:=0; eq_1:=q_0=q;
eq_2:=q_v_0=q_v;
t := 0
eq_1 := q_0 C_2
eq_2 := q_v_0 h C_2 C_1
70

71.

> sys:=[eq_1,eq_2];
sys := [ q_0 C_2 , q_v_0 h C_2 C_1 ]
> B:=[C_1,C_2];
B := [ C_1 , C_2 ]
> Res:=solve(sys, B);
q_v_0 h q_0
Res := C_1
, C_2 q_0
> Res_1:= Res[1];
q_v_0 h q_0
Res_1 := C_1
, C_2 q_0
71

72.

> C_1:=rhs(Res_1[1]);
q_v_0 h q_0
C_1 :=
> C_2:=rhs(Res_1[2]);
C_2 := q_0
72

73.

Aог t Ae ; T
ht
A t
A t T
; hT h
*
e
hT *
2
*
соб
1
2
*
Разлагая..
*
соб 1
2
;
*
соб
соб
2
1
2
> taylor (2 * Pi * psi / sqrt(1 psi^2), psi = 0, 3);
3
2 O( )
2
73

74.

2
1
2
соб
*
соб
Зависимость декремента и отношения частот от коэф отн затух
соб
*
соб
74

75.

Если
1
, то такой осциллятор называется
передемпфированным.
aq q cq 0 1,2 соб 2 1
Оба корня – вещественные и отрицательные.
1t
q C1e C2 e
2t
q0 2 q0
q0 1q0
C1
; C2
1 2
2 1
75

76.

restart;
q:=C_1*exp(lambda_1*t)+C_2*exp(lambda_2*t)
;
Произвольные постоянные
> C_1:=(q_v_0-lambda_2*q_0)/(lambda_1lambda_2);
q0 2 q0
>
C1
1 2
> C_2:=(q_v_0-lambda_1*q_0)/(lambda_2lambda_1);
q_v_0 lambda_1 q_0
C_2 :=
lambda_2 lambda_1
76

77.

> lambda_1:=- соб *psi+sqrt(psi^2-1);
> lambda_2:=-
соб *psi-sqrt(psi^2-1);
РИСУНКИ К КУРСУ ТК\Затух при psi больше 1.mws
psi:=1.2; q_v_0:=1.0*i; q_0:=0.1;
q:=q;
q := (.7537783615*i+.1404534034)*exp(-.5366750419*t)+
(-.7537783615*i-.4045340337e-1)*exp(-1.863324958*t)
t_min:=0; t_max:=5;q_min:=-0.4;
q_max:=+0.4;
seq_q_v_0:=plot ( [seq (q, i = [-1,0,1] ) ], t=t_min..t_max,
thickness=2, colour=[RED, BLUE, GREEN]):
77

78.

with (plots):
Net:=coordplot ( cartesian,
[ t_min..t_max, q_min..q_max],
сolor = [black,black], grid=[5,5],
view = [t_min..t_max, q_min..q_max+0.04],
ytickmarks=4):
> display(seq_q_v_0, Net);
78

79.

Влияние начальной скорости на апериодический
характер движения передемпфированного осциллятора
79

80.

Если
1
q e
соб t
Пример:
,
решение имеет вид:
q0 q0 соб q0
Ai
1
hT ln
ln
0,511
Ai 1
1 0,4
*
> restart;
> eq:=2*pi*psi/sqrt(1-psi^2)=0.511;
eq :=
2
1
2
0.511
> psi:=solve(eq,psi);
:=
511.
261121. 0.4000000 10
7
2
,
511.
261121. 0.4000000 10807 2

81.

> pi:=evalf(Pi);
> psi_1:=psi[1];
psi_1 := 0.08106053952
Влияние трения на собственную частоту:
> omega_s_s:=omega_s*sqrt(1-psi_1^2);
omega_s_s := 0.9967091797 omega_s
81

82.

Каноническая форма
1
aq q cq 0
q Ae
ht
cos
*
соб
t
82

83.

c t
dq dq d
q
c q
dt d dt
dq dq d
2
q
c q
dt d dt
a c q c q c q 0
c
q
q
q
0
2
a c
a c
2
83

84.

h
c
2 ca
q 2 q q 0
y qe
ht
q ye
qe
84

85.

q y e
q y e
y e
y e
2
y e
y e
y ( 1 )y 0
2
1 1
1
85

86.

1.
1
1
2
2
y y 0
0 :
1 соб
2
соб 1
*
соб
.
2
1
соб
2
*
соб
86

87.

q cоб q 0
y y 0
2
2
q Aco s( ct ) y Y cos( )
q ye
Y e
cos( )
q0 hq0
Y A q0
*
c
2
2
87

88.

Как меняются
t 0
0
y q e
Из
q0 q0
q q c
y
y qe
y0 q0
y0 q0 q0
q e
q0
q0
88

89.

q0 0,1 м q0 2 м / сек,
Пример:
0,2
q0
2
q0
0,2 м
соб 10
соб 10с
1
y0 q0 q0 0,2 0,1 0,2 0,22 м
89

90.

q hq
2
0
0
Y A q0
соб 1 2
Подставляя в:
q0 q0 c
y0 q0 q0
q0 q0
y0
2
Y A
2
2
y0
y
2
0
90
2

91.

q0 h q0
tg *
соб q0
q0 h q0 соб
y0
Иначе:
2
y0
соб 1 q0
y C1 cos C2 sin
y C1 sin C2 cos
C1 Y cos , C2 Y sin
0 : C1 y0
C2
y0
y0
tg
y0
91

92.

92

93.

Второй случай
1
y (1 )y 0
2
1 k 0
2
2
y k y 0 k 0
2
2
2
y e
1, 2 k
k
k
y C1 e C2 e
k
k
y
k
C
e
k
C
1
2e
(3 a, б)
93

94.

Напоминание:
y qe
y q e
y0 q0
q e
y0 q0 q0
y0 C1 C2
y0 k C1 k C2
Решая, которую
94

95.

Получим:
k y0 y0 k y0 y0
C2
C1
2k
2k
q0 2 q0
C1
1 2
.
q0 1q0
C2
2 1
Эти были поучены ранее из размерного УД
95

96.

Подставляя в С_1 и С_2 корни
1,2 соб 1
и учитывая
2
.
НУ:
y0 q0 q0
k y0 y0
C1
2k
y0 q0 и
получим
k y0 y0
C2
2k
96

97.

Перепишем решение
y C1 e
k
C2 e
k
С использованием гиперболических косинуса и синуса:
ch( k )
e
k
e
2
k
sh( k )
(8)
e
k
e
2
k
97

98.

Решая (8)
e
e
k
Заменяя в решении
k
ch( k ) sh( k )
ch( k ) sh( k )
k
k
y C1 e C2 e
Экспоненты на..
y C1 ch k sh k
C2 ch k sh k
Или:
y C1 C2 ch k
C1 C2 sh k
98

99.

Вводя новые постоянные
C1 C1 C2 y0
y0
C2 C1 C2
k
y C1 ch k C2 sh k
Вводя новые постоянные:
C2 A sh
C1 A ch
И учитывая соотношения:
ch sh 1
ch ch ch sh sh
2
2
y A ch k
Получим окончательно:
(*)
99

100.

В котором новые постоянные:
A C C
2
1
2
2
y0
y0
k
2
2
y0
C2
th
C1
ky0
решение (*) имеет такой же вид
как для колебательной системы
с заменой обычного косинуса на..
гиперболический
100

101.

Сводка результатов
1
1
2
2
y y 0 y k y 0
y Ay cos( )
y Ay ch k
101

102.

Ay
y0
y0
2
2
y0
Ay y0
k
2
2
y0
tg
y0
y0
th
ky0
102

103.

Частота
1
Параметр
k
1
2
2
q ye
Вернёмся к
в которую подставим
y C1 e
k
q C1 e
C2 e
( k )
k
C2 e
( k )
Получим:
103

104.

104

105.

Т.к.
и
k 1
2
k 0
Вернёмся к случаю:
1
q Ae
y A
k
0
, то
Поэтому реш.
апериод.
И рассмотрим постоянные времени
y qe
q
y
105

106.

Демпф-е кол хар. 2 вел, одна из которых хар. Темп спада огиб а вторая – есть перод
п
Темп спада
п
1
постоянной времени
Тп
а размерная
п
1
1
Тп
,с
соб соб h
106

107.

выражение для огибающей
Aог Ae
п
п
геометрический смысл
Производная
При
0
Aог
A
п
e
п
Угловой касательной
107

108.

Aог 0
A
п
Уравнение касательной в нуле
q A 1
п
Пересекает ось тау в точке тау_п
п
e
1
0,368
e
108

109.

109

110.

Общее уравнение касательной к огибающей в произвольной точке имеет вид:
q Ae
*
п
1
п
*
Передемпфированный осциллятор характеризуется 2 пост вр:
1
1
п ,1
и п ,2
k
k
Пример на 2 пост вр передемпф осц:
110

111.

111

112.

112

113.

113

114.

касательная к произвольной точке
п
*
q Ae
1
п ,1
k
1
п
*
п ,2
1
k
114

115.

Собственные частоты и формы
колебаний консервативных систем
с конечным числом степеней свободы
d T
dt q j
T
П
q
q
j
j
П q1 ..qn
115

116.

П( q1 ,q2 ,...,qn ) П( 0,...,0 )
П
1
П
qk
q j qk
2! j 1 k 1 q j qk
k 1 qk 0
n
n
n
2
0
1
П
qk q j qm ...
3! k 1 j 1 m 1 qk q j qm
n
n
n
3
0
116

117.

..Весьма громоздко даже для 2-х степеней свободы.
Пример:
П
П q1 ,q2 П 0,0
q1
2
1 П
2
2 q1
П
q1
q2
q1 0
q2 0
q1 0
q2 0
q2
П
П
2
2
q1 2
q1q2
q2
2
q1 q2 q1 0
q2 q1 0
q1 0
q2 0
q2 0
q2 0
2
2
117

118.

3
1 П
3
3! q1
П
q 3 2
q1 q2
q1 0
3
3
1
q2 0
qq
q1 0
q2 0
2
1 2
П
П
2
3
3
q
q
q
...
1
2
2
2
3
q1 q2 q1 0
q2 q1 0
q2 0
q2 0
3
3
118

119.

П 0,0..0 0
Как и для сист с 1 ст св..:
П
П 0,0,..,0
k 1 qk
n
Теперь, при рассм задачи в лин постановке...:
0
qk 0
1
П( q1 ..qn ) c jk q j qk
2 j ,k 1
n
П
cjk
q j qk
2
- Обобщ коэф-ты жёсткости
c j k ck j
Максвелл и Бетти...:
q j 0
qk 0
119

120.

Пример:
Найти коэф-ты жёсткости для системы:
При выборе в кач обобщ к-т абс перемещений..:
120

121.

1
2
П q1 ,q2 c1q1
2
1
2
2
c0 ,1
q1 l1 l1 S0 ,1
2
1
2
c2 q2 q1
2
1
2
2
c0 ,2
q2 l2 l2 S0 ,2
2
2
2
121

122.

Сразу видно, что П составлена для типично нелинейной системы,
и для нахождения
с jk
П надо представить в виде
1
П( q1 ,q2 )
2
c
2
j ,k 1
jk
q j qk
1
c11q1q1 c12 q1q2 c21q2 q1 c22 q2 q2
2
(*)
122

123.

mtaylor П q1 ,q2 , q1 0, q2 0 , 4
S0,1
1
П q1 ,q2 c1 c2 c0,1 q1q1
2
l1
c2 q1q2 c2 q2 q1
(**)
S0,2
c2 c0,2
q2 q2
l
2
123

124.

c11 c1 c2 c0 ,1
c12 c2
S0 ,1
l1
c21 c2
c2 2 c2 c0 ,2
S0 ,2
l2
124

125.

c11 c12
C c c
21 22
S0 ,1
c
c
c
c
2
1 2 0 ,1 l
1
S0 ,2
c2
c2 c0 ,2
l
2
125

126.

c0 ,1 c0 ,2 S0 ,1 0
S0 ,2 0
Если...относительные перемещения
1 2
П q1,отн ,q2,отн с1q1,отн
2
2
1
2
2
с0 ,1 q1,отн l1 l1 S0 ,1
2
1
2
c2 q2,отн
2
2
2
1
2
с0 ,2 q1,отн q2,отн l2 l2 S0 ,2
2
126

127.

mtaylor
c11 c12
C c c
22
21
S0 ,1
S0 ,2
c
c
c
1
0
,1
0 ,2
l1
l2
S0 ,2
c0 ,2
l2
c0 ,2
l2
S0 ,2
c2 c0 ,2
l2
S0 ,2
127

128.

c11
...
C ci1
...
cn1
... c1 j
...
... ci j
...
... cn j
... c1n
...
... ci n
...
... cn n
128

129.

В МКЭ...:
Pi ci ,1 ..
..ci j
..cin j
Pi ci ,1 1 .. ci j j .. cin n
129

130.

С исп МЖ..
1
П q1 ..qn
2
c
n
j ,k 1
jk
q j qk
Записывается в виде:
1 T
П q1 ..qn q C q
2
130

131.

Лекция 3 ноября 2016г.
131

132.

T q1 ..qn ,q1 ..qn
1
2
2
2
A11 q1 A22 q2 .. An n qn
2
2A12 q1q2 .. 2A n 1 n q n 1 qn
Ai j Ai , j Ai , j q1 ..qn
a
jk
a j k ak j M
В этом сл ..
Ряд Маклорена
132

133.

Пример.
a j k 1 2
133

134.

J C ,1
J C ,2
T 1 , 2 , 1 , 2
1
2
2
2
J c ,1 M 1 1 b1 R1 2b1 R1 cos 1 1
2
1
2
2
2
J c ,2 M 1 2 b2 R2 2b2 R2 cos 2 2
2
mtaylor 1,0 0 2,0 0
134

135.

a11
M
a21
a12
a22
J C ,1 M ,1 b1 R1
0
Если
bi 0 :
2
2
J C ,2 M ,2 b2 R2
0
3 M ,1
M 0
2
0
M ,2
135
В общем случае при рассм. малых колебаний:

136.

В общем сл при рассм малых кол выр д кин эн..., в кот М - ММасс
1
Т a jk q j qk
2 j ,k 1
a11 ...
...
M ai1 ...
...
an1 ...
n
1 T
T q M q
2
a1 j
...
aij
...
anj
... a1n
...
... ain
...
... ann
136

137.

Об уст МС с кон ч ст св....
Критерий Сильвестра:
c11 0 ,
c11
c12
c21
c22
0,
c11
c12
c13
c21
c22
c23 0 ,...,
c31
c32
c33
c11
...
c1n
...
...
cn 1
...
... 0.
cnn
137

138.

Эти усл аналог кр У д конс сист с 1 ст св, для У кот по Ляпунову необ и дост, чт
с_экв>0
сэкв с0 l mgl сэкв с0 l mgl
2
И всегда..
сэкв 0
2
mg c0 l
сэкв 0
Отр. жёсткость
138

139.

1.3.2. Уравнения движения
консервативных систем
с конечным числом
степеней свободы
139

140.

a j1q1 a j 2 q2 ... a jn qn
c j1q1 c j 2 q2 ... c jn qn 0
j 1..n
M q C q 0
(*)
Пример составления уравнений
системы с двумя степенями свободы:
140

141.

141

142.

T( q1 ,q2 ,q1 ,q2 )
1
A11 q1q1 2A12 q1q2
2
2
2
m1q1 m2 q2
2
A22 q2
2
2
142

143.

Т.к. – абс перем и распр масса пружин не учитыв, то перекр произв в Т не будет
q1q2 0 q2 q1 0
Поэтому:
A21 0
A11 m1
от
A2 2 m2
q1 q 2
A12 0
, и матрица масс принимает вид
m1
M 0
.
0
m2
143

144.

Кинетическая энергия записывается
в виде
1
T q1 ,q2
q M q
Т
2
m1
1
q1 q2
2
0
0 q1
.
m2 q2
Найдём производные:
d T
q1
П
C
M
q
;
q2
q
dt
q
j
144

145.

j 1,2 Система уравнений движени
M q C q 0
В развёрн. виде:
m1
0
0 q1
m2 q2
S0 ,1
c1 c2 c0 ,1 l
1
c2
c2
q
1
0
S0 ,2 q2
c2 c0 ,2
l2
145

146.

S0 ,1
m1 q1 c1 c2 c0 ,1
q1 c2 q2 0
l1
m q c q c c S0 ,2 q 0
2 2 2 1 2 0 ,2 l 2
2
S0 ,1 S0 ,2 0
:
m1 q1 c1 q1 c2 ( q2 q1 ) 0
(*)
m2 q2 c2 ( q2 q1 ) 0
146

147.

Каждое из ур содержит по одному ускорению и обе обобщ к-ты.
Уравнения взаимосвязаны, и интегрировать их надо совместно.
Если добавить ещё одну третью массу
справа, то система уравнений
примет вид:
147

148.

m1 q1 c1 q1 c2 ( q2 q1 ) 0
m2 q2 c2 ( q2 q1 ) c3 ( q3 q2 ) 0
m q c ( q q ) 0
2
3 3 3 3
Рассм ур имеют по одному инерц члену , т.к. Т имеет канон вид:
148

149.

Нет перекр чл
qi q j
А есть только..
2
i
q
Т.е.:
n
1 T
1
2
Т q M q ak qk
2
2 k 1
Канон вид.. Абс перем и пренебр массами пружин
149

150.

Отн.
перем.
масс:
m1 m2 q1,отн q1
q2,отн q2 q1
S0 ,1 S0 ,2 0
В пренебр
массами пруж:
Ур движ:
c1 0
C 0 c
2
m1 m2
M
m
2
m2
m2
150

151.

m1 m2
m
2
m2 q1,отн c1 0 q1,отн
0
m2 q2,отн 0 c2 q2,отн
m1 m2 q1,отн m2 q2,отн c1q1,отн 0
(**)
m
q
m
q
c
q
0
2 2,отн
2 2,отн
2 1,отн
Сод по одной обобщ к-те и все обобщ ускорения.
Следствие того, что канон вид имеет пот эн
151

152.

n
1
1
T
2
П q1 ,q2 qотн C qотн ck qk ,отн
2
2 k 1
Путём использования:
q1,отн q1 q2,отн q2 q1
свести..
152

153.

При выборе.. абс. перем..
n
a j q j с jk qk 0
k 1
При выборе.. отн. перем..:
n
a
k 1
jk
qk с j q j 0
153

154.

(НКМС-2006, с. 53) Канонический вид..
n
1
2
П c j j
2 j 1
n
1
2
T a j j (*)
2 j 1
Блок 4, тоже 1 ст. св…:
Такой вид имеют Т и П для системы с
ОДНОЙ ст. свободы.
Это означает, что движение МС с n ст. св.
происходит точно также, как и движение системы
с 1 ст. св., а именно: по гармоническому закону.
154

155.

Такая возм-ть выделения чисто гарм. режима
обусловлена линейностью..,
допускающей частное решение вида
q j i Aj i cos ci i
Начальные условия.. ,напр., перемещения .. ,
а скорости =0.
Распадаются на..:
ai i ci i 0
i 0
2
c,i i
Координаты
i
наз. нормальными или главными
координатами
155

156.

РЕШЕНИЕ СУ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ (с. 54)
Частное решение однородной системы
M q C q 0
имеет вид:
q j Aj cos c
j - cт свободы
156

157.

Решение системы уравнений движения
M q C q 0
q j Aj e
Aj
i c t
c и
i 1
qj
Эксп. возр. или убыв. множитель..
Это привело бы к изменению..Е
Частное
решение
E T П
q j Aj cos( c t ).
Подставив это решение в систему .., получим в развёрнутом виде:
(1.95)
157

158.

( a11 A1 ... a1n An )
(
c
A
...
c
A
)
0,
1n
n
11 1
: ..
2 ( a A ... a A )
c
n1
1
nn
n
( cn1 A1 ... cnn An ) 0.
2
c
158

159.

( c11 a ) ... ( c1n a ) A1
:
..
:
..
:
..
0
( cn1 c2 an1 ) ... ( cnn c2 ann ) An
2
c 11
2
c 1n
Для того, чтобы система имела ненулевое решение, необходимо,,
c11 a
2
c 11
... c1n a
2
c 1n
(1.95а)
(1.96)
0.
cn1 a
2
c n1
... cn n a
2
c nn
159

160.

Развернув определитель, получим уравнение частот, или ХУ
b0 b1 ... ( 1) bn
2
c
bi
полож
n
2
с
2n
c
0
..вещ и положительны..
...
2
c1
2
c2
2
cn
q j i Aj i cos( c it i ),
160

161.

Общее решение:
n
n
q j q j i Aj i cos( c i t i ).
i 1
(1.97)
i 1
161

162.

Постоянные
n
:
Aj i
i
q q0 j
0j
Собственные формы колебаний
1.
2.
c,i
n 1
3.
Это значит, что разыскив. ампл.:
n
Aj i A1 i
162

163.

A1i
1i
1
A1i
n( n 1)
A2i
2i
A1i
ni
c i
q j q j i A1,i j i cos c ,it i
n
i 1
Ani
A1i
n
i 1
(1.98)
163

164.

Пример.
S0 ,1 S0 ,2 0
c1 c2 c0
m1 m2 m0
164

165.

2c0 m0
c0
2
c
A1
0
2
c0 m0 c A2
c0
165

166.

2
0
2
0
c0 2 c
c 3 c
0
m0
m
4
Число
2
c ,1
2
c ,2
5
3 5 c0
c0
0,382
2 m0
m0
3 5 c0
c0
2,618
2 m0
m0
иррационально, поэтому движение по кажд ст cвободы
будет непериодическим
166

167.

Продолжим.. Подставляя частоту.. В сист ур отн амплитуд
167

168.

3 5
2
A11 A21 0
2
3 5
A
1
A
0
11
21
2
Или приближённо:
1,618 A11 A21 0
A11 0,618 A21 0
2
c ,2
168

169.

A11
A21
A11 5см
11
1
A11 5см
A21 1,618 5см
21
1,618
A11
5см
A12 6см
12
1
A12 6см
A22 0,618 6см
22
0,618
A12
6см
169

170.

170

171.

Ортогональность собственных
форм колебаний
В СЛАУ..
( c11 a ) ... ( c1n a ) A1
:
..
:
..
:
..
0
( cn1 c2 an1 ) ... ( cnn c2 ann ) An
2
c 11
2
c 1n
Вместо амплитуд можно подставить .. Тогда
C M 0
2
c
171

172.

C M 0
2
ci
i
Такая запись означает, что система совершает
чисто гарм. режим движения с вполне определ.
отношениями МЕЖДУ ампл., опр-ми св-ми
системы
q0 , j 0
q0 , j Задать
При ПРОИЗВ. Н.У...
,
i
проп коэф собствненных форм
A1,i
НАХОДЯТСЯ..И3 РЕШЕНИЯ..И ЕГО ПРОИЗВОДНЫХ ПРИ
t 0
172

173.

t 0
n
q j 0 j i A1,i cos i
i 1
n
q j 0 ji A1,i c ,i sin i
i 1
ДЛЯ ПРОИЗВ. i-го ТОНА сист. ур. отн. амплитуд:
C M 0
2
c ,i
i
(1.100)
j
T
(*)
j C i j M i 0
T
2
c ,i
T
173
(1.101)

174.

Умножая
на
систему слева
ПОЛУЧИМ:
Повтор для сравнения:
j
T
j C i j M i 0
T
2
c ,i
T
(*)
Умножая.. записанную для
C M
2
c, j
j
j го тона
0
слева
и
транспонируя
её,
на i
получим
(**)
T
T
2
j C i c , j j M i 0
T
174

175.

C C
T
Вычитая из
(*)
(**)
0
T
j M i 0
2
c, j
и учитывая
2
c ,i
(103)
Подставляя это соотн. в: ..
(**)
j C i j M i 0
T
получим
2
c ,i
T
j C i
T
0
(104)
175

176.

энергия.. по..
Физически..
i
-ой форме
..........................................................................................
На перемещениях масс по
j
-ой форме
..работа сил инерции.. .равна нулю .
Умножая
C M 0
i
C
2
i
i
c ,i
T
i M i
2
c ,i
i
T
на
получим
176

177.

i
Поскольку коэф-ты соб форм изв с точн до пост множителя, то всегда можно
n
найти
чисел
умножив на которые коэф-ты соб форм:
i i i
*
можно обратить знаменатель выражения для частоты в единицу:
i i M i i 1
T
Отсюда
i
.
1
i M i
T
177

178.

i
нормирующие множители
i
* нормированные коэффициенты
собственных форм
Даже при безразмерных ..
i
*
i
становятся размерными.
i C i
С их использованием...
, а решение
n
n
q j q ji A1,i
i 1
*T
2
c ,i
i 1
*
ji
*
cos c ,i t i
178

179.

Пример проверки ортогональности
собственных частот и форм колебаний
179

180.

2c0
1 1,618
c0
c0 1
c0 0,618
2,618
c0 1 1,618
1,618
c0 2,618 2,618 0
180

181.

m0
1 1,618
0
0 1
m0 0.618
0
m0 1 1,618
0,618
m0 1 1 0
Найдём
Нормирующие множители:
181

182.

1
1
m0
1 1,618
0
1
, кг
3,618m0
2
0 1
m0 1,618
1
2
1
m0
1 0,618
0
1
, кг
1,382m0
1
2
0 1
m0 0,618
Конец примера
182

183.

Соотношения ортогональности с использованием соб форм записываются
в виде
j M i
*T
*
j C i
*T
*
0, если i j
1, если i j
0,
если
i
j
2
,
если
i
j
c
,i
183

184.

Нормальные (главные) координаты
Это такие координаты, для которых движение при любых Н.У., будет
одночастотным и гармоническим.
n
n
q j q ji A1,i
*
ji
cos c ,i t i
i A1,i cos c ,it i
i 1
qj
i 1
Заменяется
i
n
qj
i 1
*
ji i
q j j1 1 j 2 2 .. j n n
*
*
*
184

185.

q
*
*
..
*
: : :
*
*
n1 .. nn
*
11
*
1n
185

186.

q
Из
i
*
(*)
q
* 1
:
*
Обратная к
Подстановка (*) в систему уравнений
движения даёт:
M C 0
*
*
*T
M C 0
*T
*
*T
*
186

187.

E 0
2
E
c
2
c
0
2
c
0
0
2
c ,1
0
2
c ,2
0
0
0
0 0
.. 0
2
0 c ,n
0
187

188.

0
Пример.
2
i
c,i i
Найти главные координаты..
Н
c1 c2 c 1000
м
m1 m2 m 5 кг
188

189.

при
t 0 :
q1 0 q1, 0 0,05 м
м
q1 0 q1,0 0
сек
q2 0 q2, 0 0,05 м
q2 0 q2,0
м
сек
3- 5 c
-1
c,1=
8,740320492 c
2 m
3+ 5 c
-1
c,2=
22,88245611c
2 m
189

190.

Решение для координат
qj
имеет вид
q1 A11 cos c ,1 t 1 A12 cos c ,2 t 2
*
11
*
12
q2 A11 cos c ,1 t 1 A12 cos c ,2 t 2
*
21
,.
*
22
Из выражений для скоростей в начальный момент времени
q1,0 A11 c,1 sin 1 A12 c,2 sin 2 0
*
11
*
12
q2,0 A11 c,1 sin 1 A12 c,2 sin 2 0
*
21
*
22
190

191.

следует, что
1 2 0
Тогда из выражений для перемещений в начальный момент
времени получим систему линейных уравнений относительно неизвестных амплиту
A11
и
A12
A A q1,0
A A q2,0
*
11 11
*
11 21
*
12 12
.
*
12 22
С учётом выражений для нормирующих множителей
1
1
, кг
3,618m0
1
2
1
2
, кг
1,382m0
191
1
2

192.

1 0,235115205 кг
1
2
2 0,3804226068 кг
1
2
1 2
1 1
1,618 1 0,618 2
1
0,2351141011 0,3804226068
0,3804226068 -0,2351141008 кг 2
*
192

193.

Решив с помощью команды linsolve систему двух линейных уравнений, получим
A11 0,1538841768
A12 0,03632712638
м кг
м кг
Выражения для обобщённых координат примут вид (рис. 1.22)
q1 (t)=A11 cos c ,1 t+A12 cos c ,2 t
*
11
*
12
0,036 cos 8,74 t+0,014 cos 22,88 t
q2 (t)=A11 cos c ,1 t+A12 cos c ,2 t
*
21
*
22
0,059 cos 8,74 t - 0,009 cos22,88 t
193
1
2
1
2

194.

c ,1
Рис. 1.22. При несоизмеримых частотах
обобщённые координаты
q1
и
и
c ,2
q2
изменяются по непериодическому закону.
i
Нормальные (главные) координаты
* 1
найдутся по выражениям
1.176 1.90 q1 t
q
1.90 -1.18 q2 t
194

195.

* 1
в которых матрица
находится при помощи команды inverse пакета linalg
q1
q1
и
q2
и
q2
Нормальные координаты 1
и
2
Рис. 1.23 НКМС-2006.
Частоты те же, но
режимы периодические
– это такие координаты, которые в соответствии с линейными дифференциальными
уравнениями
изменяются по гармоническому закону;
при этом первоначально выбранные координаты
изменяются по непериодическому закону.
195

196.

В развёрнутом виде выражения для нормальных координат принимают вид
1 t 0,154 cos(8,74 t)+0,2 10
-10
cos(22,88 t)
2 t 0,6 10 -10 cos(8,74 t)+0,036 cos(22,88 t)
(Частоты те же, что и при выборе первоначальных координат)
Эти гармонические колебания происходят не одновременно!!
Это колебания двух разных систем с 1 степенью свободы.
Жёсткости и коэффициенты инерции могут быть любыми,
но так, чтобы их отношения
196
равнялись бы квадратам соб частот

197.

L
сeq c c3
R3
3
1
a M M1 M3
8
2
q 3 R3
1 2 2 1 2 2
П cR3 3 c3 L 3
2
2
.
2
L 2
c c3 2 R3
R3
2
ceq ,3
2
3
R
197

198.

q 3 R3
1 2 2
T aR3 3
2
3
1
2
2
a3 aR3 M M 1 M 3 R3
8
2
2
2
ceq, 3 ceq R3
a aR
Т.е.
и
3
3
.
.
M обода
GJ p
Lторс
3
1
M M1 M3
8
2
сR c3 L
2
3
2
Jp
M диска
32
3
1
2 M M1 M3
8
2
4
торс
D
198

199.

Jp
D
32
4
нар
D
4
внтр
199

200.

Роль начальных условий
q j Aj r cos c r t r
j 1,2..,n
200

201.

Вынужденные колебания
d T T П
Q t
dt q q q
aq cq Q t
201

202.

m L
T
2
2
mgL
П
2
2
mL mgL F t L
2
Q t F t L
202

203.

m x L
T
2
2
mgL
П
2
2
F t 0
x
mL mgL 0
L
2
или
mL mgL mLx
2
203

204.

Q t mLx
-- вынуждающий момент переносной силы инерции.
здесь относительная координата;
-- переносная
xДействие
гармонической вынуждающей силы
на линейную систему с 1 степенью свободы
без трения
F t AF cos t
Mq cq F t
Ms
2
c q s F s
204

205.

q s q t e dt
st
0
q s
1
W s
2
F s c Ms
s i
i 1
q i
1
W i
2
F i c M
205

206.

1
W i
2
c M
AF
A
c
c
1
c 1 2
c
2
A
AF
1
2
1
AF
qст
с
206

207.

207

208.

2
Из ЧХ
1
1
W i
2
c M
1
c 1 2
c
следует, что ФЧХ – сдвиг фазы между
q
2
A
AF
F
и силой
колебаниями
равен нулю, т.к. мнимая часть равна нулю
Re
0
arctg
arctg
0
2
0
Re
в дорезонансе и
208
в зарезонансе.

209.

При
1
1
колебания происх в фазе с силой, а в зарезонансе в противофазе.
Состояние системы
1
209
называется резонансом

210.

Уравнение движения в этом случае
AF
q q
cos c t
M
2
c
Его решение при нулевых н.у.:
AF
q
t c cos ct sin ct
2c
В решении появился вековой, или резонансный член:
t c cos c t
, который неограниченно возрастает во времени.
В реальных системах силы трения ограничивают
210
бесконечное нарастание колебаний.

211.

Если
AF k
2
, где к для машин с неуравновешенным ротором
, М – масса ротора, r – его эксцентриситет, то:
A
2
k a 1
2
k M рот r
AF M рот r k
2
2
211

212.

212

213.

Действие кинематического гармонического возмущения
на линейную систему с 1 степенью свободы с трением
Уравнения движения линейных осцилляторов
с одной степенью свободы
213

214.

При использовании безразмерного собственного
времени системы
соб t t
, представляющего собой растянутое или сжатое в соответствии с собственной частотой
214 время
, производные от обобщённых координат и возмущения записываются в виде

215.

q q соб
x x соб
dq
q
d
dx
x
d
q q
2
соб
x x
2
соб
2
d q
q 2
d
2
d x
x 2
d
215

216.

Схема а).
aq ( q x ) cq 0
a q соб q cq соб x
2
соб
2 ca
q 2 q q 2 x
216

217.

A
Wq x
x0
qотн q x
2
1
2 2
4
2
2
2 qотн
qотн x x
qотн
Aотн
Wqотн x
x0
1
1
2 2
2
4
2
2
217

218.

АЧХ абсолютных перемещений при возмущении за демпфер
218

219.

АЧХ относительных перемещений при возмущении за демпфер
219

220.

Схема б).
aq q c q x 0
q 2 q q x
2 qотн
qотн
qотн
x 2 x
A
Wq x
x0
1
1
2
2
4
2
2
220

221.

x t
221

222.

4
Aотн
Wqотн x
x0
2 2
2 2
1
4
2
2
2
2
222

223.

Aq
x0
АЧХ абсолютных перемещений при возмущении за пружину
A
Wq x
x0
1
1
2 2
4 2 2
223

224.

АЧХ относительных перемещений при возмущении за пружину
224

225.

Схема в).
Здесь следует заметить, что применять принцип
суперпозиции
для схемы в) на основании результатов по схемам а) и б)
можно только для абсолютных перемещений,
а для относительных нельзя, потому что они для
схем а) и б)
различные, а абсолютное – одно и то же.
225

226.

Возмущения, прикладываемые к концам демпфера и пружины в схемах
а) и б) раздельно,
в схеме в) действуют одновременно.
Поскольку все эти модели линейные, но различные, то результат действия
возмущения в схеме в) по абсолютным перемещениям
можно получить, суммируя результаты действия возмущений
в предыдущих схемах а) и б)
q 2 q q x 2 x
в относительных координатах
aq ( q x ) c q x 0
226

227.

2 qотн
qотн x
qотн
A
Wq x
x0
A
Wq , отн x
x0
1 4
2
1
2
2
1
2
4
2
2
2
2 2
4
2
2
Размерности слагаемых в уравнениях движения в собственном времени
системы, пропорциональные инерционным, диссипативным и силам,
227
зависящим от времени, имеют размерности не сил или моментов, а
размерность соответствующей обобщённой координаты.

228.

АЧХ абсолютных перемещений при возмущении за пружину и демпфер
228

229.

АЧХ относительных перемещений при возмущении за пружину и демпфер229

230.

Aq
qст
2
tg
2
1
q e
ht
C
qст
1
1
2 2
4
2
4
2
2
H
qст
с
sin t C2 cos t
*
соб
1
2 2
1
*
соб
cos t
2
230

231.

Процесс установления колебаний зависит от соотношения частот
вынуждающей силы и собственной
Отношения
Aq
qст
Arel
x0
наз коэффициентами
динамичности
Максимумы АЧХ вида
Aq
qст
A
x0
Arel
x0
1
1
2 2
4
2
1
1
2 2
1
4 2 2
2
при силовом возмущении
с пост ампл силы;
при кинематическом возмущении за пружину,
2
2 2
4
2
2
при кинематическом возмущении в схеме в
231

232.

при малом линейном трении незначительно смещаются влево или вправо
от скелетной вертикали
1
Поэтому на практике
рез
1
2
рез
определяют по приближённой формуле
2
рез
При квадратичной зависимости амплитуды силового возмущения от частоты,
.
АЧХ такой системы
Aq
k a
1
2
2 2
4
2
2
232

233.

233

234.

Сила на основание при параллельном соединении..
R q cq
R qотн cqотн
234

235.

Устойчивость состояний равновесия и
автоколебания.
Устойчивость состояний равновесия.
В разделе «Св. колебаний» уже касались вопросов
устойчивости состояний
равновесия систем без притока энергии и около
положений равновесия.
Продолжим рассмотрение автономных систем
с притоком энергии.
Рассмотрим несколько задач.
235

236.

В каждой из них выделяется один параметр,
от которого зависит устойчивость и
неустойчивость состояния равновесия
(неподвижной точки).
Задача состоит в нахождении критического
Значения этого параметра, при котором устойчивость
сменяется неустойчивостью.
236

237.

Будем рассматривать только линейные задачи, т. е. малые отклонения системы
от состояния равновесия.
Этого достаточно для того, чтобы судить о тенденциях возмущённого движения и
тем самым вынести суждение об устойчивости или неустойчивости в «малом».
Системы с 1 ст. свободы. Задача 1.
Рассматриваются вопросы устойчивости систем с одной степенью свободы,
связанные с аэроупругой неустойчивостью типа дивергенции.
237

238.

Пластинка жесткая и тонкая, упруго опертая слева и шарнирно справа,
вектор потока воздуха
параллелен пластинке в её невозмущённом состоянии,
в котором подъемная сил равна нулю, а лобовым сопротивлением
пластинки как следствием весьма малого трения можно пренебречь.
Пластинка в равновесии под действием её веса и реакций опор.
Найти критическую скорость потока.
При отклонении пластины возникают аэродинамические давления,
зависящие от угла отклонения
лобовое сопротивление и подъёмная
сила
/
X сx ql ;
Y c y ql
ρ
q
2
2
238
Размер пластинки, перпендикулярный рисунку, принят равным единице

239.

Положение центра давления (расстояние
) считаем независимым от угла φ.
b
Пренебрегая моментом от лобового соприкосновения, напишем
уравнение движения
как баланс моментов при отклонении пластины от состояния равновесия
J + co L - c y
2
2
2
Lb 0
J + co L - c y
b L 0
2
2
Условие устойчивости записывается в виде:
2col
кр
c y ρb
b 0
co L c y
239
2
Выражение (1.1) определяет скорость дивергенции.
2

240.

Задачи этого типа относятся к теории аэрогидроупругости
Пример 2. Отрицательное трение
Рассмотренные ранее диссипативные силы,
направлены против скорости, эти силы демпфируют колебания.
В некоторых МС возникают силы, такие зависящие от скорости, но совпадающие
с ними по направлению.
Такие силы, оказывая дестабилизирующее действие,
раскачивают систему; и такие силы называют силами «отрицательного трения».
Формально:
aq q cq 0
c
h ; ω ;
2c
a
2
c
ω ω h q 2hq ω q 0;
*
c
2
c
2
2
c
240

241.

Корни Х.У.
λ 1,2
Если
2 4ac
2a
1
q e
ht
h h ω соб i 1
2
2
c
2
, то корни оказываются оба комплексно сопряжёнными
с положительной вещественной частью.
Тогда решение пишется в виде
q0 hq0
*
*
sin
t
q
cos
t
c
0
c
*
c
При сколь угодно малых начальных возмущениях
q0
и
q0
возникнут колебания, амплитуды которых будут возрастать по экспоненте.
Состояние равновесия оказывается неустойчивым:
241

242.

Состоянию равновесия соответствует особая точка типа
неустойчивый фокус (ψ<1)
242

243.

и неустойчивый узел (ψ>1).
Конкретный пример такой МС,
в которой при колебаниях может возникнуть сила отрицательного трения
243

244.

Барабан 3 прижат к телу 1 и вращается с постоянной угловой скоростью.
Между барабаном и телом действует сила сухого трения R,
характеристика которой показана на рис
В отличие от обычной схематизации, эта характеристика отражает реальное влияние
скорости скольжения на силу трения. В первом квадранте характеристика состоит из
двух участков: падающего при
0
*
и возрастающего при
*
244

245.

0
– это скорость скольжения при неподвижной тележке.
Ей соответствует сила
R0
При этом пружины сжаты на величину
R0
q0
;
c
q
Теперь движение тележки около этого состояния равновесия. Обозначим через
дополнительное перемещение тела. Скорость скольжения найдётся как разность
Скорость скольжения перестает быть постоянной величиной, найдётся как разность
0 q
которая будет определять уже переменную силу трения R.
При малых колебаниях, когда
q 0
можно принять:
245

246.

R R0 R0 q;
или
dR
R0
d 0
mq R c q0 q 0
mq R0 R0 q c q0 q 0
mq R0 q cq 0
246

247.

При
При
*
*
R0 0 и колебания будут затухать
R0 0
и после сколь угодно малого возмущения в системе происходит
самовозбуждение колебаний.
При
0
*
0
состояние равновесия устойчиво. При
*
неустойчиво.
Это решение (в малом) определяет лишь тенденцию к нарастанию колеба
С ростом амплитуды представление
R R 0 R0 q
становится всё менее точным. Необходимо учитывать нелинейность силы т
247

248.

3. Система с двумя степенями свободы без трения
Устойчивость состояние равновесия определяется видом корней
характеристического уравнения. Если среди корней
i
i 1
есть хотя бы один с положительной вещественной часть, то
соответствующее
ему движение будет уводить МС от состояния
равновесия, либо монотонно, (если
), либо нарастающим колебательным образом
).
(если
0
<0
Пример:
248

249.

В отличие от шарнирного, упругое закрепление правого конца пластины
создает ещё одну возможность возникновения неустойчивости,
обусловленную неконсервативными свойствами этой системы
с двумя степенями свободы
t
y t – смещение центра тяжести–иугол поворота пластинки.
Примем, что угол
положителен по часовой стрелке.
L
R1 c1 y
2
L
R2 c2 y
2
– реакции.
249

250.

Запишем дифференциальные уравнения движения
L
L
my c1 y 2 c2 y 2 c y qL 0
2
mL c y L L c y L L Y b L 0
1
2
12
2 2
2 2
2
Однородная система уравнений
y c11 y c12 0
c21 y c22 0
Коэффициенты в этой системе:
250

251.

c1 c2 c c L c y 2
c11 c 1 2
L
12
m
m 2 m 2
6 c1 c2
c21
mL
cy q
3 c1 c2
c22
6
L
2b
2
m
mL
.
251

252.

Неравенство
c12 c21 является признаком неконсервативности системы
энергия этой системы может убывать с течением времени
при малых скоростях потоках и возрастать при больших.
Принимая частное решение в виде
A2 e ;
y A1e ;
λt
c11 λ
c21
λt
2
получим
A1
0
2
c22 λ A2
c12
.
Отсюда следует характеристическое уравнение
252

253.

c11 λ
2
c21
c12
c22 λ
2
λ c11 c22 λ c11c22 c12c21 0
4
2
Корни этого ХУ имеют вид:
1,2 ,
3 ,4
2
c11 c22
c11 c22
c11c22 c12 c21
2
2
253

254.

Если разность
c11c22
– c12 c21 0
, то один из корней, соответствующий двум знакам плюс),
оказывается
вещественным
и
положительным.
Соответствующее
ему движение есть апериодический
монотонный уход от состояния
равновесия, которое
оказывается неустойчивым.
Если эта разность положительна и, кроме того,
c11 c22
c11c22 c12 c21
2
;
2
.
то корни
1 .. 4
оказываются комплексными:
254

255.

1 i
2 i
4 i 3 i
где
положительные и вещественные.
и
Первой паре корней соответствует движение
y A11e A12e
λ1t
A21e A22e
λ1t
λ 2t
λ 2t
B1e sin t 1
αt
B2e sin t 2 ;
αt
255

256.

Это колебания с монотонно возрастающими амплитудами.
Состояние равновесия системы в этом случае является неустойчивым.
Таким образом, чтобы система после возмущения оставалас
бы в окрестности состояния статического равновесия
(признак устойчивости), необходимо, чтобы разность
c11c22 c12 c21
удовлетворяла бы двум неравенствам:
c11 c22
0 c11c22 c12c21
2
2
При нарушении первого равенства возникает дивергенция
256

257.

y(t), phi(t)
При нарушении второго условия возникает флаттер
257

258.

Границам области устойчивости соответствуют знаки равенств в
c11 c22
0 c11c22 c12c21
2
Если подставить в (*) выражения для
2
(*)
ci j
, то найдём 2 критических значения скорости, которая является
параметром, определяющим устойчивость:
скорость дивергенции:
div
2c1c2 L
c y c1 b L c2b
скорость флаттера:
258

259.

flut
1 c c1c2 c
2
;
3 c y
c1 c2
2
1
При малых жесткостях правой опоры, когда
2
2
L
c2 c1 1
b
div оказывается мнимой, т. е. дивергенция невозможна
Если наоборот, жесткость левой опоры меньше жесткости
правой, то скорость
flut
– мнимая, флаттер невозможен.
Флаттер – это реальная опасность для многих
конструкций в потоке жидкости или газа
(лопатки турбины, крыло самолёта, обшивка259
ЛА).