МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Математическое моделирование электромеханической системы с использованием передаточных функций
Математическая модель электромеханической системы постоянного тока
Функциональная схема электромеханической системы
Математическое описание рассматриваемой системы.
Вывод
Структурная схема электромеханической системы
Передаточная функция замкнутой системы
Перечень исследований с помощью передаточных функций
Исследование электромеханических систем в частотной области
Частотная передаточная функция разомкнутой системы
Частотная передаточная функция замкнутой системы
Преобразование частотных передаточных функций
Частотные характеристики электромеханической следящей системы
Устойчивость системы
Условия устойчивости
Вывод
Критерии устойчивости системы
Критерий устойчивости Найквиста
Годографы Найквиста
Метод логарифмических амплитудно-фазовых частотных характеристик
Суть метода логарифмических частотных характеристик
Построения логарифмических амплитудно-фазовых частотных характеристик
Частотные характеристики системы
Фазовая частотная характеристика в данном случае рассчитывается по выражению:
Логарифмические амплитудные частотные характеристики
Логарифмическая фазовая частотная характеристика
Амплитудно-фазовая частотная характеристика
Амплитудная частотная характеристика
629.00K
Категория: ФизикаФизика

Модели на основе передаточных функций

1. МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

2. Математическое моделирование электромеханической системы с использованием передаточных функций

Математическое моделирование электроме
ханической системы с использованием
передаточных функций
Передаточными
функции
при
исследовании
систем,
объектов,
элементов пользуются при
их
структурном моделирование.
Изображение
системы
(объекта)
представляют в этом случае в виде
совокупности динамических звеньев с
указанием связей между ними.

3.

Такое представление систем называется
структурной схемой.
Графическое
изображение
основных
звеньев системы имеют следующий вид:

4.

5.

6. Математическая модель электромеханической системы постоянного тока

Рассмотрим структурную математическую
модель электромеханической следящей
системы постоянного тока.
Основой для разработки структурной модели
являются прежде всего математическое
описание системы, которое формируется в
соответствии с ее функциональной схемой.

7. Функциональная схема электромеханической системы

8.

Система имеет типичный набор элементов.
К ним, в данном случае, можно отнести:
измеритель
рассогласований
(ИР),
представленный
в
виде
потенциометрического моста П1-П2;
усилительно-преобразовательное
устройство (УПУ);
исполнительное
устройство,
электродвигатель постоянного тока с
магнитоэлектрическим возбуждением;
передаточный механизм, редуктор.

9. Математическое описание рассматриваемой системы.

• Напряжение на выходе усилительного
каскада, исходя из предположения, что
это звено безынерционное, запишется в
виде:
U y k уU .

10.

• Уравнение электрического равновесия
для
обмотки
якоря
двигателя
постоянного тока
dia
U y R a i a La
ce
dt
• Уравнение механического равновесия
d
'
J
M вр M н
dt
'

11.

• Уравнение, связывающее угол поворота
вала двигателя с угловой скоростью:
д dt
• Решая
в
операторной
форме
приведенные
уравнения
можно
получить следующее равенство
1
k дU y ( TЭTM p TM p 1 ) ( 1 TЭ p )M
Fi
2

12.

где ТЭ = La/Ra – электромагнитная
постоянная времени, характеризующая
нарастание
скорости
момента
в
заторможенном двигателе;
F = сесм/Ra – коэффициент демпфирования,
определяющий
наклон
(жесткость)
механической характеристики;
ТМ – механическая постоянная времени,
характеризующая нарастание скорости и
определяемая
механическими
параметрами ИД:

13. Вывод

• Таким образом, в зависимости от
задачи исследований и принятых при
этом допущениях, разрабатываются
структурные схемы и математическая
модель
системы
на
базе
представленных выше уравнений.
• В данном случае структурная схема
(модель) имеет следующий вид:

14. Структурная схема электромеханической системы

15.

• В структурной схеме исполнительный
двигатель представлен колебательным
звеном.
• Передаточную функцию разомкнутой
системы можно записать в виде:
K
Wр ( p)
;
p(TэTм p 2 Tм p 1)

16.

где К – коэффициент передачи (добротности)
системы:
K k у kд k k
k у kд k k

коэффициент
усиления усилителя, коэффициенты передачи
двигателя, измерителя рассогласования и
редуктора, соответственно.

17. Передаточная функция замкнутой системы

Передаточную функцию замкнутой системы
определяют по выражению:
Wз ( p)
Wр ( p)
1 Wр ( p)
.

18.

Тогда передаточная функция замкнутой
системы по управляющему воздействию
будет иметь вид:
Wз ( p)
K
3
2
(TэTм p Tм p p) K
.
Знаменатель
передаточной
функции
является характеристическим уравнением
замкнутой системы

19. Перечень исследований с помощью передаточных функций

1.По траектории корней характеристического
уравнения, (корневого годографа) на
комплексной плоскости можно провести
количественную и качественную оценку
влияния параметров системы на ее
устойчивость, качество регулирования и
осуществить
синтез
корректирующих
звеньев

20.

2.
Используя передаточную функцию
ошибки системы по управляющему
воздействию
1
G ( p)
1 Wp ( p)
и
передаточную
системы
по
воздействию
функцию
ошибки
возмущающему
1
(Tэ p 1)
2
Fi
Y ( p)
.
Μ н (TэTм p 3 Tм p 2 p ) K

21.

можно
оценить
точность
отработки
системой управляющего и возмущающего
воздействий
м
3. Используя передаточные функции
замкнутой системы по управляющему и
возмущающему воздействиям, получают
уравнения для расчета внешней и
регулировочных характеристик системы в
установившемся режиме работы в виде

22.

1
2
K
Fi M н
K 1
K 1
Семейство регулировочных характеристик

23.

Внешняя характеристика системы

24.

4.
Передаточные
функции
систем
позволяют рассчитать их переходные
характеристики, анализируя которые
определяют динамические показатели
качества системы, именно:
перерегулирование σ%,
число колебаний n,
время переходного процесса tпп,
декремент затухания процесса

25. Исследование электромеханических систем в частотной области

• Проектирование, анализ и синтез систем c
помощью
частотных
характеристик
осуществляют при наличии передаточной
функции
замкнутой
(разомкнутой)
системы.
• Для
формирования
частотных
характеристик
необходимо
от
передаточной функции системы перейти к
ее частотной передаточной функции.

26. Частотная передаточная функция разомкнутой системы

K
Wр ( p)
;
2
p(TэTм p Tм p 1)
K
WР ( j )
2
j (TЭT ( j ) T j 1

27. Частотная передаточная функция замкнутой системы

Wз ( p)
K
3
2
(TэTм p Tм p p) K
.
K
WЗ ( j )
3
2
(TЭT ( j ) T ( j ) j ) K

28. Преобразование частотных передаточных функций

• В результате преобразования частотных
передаточных
функций
выделяют
вещественную и мнимую составляющие
функций.
• Для
этого комплексное значение
знаменателя частотной передаточной
функции умножают на сопряженное
комплексное число.

29.

•Осуществив преобразования, частотную
передаточную функцию приводят к виду
W ( j ) U ( ) jV ( ),
U ( ), V ( )
где
– вещественные и
мнимые частотные функции, а их
графики, соответственно, вещественная и
мнимая частотные характеристики.
•Амплитудную
и
фазовую
частотные
функции определяют по выражениям

30.

A( ) U ( ) V ( )
2
2
V ( )
( ) arctq
k ,
U ( )
где k = 0, ±1, ±2,…..

31. Частотные характеристики электромеханической следящей системы

• Вещественная частотная характеристика
KT
U ( ) 2 4
.
3
2
T ( T TЭ )
2
• Мнимая частотная характеристика
K ( T TЭ )
V ( ) 2 4
.
3
2
T ( T TЭ )
3

32. Устойчивость системы

Система считают устойчивой, если
•после снятия воздействия по окончанию
переходного
процесса
система
возвращается в исходное равновесное
состояние;
•после
изменения
воздействия
на
постоянную величину по окончанию
переходного процесса система приходит
в новое равновесное состояние.

33. Условия устойчивости

•Переходный процесс в любой системе
определяется свободной и принужденной
составляющими.
•Основной
составляющей,
которая
определяет
переходный
процесс
является
свободная
составляющая,
изменение которой во времени зависит
от
корней
характеристического
уравнения системы

34.

В
самом
общем
случае
корни
характеристического уравнения – это
комплексные сопряженные числа
pi ,i 1 ai j i
где ai может быть положительной или
отрицательной величиной.
При этом если ai 0
, свободная
составляющая будет затухать и наоборот,
ai 0
при
получаются расходящиеся колебания

35. Вывод

• Отсюда следует, что общим условием
затухания
всех
свободных
составляющих,
а
значит,
всего
переходного процесса в целом является
отрицательность вещественных частей
всех полюсов передаточной функции
электромеханической системы

36. Критерии устойчивости системы

Устойчивость системы оценивают с помощью
следующих критериев устойчивости:
• критерий устойчивости Гурвица;
• критерий устойчивости Михайлова;
• критерий устойчивости Найквиста.

37. Критерий устойчивости Найквиста

• Для исследования устойчивости системы в
динамических
режимах
работы
широко
используют критерий Найквиста, основанный
на
построении
частотного
годографа
разомкнутой системы.
• Для
устойчивости
замкнутой
системы
автоматического
управления
(САУ)
необходимо и достаточно, чтобы годограф
Найквиста при изменении частоты от 0 до
не охватывал точку с координатами ( 1, j 0).

38. Годографы Найквиста

39. Метод логарифмических амплитудно-фазовых частотных характеристик

• В инженерной практике расчета и
проектирования
систем
автоматического
управления,
электромеханических систем и систем
электронной
техники
широко
применяется метод логарифмических
амплитудно-фазовых
частотных
характеристик (ЛАФЧХ).

40.

• В этом случае частотные характеристики
строятся на полулогарифмической сетке,
когда по оси абсцисс откладывается частота
в логарифмическом масштабе, а по оси
ординат амплитуда в децибелах, а фаза в
радианах:
L 20 log A ;
• Бел представляет собой логарифмическую
единицу, соответствующую десятикратному
увеличению мощности. Децибел равен 0,1
Бел.

41.

• частотная
передаточная
функция
представляет собой отношение не
мощностей, а выходной и входной
величин,
то
увеличение
этого
отношения
в
десять
раз
будет
соответствовать увеличению отношения
мощностей в 100 раз, что соответствует
2 Белам или 20 дб. Поэтому в правой
части уравнения имеем множитель 20

42. Суть метода логарифмических частотных характеристик

•Суть этого метода сводится к анализу
логарифмических частотных характеристик
разомкнутых систем.
•В результате анализа оцениваются такие
показатели качества системы, как: запас
устойчивости замкнутой системы по фазе и
амплитуде,
точность
отработки
управляющих сигналов, частотный диапазон
работы, колебательность и быстродействие
системы.

43.

•Метод ЛАФЧХ позволяет произвести
синтез системы в соответствии с
требованиями технического задания.
•Для
этого
в
базу
данных
на
моделирование
необходимо
ввести
подпрограмму для типовых желаемых
логарифмических
амплитудных
и
фазовых характеристик.
•Провести
сравнительный
анализ
логарифмических
характеристик
неизменной части разомкнутой системы с
желаемыми
логарифмическими
характеристиками.

44.

• произвести
синтез
корректирующих
звеньев;
• получить
характеристики
спроектированной в соответствии с
требованиями технического задания (ТЗ)
системы.

45. Построения логарифмических амплитудно-фазовых частотных характеристик

• Рассмотрим
пример
построения
логарифмических
амплитудно-фазовых
частотных
характеристик
следящей
системы, в неизменную часть которой
входят интегрирующее, апериодическое и
колебательное звено.
W p
K
2 2
p T1 p 1 T2 p 2 T2 p 1

46. Частотные характеристики системы

•Заменив в передаточной функции
p = j , получают частотную передаточную
функцию
W j
K
j T1 j 1 1 T2 j 2 T
2

47.

• Амплитуда А( ) частотной
передаточной функции в данном случае
имеет вид
A
1 T 2 2
K
2
2
2 2
1 T2
2 T2
• а фазовая функция
2 2
arctg 1 arctg
2 2
2
1
2

48.

•При использовании системы MathCAD
для расчета и построения точных
логарифмических
частотных
характеристик пользуются выражением
L1 : 20log A
•Асимптотическая
логарифмическая
амплитудная частотная характеристика
рассчитывается
с
использованием
функции if,

49.

• В рассматриваемом случае расчет
такой характеристики представлен в
виде следующего набора выражений
L0 : 20log K 20lоg
L : if 1 ,0, 20log
1
1
T1
1
L2 : if ,0, 40log 2
T2
L : L L L
0
1
2
: 1,1.5,..100

50. Фазовая частотная характеристика в данном случае рассчитывается по выражению:

2 2
: atan 1 atan
2 2
2
1 2
Результаты расчетов при исходных
данных
T 2 : 0.08; T1 : 0.15; K : 100; : 0.15
имеют следующий вид

51. Логарифмические амплитудные частотные характеристики

52. Логарифмическая фазовая частотная характеристика

53. Амплитудно-фазовая частотная характеристика

54. Амплитудная частотная характеристика

English     Русский Правила