Определенный интеграл

1. Тема: Определенный интеграл.

2. До 17 века:

S a b
b
S a
a
a
a
a b
S
h
2
b
2

3.

y
С появлением дифференциального и интегрального
исчисления:
S
S
0
S1
S3
S2
x

4.

Теорема: Если функция f (x ) непрерывна на
отрезке [a, b], а функция F (x )
является первообразной для f (x )
на этом отрезке, то справедлива
формула:
b
f ( x)dx F ( x)
b
a
F (b) F (a) (3)
a
формула Ньютона-Лейбница

5.

И. Ньютон
Г. Лейбниц

6.

Свойства определенного интеграла:
b
1)
c f ( x)dx c
a
2)
3)
b
f ( x)dx.
a
b
b
b
a
a
a
b
c
b
a
a
c
( f ( x) ( x))dx f ( x)dx ( x)dx.
Если a c b, то
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
b
4)
Если f ( x) 0, x [a, b], то
f ( x)dx 0.
a
5)
b
b
a
a
Если f ( x) ( x) для всех x [a, b], то f ( x)dx ( x)dx.

7.

b
f ( x)dx F ( x)
b
a
F (b) F (a)
a
Пример:
4
4
4
4 4
x
x
dx
2xdx
1
1 ( x 2 x)dx 1
4
3
3
1
2 4
x
2
2
1
4 4
x
4
x
2 4
1
1
256 1
255
44 14
2
2
) (16 1)
15 78,75
( ) (4 1 ) (
4
4
4
4 4

8.

1.
2.
Домашнее задание:
Записать в тетради решения примеров 1,2,3
Вычислить интегралы:№4.1(1,3,5); №4.2 (1,3)