Обратная матрица

1.

*Лекция 2
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

2.

Обратная матрица.
Матрица В называется обратной к матрице А если
1
AB =BA = E; при этом пишут B A . Матрица А имеет обратную
только в том случае, если она невырожденная, то есть если
A 0
Если
A (ai j )
– невырожденная матрица, то
A11
A
1
12
A 1
A
A1n
A21
A31
A22
A32
A2 n
A3n
An1
An 2
,
Ann
где Ai j алгебраические дополнения элементов
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

3.

Алгоритм нахождения обратной матрицы А-1
1. Вычислить определитель А . Если А 0, то матрица А имеет
обратную. Если =0, то матрица А не имеет обратной.
2. Найти алгебраические дополнения ко всем элементам
матрицы А.
3. Заменить все элементы матрицы А на их алгебраические
дополнения и транспонировать полученную матрицу (то есть
поменять местами строки и столбцы).
4. Разделить все элементы
определитель матрицы А.
A11
A
A12
A 1 A
...
A1n
A
полученной
A21
A
...
A22
A
...
...
...
A2 n
A
...
матрицы
на
An1
A
An 2
A .
...
Ann
A
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

4.

Пример. Найти А-1, если
1 2
A
3
4
Решение.
det A = 4 - 6 = -2
Следовательно А-1, существует
Найдем алгебраические дополнения:
А11=(-1) 2.4;
А21= (-1) 3. 2;
А12= (-1) 3. 3;
А22= (-1) 4. 1
1
1 4 2 2
1
Таким образом, A
2 3 1 3 / 2 1 / 2
Проверка
1 4 2 1 2
1 2 0 1 0
1
A A
E
2 3 1 3 4
2 0 2 0 1
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

5.

Замечание.
Можно
показать,
невырожденной матрицы второго порядка
что,
для
а b
А
c d
обратная матрица имеет вид:
1 d b
А
А c а
1
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

6.

Пример. Дана матрица найти А-1, если
1 2 0
А 3 2 1 .
1 3 2
Решение.
1. А 9.
Следовательно А-1, существует
2. Найдем алгебраические дополнения:
А11 ( 1)
2 1
А12 ( 1)
3 1
2
3
А13 ( 1)
4
3 2
1 2
3 2
1 3
1,
А21 ( 1)
2 0
5,
А22 ( 1)
1 0
7,
А23 ( 1)
1 2
3
4
5
3 2
1 2
1 3
4,
А31 ( 1)
2 0
2,
А32 ( 1)
1 0
1,
А33 ( 1)
1 2
4
5
6
2 1
3 1
3 2
2,
1,
4.
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

7.

3. Заменим все элементы матрицы А на их алгебраические
дополнения и транспонируем полученную матрицу,
получим
1 4 2
5 2 1 .
7 1 4
4. Разделим все элементы
определитель, получим А-1:
1
9
5
1
А
9
7
9
4
9
2
9
1
9
полученной
матрицы
на
2
9
1
.
9
4
9
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

8.

А А 1 А 1 А Е
Выполним проверку
1
9
1 2 0
5
А А 1 3 2 1
1 3 2 9
7
9
1 10
9 9 0
3 10 7
9
9
9
1 15 14
9
9
9
4
9
2
9
1
9
2
9
1
9
4
9
4 4
0
9 9
12 4 1
9
9 9
4 6 2
9 9 9
2 2
0
9 9
1 0 0
6 2 4
0 1 0 Е.
9 9 9
0
0
1
2 3 8
9 9 9
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

9.

Другой подход к нахождению обратной матрицы:
Пусть дана невырожденная матрица n порядка:
a11 a12
a
a22
A 21
... ...
a n1 a n 2
... a1n
... a2 n
... ...
... ann
Составим из матрицы А новую матрицу, приписав справа к
матрице А единичную:
a11 a12
a
a22
21
... ...
a n1 a n 2
0 ... 0
1 ... 0
... ... ... ... ... ...
... ann 0 0 ... 1
... a1n 1
... a2 n 0
С помощью элементарных преобразований добьемся того,
чтобы слева получилась единичная матрица, тогда справа
будет матрица, обратная данной.
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

10.

Пример. Найти матрицу, обратную матрице
1 2 0
А 3 2 1
1 3 2
Решение
Припишем справа к матрице А единичную
1 2 0 1 0 0
3 2 1 0 1 0
1 3 2 0 0 1
Далее приведем матрицу к ступенчатому виду
.
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

11.

1 2 0 1 0 0 ll2 (( 1)3) ll1 1 2 0 1 0 0 l l
3 2 1 0 1 0 3 ~ 1 0 4 1 3 1 0 2 ~ 3
1 3 2 0 0 1
0 1 2 1 0 1
1 2 0 1 0 0 l 4 l 1 2 0 1 0 0
3
2
~ 0 1 2 1 0 1 ~ 0 1 2 1 0 1
0 4 1 3 1 0
0 0 9 7 1 4
Итак, матрица приведена к ступенчатому виду.
Добьемся того, чтобы матрица слева была единичной.
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

12.

1 0 0
l2 ( 2) l3
1 2 0 1 0 0 ll3:9 ( 2) l
0 1 2 1 0 1 1 ~ 2 0 1 0
0 0 9 7 1 4
0 0 1
1
9
Таким образом, матрица А-1= 5
9
7
9
1
9
5
9
7
9
4
9
2
9
1
9
4
9
2
9
1
9
2
9
1
9
4
9
2
9
1
.
9
4
9
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

13.

Cвойства обратных матриц.
1) (A-1)-1 = A;
2) (AB)-1 = B-1A-1
3) (AT)-1 = (A-1)T.
Матричные уравнения.
1. АХ =В
2. ХА =В
3. АХВ =С
A-1АХ = A-1В
ХАA-1 = ВA-1
A-1АХВВ-1 = A-1СВ-1
ЕХ = A-1В
ХЕ =В A-1
ЕХЕ = A-1СВ-1
Х = A-1В
Х =В A-1
Х = A-1СВ-1
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

14.

Матричный метод решения систем линейных
уравнений.
Матричный метод применим к решению систем уравнений,
где число уравнений равно числу неизвестных.
Метод удобен для решения систем невысокого порядка.
Метод основан на применении свойств умножения матриц.
Пусть дана система уравнений:
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
...............................................
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn
a11
a
A 21
am1
a12
a22
am2
Запишем Слау в матричной форме
x1
b1
a1n
x
b
a2n
2
2
, X , B
amn
x
n
bm
A X B.
Тогда согласно свойствам обратной матрицы Х = А-1 В
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

15.

Пример . Решить систему матричным способом
2x1 x 2 x 3 1,
3x1 2x 2 2x 3 1,
x 4x 7x 3,
1
2
3
Решение.
2 1 1
1
A 3 2 2 , B 1 .
1 4 7
3
Обратная матрица существует, так как
det A 3 0.
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

16.

A11
2
2
4
7
A12
A13
3
2
1
7
3 2
1
Найдем
4
6,
A 21
19,
10
A 22
A 23
1 1
4 7
2 1
1 7
2 1
1 4
3,
13,
7
A31
1
1
2
2
A32
A33
2
0,
2
1
3
2
1
3 2
1,
1.
3
0
6
1
A 1 19 13 1
3
10
7
1
Отсюда находим
3
0 1
6
6 3 0
3 1
1
1
1
X A 1B 19 13 1 1 19 13 3 9 3
3
3
3
6 2
10 7 1 3
10 7 3
Ответ:
x1 1, x 2 3, x 3 2.
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко