Чётные и нечётные функции. Периодические функции

1.

Чётные и нечётные функции.
Периодические функции.
Фомина Л.В.

2. Чётная функция

у
у = f (x)
f(‒ х)
f(х)
1
‒х
График чётной функции
симметричен относительно
оси ординат (ОY)
0
1
х
х

3. Четные функции

Их графики симметричны относительно оси OY.
(Мысленно перегибаем координатную плоскость по оси OY ,
ветви графика должны совпасть)
y
y
1
1
0 1
0
1
x
x

4.

Примеры чётных функций
1 2
у ( х) х
2
1
1 2
2
у ( х) ( х) х
2
2
у ( х) у ( х)
График данной функции
симметричен относительно
оси ОY

5.

Примеры чётных функций
у ( х) 0, 25 х 4 3 х 2
у ( х) 0, 25( х) 4 3( х) 2
0, 25 х 4 3 х 2
х
у ( х) у ( х)
График данной функции
симметричен относительно
оси ОY

6. Нечётная функция

у
f(х)
1
0
‒х
График нечётной функции
симметричен относительно
начала координат О(0;0)
f(‒ х)
‒1
у = f (x)
х
х

7. Нечетные функции

Их графики симметричны относительно начала координат.
(Мысленно «забиваем» гвоздь в точку O(0;0) и поворачиваем на
180°, ветви должны совпасть)
y
0 1
x

8.

Примеры нечётных функций
у
1 3
у ( х) х
10
1
1 3
3
у ( х) ( х) х
10
10
у ( х) у ( х)
График данной функции
симметричен относительно
начала координат О(0;0).
А
х
B

9.

Примеры нечётных функций
1 5 1
у ( х)
х х
40
2
1
1
5
у ( х)
( х ) ( х)
40
2
1 5 1
1 5 1
х х
х
40
2
2
40
у ( х) у ( х)
График данной функции
симметричен относительно
начала координат О(0;0).
А
х
х
В

10. Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида являются ни четными, ни нечетными.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17. Ответь на вопросы:

• Может ли быть чётной или нечётной функция,
областью определения которой является:
а) промежуток [ - 2; 5 ] ;
б) промежуток ( - 7; 7 );
в) объединение промежутков [ - 10; - 2 ] U [ 2; 10 ] .
• а) Функция f – чётная, f (3) = 25. Найти f (- 3).
б) Функция f – нечётная, f (- 8) = 71. Найти f (8).

18.

19.

20. Домашнее задание:

Учебник: № 57; № 58

21.

Периодичность функции
Графики периодических функций:
у
Т
1
0
TT
1
у = f (x)
х

22. Определение

Функция у=f(x) называется периодической , если
существует такое отличное от нуля число Т, что для
любого х из области определения этой функции
значения x + T и x – T также принадлежат области
определения и выполняется двойное равенство
f ( x - T) = f(x) = f(x + T)
Т - период функции у=f(x)

23.

У периодической функции бесконечно много
периодов, если Т период, то и 2Т и 3Т и 10Т тоже
периоды, вообще любое число вида: kT, где k- целое
число.
Наименьший положительный период называется
основным периодом.

24.

sin(x+2πk)=sinx, k∈Z.
cos(x+2πk)=cosx,k∈Z.
у=sinx, у=cosx — периодические функции с
наименьшим положительным периодом 2π
tg(x+πk)=tgx, k∈Z
ctg(x+πk)=ctgx,k∈Z
у = tgx, у=ctgx— периодические функции с
наименьшим положительным периодом π

25.

Пример №1
Найти основной период функции у = sin7x
Решение:
Пусть Т основной период нашей функции, тогда:
sin7x=sin(7(x+Т))=sin(7x+7Т).
мы знаем что 2πk период синуса, найдем решение
нашей задачи:
sin(7x+7Т)= sin(7x+ 2πk)
7t = 2πk
t = 2πk/7
Ответ: T = 2πk/7

26.

Свойство 1.

27.

Пример №2.
Найти наименьший положительный период функций

28. №62 Докажите, что число Т является периодом функции f, если:

29. № 63 Докажите, что функции являются нечетными: f ( x - T) = f(x) = f(x + T)

30. Периодические функции

График периодической функции состоит из повторяющихся
одинаковых кусков, каждый из которых получается из другого
параллельным переносом вправо или влево на Т единиц.
Т=2
Т=1

31.

Свойство 2.

32.

Пример №3.
Найти период функции:

33. Домашнее задание:

№ 62; №63; №64