Четные и нечетные функции. Периодичность функций

1. Четные и нечетные функции Периодичность функций

2. Четная функция

Функция у=f(x) называется
четной, если
f(-x) = f(x)
для любого х из области
определения функции
у
y=f(x)
1
График четной функции
симметричен относительно
оси ОУ
0
1
х

3. Примеры четных функций

1 2
у ( х) х
2
1
1 2
2
у ( х) ( х) х
2
2
у ( х) у ( х)
График данной функции
симметричен относительно оси Оу

4. Примеры четных функций

у ( х) 0, 25 х 3 х
4
2
у ( х) 0, 25( х) 4 3( х) 2
0, 25 х 3 х
4
2
у ( х) у ( х)
График данной функции
симметричен относительно оси Оу
х

5. Нечетная функция

Функция у=f(x) называется
нечетной, если
f(-x) = -f(x)
для любого х из области
определения функции
у
y=f(x)
1
График нечетной функции
симметричен относительно
начала координат О(0;0)
0
1
х

6. Примеры нечетных функций

А
1 3
у ( х) х
10
1
1 3
3
у ( х) ( х) х
10
10
у ( х) у ( х)
График данной функции
симметричен относительно
начала координат
х
А1

7. Примеры нечетных функций

1 5 1
у ( х)
х х
40
2
А
1
1
5
у ( х)
( х ) ( х)
40
2
1 5 1
1 5 1
х х х х
40
2
2
40
у ( х) у ( х)
График данной функции
симметричен относительно
начала координат
х
А1

8.

Не всякая функция является четной или нечетной.
Функции общего вида являются ни четными, ни
нечетными.

9.

Обратите внимание!!!!

10.

Потренируйся!!!!

11.

Потренируйся!!!!

12.

Потренируйся!!!!

13.

Потренируйся!!!!

14.

15. Периодические функции

Функция называется периодической, если
существует такое число Т = 0, что для любого х
из области определения этой функции
выполняется равенство f(x-T)=f(x)=f(x+T)
Графики периодических функций:
Т
у
TT
1
0
1
y=f(x)
х

16.

У периодической функции бесконечно много периодов.
Если Т период, то и 2Т и 3Т и 10Т тоже периоды.
Вообще любое число вида: kT, где k- целое число.
Copyright © 2008 by Zykin Valerij Все права защищены.
Copyright © 2008 by http://www.mathvaz.ru
Наименьший положительный
основным периодом.
период
называется
sin(x+2πk)=sinx, k∈Z
cos(x+2πk)=cosx, k∈Z
у=sinx, у=cosx — периодические функции
наименьшим положительным периодом 2π
tg(x+πk)=tgx, k∈Z
ctg(x+πk)=ctgx,k∈Z
у = tgx, у=ctgx— периодические функции с
наименьшим положительным периодом π
с

17.

Найдем основной период функции у = sin7x
Решение:
Пусть Т основной период нашей функции, тогда
sin7x=sin(7(x+Т))=sin(7x+7Т).
Мы знаем что 2πk период синуса, найдем решение
нашей задачи:
sin(7x+7Т)= sin(7x+ 2πk)
7t = 2πk
t = 2πk/7
Ответ: T = 2πk/7

18.

Свойство

19.

Найдем наименьший положительный период функций

20.

График периодической функции состоит из повторяющихся
одинаковых кусков, каждый из которых получается из другого
параллельным переносом вправо или влево на Т единиц.
Т=2
Т=1

21.

Практический материал
Учебник Колмогорова, стр. 38
№63; №64