Методы решения логарифмических уравнений

1.

2.

Метод решения хорош, если с самого
начала мы можем предвидеть –
и в последствии подтвердить это, и что,
следуя нашему методу, мы достигнем
цели.
Лейбниц

3.

Уравнения.
Квадратные
Линейные
Иррациональные
Рациональные
Тригонометрические
Показательные
Логарифмические

4.

Определение логарифмического
уравнения
Уравнение, содержащее переменную под
знаком логарифма, называется
логарифмическим
log x b
a
Где a 0 , a
x a
b
1
Оно имеет единственное решение
при любом b.

5.

Определение логарифма.
Логарифмом
данного
числа
по
данному
основанию
называется
показатель степени, в которую надо
возвести это основание, чтобы получить
данное число.
a
loga x
x, а 0, х 0, а 1

6.

loga aaa 11
log
log a b
rrlog
logaabb
rr
b
log
log
logaa log
loga ac c
log a
c
logaa1
1
0
log
log
loga aaa cc
cc
log
log
logaabb log
log
c
logaabc
a ca
log a x 22nnlog
logaa| |xx| ,| (, n(n ZZ) )
1
log aa b
log
log b a
22nn
log
logaabb log
logaarr bb
rr
logc cbb
log
log
loga abb
logc caa
log

7.

Основные сведения о логарифмах.

8.

Задание 1
1 вариант
1.
2.
3.
4.
5.
6.
3 log 34 =
log 4 4 =
log 3 1 =
log -5 5=
log 6 2 + log 6 3 =
log 2 32 =
7. log 3 3
8. log 2 28 - log 2 7 =
2 вариант
1.
2.
3.
4.
5.
6.
5 log 57 =
log 4 1=
log 6 6 =
log 5 (-2)=
log 3 27 =
log 2 15 - log 2 30 =
7. log
7
1
7
8. log 15 3 + log 15 5 =

9.

Методы решения
логарифмических уравнений
1. Решение уравнений по свойствам
логарифма.
2. Решение уравнений по определению
логарифма
3. Решение уравнений заменой переменной.

10.

Пути решения уравнений
1. Выбрать метод решения.
2. Решить уравнение.
3. Проверить найденные корни непосредственной
подстановкой в исходное уравнение.

11.

Решение логарифмического
уравнения по определению логарифма
log2 ( х 17 )
2
13
1. Решите уравнение:
Решение уравнения:
2
log2 ( х 17)
13
х – 17 = 13
х = 13 +17 = 30
2log2 (30 17) 13
log2 13
2
13
13=13
Ответ: х = 30
Пояснения и применяемые
формулы:
а
logа в
в
Перенесём число 2 в правую часть
Сделаем проверку
Посчитаем в скобках
а
logа в
в
Верно

12.

Решение логарифмического
уравнения по определению логарифма
2. Решите уравнение:
6
Решение уравнения:
6
log6 ( х 2 3)
х2 – 3 = 1
log6 ( х 2 3)
Пояснения и применяемые формулы:
logа в
а
1
Приведём подобные
х2 = 4,
Решим неполное квадратное уравнение
х1 = 2, х2 = -2
6
6
Сделаем проверку
1 6
6 log6 ( 4 3) 1
log6 1
в
Перенесём число 3 в правую часть
х2 = 1 + 3
log6 ( 2 2 3 )
1
log6 (( 2 ) 2 3)
1
6 log6 ( 4 3) 1
1,1 1 6
log6 1
Ответ: х1 = 2, х2 = -2
1,1 1
Подставляем числа
Посчитаем в скобках
а logа в в
Верно

13.

Что надо знать и уметь,
для того, чтобы решить логарифмическое
уравнение
1. Знать определение
логарифма.
2. Уметь решать линейное
и квадратное
уравнение.

14.

Задание 2
log3 ( х 20)
1.3
2.7
log7 ( x 2 1)
15
80
1.2
log2 ( х 12)
4
log5 ( x 2 2 x )
2.5
0

15.

Решение логарифмического
уравнения по определению логарифма
3. Решите уравнение:
Решение уравнения:
lg x 3
lg x lg 10
3
1
lg x lg
3
10
1
1
0,001
3
10
1000
lg x 3
Пояснения и применяемые формулы:
lg 10b b
a n
1
an
Левая и правая часть уравнения приведена
к логарифму по одному основанию
Сделаем проверку
lg 0,001 3
0,001 10 3
lg 10 3 3
lg 10b b
-3=-3
Ответ: х = 0,001
Верно

16.

Решение логарифмического
уравнения по определению логарифма
4. Решите уравнение: log 7 (5 x) 3
Решение уравнения:
Пояснения и применяемые формулы:
log 7 (5 x) 3
log a a b b
log 7 (5 x) log 7 7 3
Возведём 7 в куб
log 7 (5 x) log 7 343
5 - х = 343,
Левая и правая часть уравнения
приведена к логарифму по одному
основанию
Решим линейное уравнение
- x = 338
Неизвестные оставим в левой части,
числа переносим вправо
Умножим все части на (-1)
х = - 338
Сделаем проверку
-x = 343 - 5

17.

Решение логарифмического
уравнения по определению логарифма
Решение уравнения:
log 7 (5 ( 338)) 3
Пояснения и применяемые формулы:
Подставим
log 7 (5 338) 3
Посчитаем в скобках
log 7 343 3
343 = 73
log 7 7 3
3
3=3
Ответ: х = - 338
log a a b b
Верно

18.

Задание 3
1. log 6 x 2
2. log 2 ( 1 x) 3
1. log 5 x 2
2. log 3 (9 x) 4

19.

Решение логарифмического
уравнения по свойствам логарифма
5. Решите уравнение: log 3 ( x 1) log 3 ( x 3) 1
Решение уравнения:
Пояснения и применяемые
формулы:
log 3 ( x 1) log 3 ( x 3) 1 log a x log a y log a ( x y)
log a a 1
log 3 ( x 1)( x 3) 1
log 3 ( x 1)( x 3) log 3 3
( x 1)( x 3) 3
Левая и правая часть уравнения
приведена к логарифму по одному
основанию
x 3x x 3 3
Раскроем скобки
Приведём подобные
x2 4x 3 3 0
Перенесём все слагаемые в лево
2
x2 4x 0
Решим неполное квадратное
уравнение

20.

Решение логарифмического
уравнения по свойствам логарифма
Решение уравнения:
x2 4x 0
х ( х 4) 0
х 0или
х 4 0, х 4
х 0
log 3 (0 1) log 3 (0 3) 1
log 3 1 log 3 3 1
0 1 1,1 1
х 4
log 3 ( 4 1) log( 3)
Ответ: х = 0
Пояснения и применяемые
формулы:
Вынесем за скобки общий
множитель
Произведение равно нулю, когда хотя
бы один из множителей равен нулю
Сделаем проверку
log a 1 0, log a a 1
Верно
Посторонний корень
Не существует логарифма от
отрицательного числа.

21.

Решение логарифмического
уравнения по свойствам логарифма
6. Решите уравнение:
lg( x 2 2 х 7) lg( x 1) 0
Решение уравнения:
lg( x 2 2 х 7) lg( x 1) 0
x2 2x 7
lg
0
x 1
x2 2x 7
lg
lg 1
x 1
x2 2x 7
1
x 1
x2 2x 7 x 1
x2 2x 7 x 1 0
х2 х 6 0
Пояснения и применяемые
формулы:
log a x log a y log a
log a 1 0
Левая и правая часть уравнения
приведена к логарифму по одному
основанию
Применим свойство пропорции
Перенесём все слагаемые влево
Приведём подобные
Решим квадратное уравнение
x
y

22.

Решение логарифмического
уравнения по свойствам логарифма
Решение уравнения:
x2 x 6 0
a = 1, b = 1, c = -6
D 12 4 1 ( 6) 1 24 25
1 5
2 1
1 5
x2
2 1
x1
х 2
Пояснения и применяемые
формулы:
6
3
2
4
2
2
D b 2 4ac
x1, 2
b D
2a
Сделаем проверку
lg( 2 2 2 2 7) lg( 2 1) 0
lg 1 lg 1 0,0 0
х 3
lg( 3 1) lg( 4)
Ответ: х = 2
Верно
Посторонний корень
Не существует логарифма от
отрицательного числа.

23.

Задание 4
1. log 3 ( x 2) log 3 ( x 2) log 3 (2 x 1)
2. log 3, 4 ( x 2 5x 8) log 3, 4 x 0
1. log 0, 4 ( x 2) log 0, 4 ( x 3) log 0, 4 (1 x)
2. log 23 (2 x 1) log 23 x 0

24.

Введение новой переменной
2
A log a
f ( x) B log a f ( x) C 0,
где a > 0, a 1, A, В, С – действительные числа.
Пусть t = loga f(x), t R.
Уравнение примет вид t2 + Bt + C = 0.
Решив его, найдём х из подстановки t = loga f(x).
Учитывая область определения, выберем только те
значения x, которые удовлетворяют неравенству
f(x) > 0.

25.

Решение логарифмического уравнения
введением новой переменной
7. Решите уравнение:
log 32 log 3 x 2 0
Решение уравнения:
log 32 log 3 x 2 0
t2 t 2 0
D ( 1) 4 1 ( 2) 1 8 9
2
1 3 2
1
2 1
2
1 3 4
t 2
2
2 1
2
t1
log 3 х 1
log 3 х 2
log 3 x log 3 3 1 log x log 32
3
3
1
1
x 3
x 32 9
3
Ответ: х1 = 1/3, х2 = 9.
Пояснения и применяемые
формулы:
Обозначим:
log 3 x t
Решим квадратное уравнение
D b 2 4ac
t1, 2
b D
2a
log a a b
b
Левая и правая часть уравнения
приведена к логарифму по одному
основанию

26.

Задание 5
1.2 log 52 x 5 log 5 x 2 0
2. log 21 x 3 log 1 x 2 0
2
2
1.3 log 24 x 7 log 4 x 2 0
2. log x log 5 x 6 0
2
5

27.

Задание 6
1.4 log4 ( x 7 ) 11
2. log 3 (5 x 1) 2
3. log 5 ( x 1) log( x 2) log( x 2)
4. log 22 x 3 log 2 x 4 0
5. log 2 x log 1 x 4
2
1.2 log2 ( x 15) 4
2. log 4 (5 2 x ) 3
3. lg 2 x lg x 6 0
4. log 23 ( 2 x 1) log 23 x 0
5. log 16 x log 4 x log 2 x 7

28.

Решение логарифмического уравнения
приведением к одному основанию
8. Решите уравнение:
3 log х 16 4 lo g 16x 2 log 2 x
Приведём все логарифмы к основанию 2 по свойству логарифма:
log a x
log b x
log b a
log 2 16
log 2 2 4
4 log 2 2
4
log x 16
log 2 x
log 2 x
log 2 x
log 2 x
log 16 х
log 2 х
log 2 х
log 2 х
log 2 x
log 2 16
log 2 2 4
4 log 2 2
4
Подставим в исходное уравнение полученные результаты:
3
4
log 2 x
4
2 log 2 x
log 2 x
4
12
log 2 x 2 log 2 x
log 2 x

29.

Решение логарифмического уравнения
приведением к одному основанию
12
2 log 2 x log 2 x Приведём подобные
log 2 x
12
3 log 2 x
log 2 x
3 log 22 x 12
Разделим обе части уравнения на 12
log 22 x 4
Получили уравнение вида: х2 = а
log 2 x 2
log 2 x 2
log 2 x log 2 2
Умножим обе части уравнения на
log 2 x 4
2
x 22 4
Ответ: х1 = 4, х2 = 0,25
log 2 x log 2 2 2
x 2 2
1
1
0,25
2
2
4

30.

Методы решения
логарифмических уравнений
1. Решение уравнений по свойствам
логарифма.
2. Решение уравнений по определению
логарифма
3. Решение уравнений заменой переменной.
4. Приведение обоих частей уравнения к
логарифму по одному основанию.

31.

Закрепление
2 log 5 x 2 log х 5 5
log x 5
2 log 5
log 5 5
1
log 5 x
log 5 x
2
x 2
5
log 5 x
2 log 52 x 2 5 log 5 x
log 5 x t
2 log 52 x 5 log 5 x 2 0
2t 2 5t 2 0
1
D ( 5) 4 2 2 25 16 9 log 5 х
2
5 3 2 1
2
t1
2 2
4 2
5 3 8
t 2
4
2 2
2
Ответ: х1 =
log 5 x log 5 5
1
2
x 5
5 , х2 = 25.
5
1
2
log 5 х 2
log 5 x log 5 5 2
x 52 25

32.

Гимнастика для глаз
Сильно зажмурьте глаза, откройте глаза и посмотрите
на предмет перед Вами (повторите 5 раз).
Закройте глаза, откройте глаза, посмотрите направо,
посмотрите налево (повторите 5 раз).
Сильно зажмурьте глаза, откройте глаза и посмотрите
на предмет вдали от вас (повторите 5 раз).

33.

Логарифмическая спираль

34.

полюс
- расстояние от полюса до
произвольной точки на спирали
– угол поворота относительно
полюса
– постоянная
или
Спираль называется
логарифмической, т.к. логарифм
расстояния (
) возрастает
пропорционально углу поворота

35.

Если вращать спираль
вокруг полюса по
часовой стрелке, то
можно наблюдать
кажущееся растяжение
спирали.

36.

Если вращать спираль
вокруг полюса против
часовой стрелки, то
можно наблюдать
кажущееся сжатие
спирали.

37.

Спирали широко проявляют себя в
живой природе. Спирально
закручиваются усики растений, по
спирали происходит рост тканей в
стволах деревьев.

38.

В подсолнухе
семечки расположены
по дугам, близким к
логарифмической
спирали

39.

Рога животных растут
лишь с одного конца.
Этот рост осуществляется
по логарифмической
спирали. Например, рога
баранов, коз, антилоп и
других рогатых
животных.

40.

Раковины морских животных могут расти лишь в одном
направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину,
им приходится скручиваться, причем каждый следующий
виток подобен предыдущему. Поэтому раковины многих
моллюсков, улиток, закручены по логарифмической
спирали.

41.

По логарифмической спирали
формируется тело циклона

42.

По логарифмическим спиралям закручены и
многие галактики, в частности – Галактика
Солнечной системы.

43.

Всем спасибо
за работу на уроке!
Удачи
в освоении
математики