Скалярное произведение векторов

1. Скалярное произведение векторов

2. Угол между векторами

а и b не являются
сонаправленными
О –произвольная точка
а
b
А
ОА а ,
ОВ b
АОВ =
а b =
О
В

3. Угол между векторами

а
Если векторы а и b
сонаправлены, в
частности один из
них или оба
нулевые, то угол
между векторами
равен 0°.
Два вектора
называются
перпендикулярными,
если угол между
ними равен 90°
b
а
а b = 0°
b а b
= 0°
а b = 90°
а
b
а b

4. Найдите угол меду векторами

5. Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением векторов
называется произведение их длин на косинус угла
между ними
Пример:
a b a b cos a b
a 2 , b 3,
угол между векторами а и b
1350
a b a b cos
2
a b 2 3 cos 135 6 cos 45 6
3 2
2
0
0

6. Необходимое и достаточное условие равенства нулю скалярного произведения

Скалярное произведение ненулевых
векторов равно нулю тогда и только тогда
когда эти векторы перпендикулярны
1
a 0
b 0 a b 0
a b
2
a 0
b 0 a b
a b 0

7.

1
a 0
b 0 a b 0
a b
a b a b cos a b
a b a b cos 90
cos 90 0
0
a b 0
0
2
a 0
b 0 a b
a b 0
a b 0
a b cos a b 0
a 0 a 0; b 0 b 0
0
cos a b 0 a b 90
a b

8. Скалярный квадрат

Скалярное произведение
a a
называется скалярным квадратом вектора
a a a a cos a a
cos a a соs 00 1
a a a a а
2
a
a
Свойство.
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

9. Задача

Дано: АВС – равносторонний
АС = 2 см
Найти:
В
D
AD CB , AD AB ,
BC CB , ВA DB
А
2 см
С

10. Применение скалярного произведения в физике

Работа А постоянной
силы F при
перемещении тела из
точки М в точку N, равна
произведению длин
векторов силы и
перемещения на косинус
угла между ними.
Т.е. работа силы F
равна скалярному
произведению векторов
силы и перемещения
A F MN cos
A F MN

11. Самое главное

Скалярным произведением векторов называется
произведение их длин на косинус угла между ними
Скалярное произведение ненулевых векторов равно
нулю тогда и только тогда когда эти векторы
перпендикулярны
Скалярное произведение вектора самого на себя
называется скалярным квадратом вектора
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его
длины.

12. Домашнее задание

Пп. 101-102
№1040
№ 1041
№ 1042