Производная и интеграл степенной функции с действительным показателем

1.

Производная и интеграл
степенной функции с
действительным показателем

2.

Цели урока
11.3.1.9 - знать и применять правила
нахождения производной степенной
функции с действительным
показателем;
11.3.1.10 - знать и применять правила
нахождения интеграла степенной
функции с действительным показателем

3.

Производная степенной функции
Производная степенной функции равна
произведению показателя степени и
основания в степени на единицу
меньше.
x nx
n
n 1
Заметим, что в качестве степени может
быть как натуральное число, то есть 1,
2, 3, ...; так и любое отрицательное
число: - 1, - 2 и т.д., а также и любое
3
дробное, например, 2,34; - 4,1 или 5 .

4.

Пример
Найти производную функции: f ( x) x 8
Решение
Искомая производная: f x x
8
Находим производную степенной функции
по формуле:
f x 8 x 8 1 8 x 7
7
f
x
8x
Ответ:

5.

6.

7.

Интеграл степенной функции
Интеграл от степенной функции равен этой
же функции в степени на единицу больше,
деленной на эту же степень, плюс постоянная
интегрирования.
n 1
x
x dx n 1 C
n
Заметим, что в качестве степени может быть
как натуральное число; так и любое
отрицательное число, кроме (- 1), а также и
3
любое дробное, например, 2,34; - 4,1 или .
5
1
Если n=-1, то
dx ln x C
x

8.

Упражнения
Заполните пропуски
10
9
17
16
7
Найдите интегралы функции
3
1
x
1
4
1) 4 dx
x dx
3 C
x
3
3x
2) x dx
3)
2
x x
dx
4) 5 x 2 dx
1
2
3
2
x
2
x x C
3 3
2
3
4
2x 2 dx
C
x
2
5
x 5 dx 5 x 7 C
7
x dx
6

9.

Выполните задания:
№1 Вычилите :
х х
4
х
3
№2Вычислите у / (1) :
dx .
у 3х 2 3 х
/2/
/2/
№4Найдите интеграл :
№5 найдите интеграл :
2 x х 3
dx
х
3
2
/3/
№7
f х
3 2 10
х
1, х 0
8
x
Найдите функцию
проходящую через точку
(4;25)
№3 Вычислите у / (1) :
1
;
/2/
у 3
( х 1) 3
№6 Найдите площадь фигуры
ограниченную линиями
2х 6х 4
dx
2х
2
7
9
/3/
№8
При каком значении х
производная функции
принимает отрицательные
значения :
у (5 3х) 2 (3х 1) .
/5/
у х х , х 1, x= 0, y = 4
/3/
№9
/5/
/5/

10.

Рефлексия
чему научился
что осталось непонятным
над чем необходимо работать
x nx
n
n 1
n 1
x
x dx n 1 C
n