Рычажные механизмы. Кинематический анализ механизмов

1.

1. Рычажные механизмы
1.2. Кинематический анализ механизмов
А. В. Ступин

2.

Оглавление
1.2. Кинематический анализ механизмов
1.2.1. Задачи кинематического анализа
1.2.2. Планы скоростей и ускорений
1.2.3. Пример решения задачи о скоростях и ускорениях
1.3. Динамический анализ механизмов
1.3.1. Цели и задачи динамического анализа
1.3.2. Силы, действующие на звенья механизмов
1.3.3. Определение сил инерции подвижных звеньев механизма
1.3.4. Направление реакций в кинематических парах
1.3.5. Определение реакций в кинематических парах
2

3.

1.2.1. Задачи
кинематического анализа
• Кинематический анализ состоит в определении движения
звеньев механизма по заданному закону движения
ведущих звеньев.
• Основные задачи кинематического анализа:
1) Определение положения звеньев,
а также траекторий отдельных точек звеньев;
2) Определение скоростей и ускорений.
• При решении указанных задач считаются известными:
‒ законы движения ведущих звеньев;
‒ кинематическая схема механизма
с указанием размеров звеньев.
3

4.

1.2.1. Задачи
кинематического анализа
Задачи о положениях, скоростях и ускорениях решаются
применительно к группам Ассура, которыми образован
механизм:
1) Проводится структурный анализ и классификация
механизма по Ассуру.
2) Выбирается ведущее звено.
Задаётся закон движения этого звена.
4

5.

1.2.1. Задачи
кинематического анализа
3) Выбирается масштаб чертежа.
На чертеже наносятся неподвижные элементы
кинематических пар механизма.
По заданной обобщенной координате строится
положение ведущего звена.
4) Строятся планы положений каждой группы Ассура
в соответствии с последовательностью образования
ими механизма.
5) Строятся планы скоростей и ускорений
применительно к группам Ассура.
5

6.

1.2.1. Задачи
кинематического анализа
• Масштабы для планов положений, скоростей и ускорений
выбираются произвольно.
• При анализе рычажных передач
под масштабом той или иной величины принято понимать
отношение этой величины к отрезку, который изображает
ее на чертеже:
‒ масштаб плана положений механизма μl, м/мм;
‒ масштаб плана скоростей μv, м·с-1/мм;
‒ масштаб плана ускорений μa, м·с-2/мм.
6

7.

1.2.1. Задачи
кинематического анализа
y
3
lCD
z
β
5
4
C
2
E
lDE
α
D
B
1
A
lBD
lBC
φ1
x
Рис. 1.8. Построение плана положений
7
Пример 1.1. Решение задачи
о положениях рассмотрим
на примере схемы двигателя
внутреннего сгорания (рис. 1.1).
Исходные данные:
размеры звеньев механизма
l1 = lAB, lBC, lCD, lDB, l4 = lDE;
обобщенная координата
ведущего звена φ1;
углы α и β, определяющие
положение направляющих
ползунов 3 и 5.

8.

1.2.1. Задачи
кинематического анализа
y
3
lCD
z
β
5
4
C
2
E
lDE
α
D
B
1
A
φ1
lBD
lBC
• Решение.
1) Определяем степень
подвижности механизма
по формуле Чебышева.
2) Проводим структурный анализ
механизма.
3) Произвольно выбираем длину
отрезка АВ, изображающего
на чертеже ведущее звено 1
(кривошип).
x
Рис. 1.8. Построение плана положений
8

9.

1.2.1. Задачи
кинематического анализа
y
4) Определяем масштаб плана
положений μl, а затем находим
значения отрезков,
изображающих на чертеже
другие звенья механизма:
3
lCD
z
β
5
4
C
2
E
lDE
α
D
B
1
A
lBD
lBC
φ1
x
Рис. 1.8. Построение плана положений
9
μl = lAB / AB;
BC = lBC / μl ;
CD = lCD / μl ;
BD = lBD / μl ;
BD = lBD / μl .

10.

1.2.1. Задачи
кинематического анализа
y
3
lCD
z
β
5
C
2
E
lD
α
E
4
D
B
1
A
φ1
lBD
lB
C
x
5) Отмечаем на чертеже
положения неподвижных
элементов кинематических пар:
шарнира А и направляющих
Ay и Az.
6) Строим положение ведущего
звена по заданной обобщенной
координате φ1.
7) Строим положения групп
Ассура в порядке
их присоединения к ведущему
звену.
Рис. 1.8. Построение плана положений
10

11.

1.2.1. Задачи
кинематического анализа
• Если построить ряд последовательных положений
ведущего звена
и изобразить на том же чертеже соответствующие
положения групп Ассура, то можно получить
траекторию движения любой точки механизма.
11

12.

1.2.2. Планы скоростей
и ускорений
• План скоростей (ускорений) механизма – это чертеж,
на котором изображены в виде отрезков векторы,
равные по модулю и направлению скоростям (ускорениям)
различных точек звеньев механизма
в данный момент времени.
• План скоростей (ускорений) механизма представляет собой:
‒ совокупность нескольких планов скоростей (ускорений)
отдельных звеньев,
‒ у которых полюса планов р являются общей точкой –
полюсом плана скоростей (ускорений) механизма.
12

13.

1.2.2. Планы скоростей
и ускорений
• Планы скоростей и ускорений механизма строятся:
‒ после решения задачи о его положениях
применительно к группам Ассура,
которыми образован исследуемый механизм.
• Кинематический анализ механизма начинается с ведущего
звена, закон движения которого задан,
и заканчивается построением планов скоростей
и ускорений для последней присоединенной группы Ассура,
т.е. проводится в порядке образования механизма.
13

14.

1.2.2. Планы скоростей
и ускорений
• При сложном движении точки или тела движение
исследуется одновременно
‒ в основной
‒ и подвижной системах отсчета.
• Абсолютное движение ‒ движение точки или тела
по отношению к основной системе отсчета.
• Относительное движение ‒ движение точки или тела
по отношению к подвижной системе отсчета.
• Переносное движение ‒ движение подвижной системы
отсчета по отношению к основной системе отсчета.
14

15.

1.2.2. Планы скоростей
и ускорений
Теорема о сложении скоростей при сложном
движении точки:
абсолютная скорость точки
равна геометрической сумме переносной
и относительной скоростей этой точки
v a ve v r .
15
(1.2)

16.

1.2.2. Планы скоростей
и ускорений
• При определении переносной скорости точки
предполагается, что относительное движение остановлено.
• При плоском движении звена:
‒ переносное движение ‒ поступательное движение
со скоростью произвольно выбранной точки звена,
принятой за полюс,
‒ относительное движение ‒ вращательное
вокруг этой точки (полюса),
причем угол и направление поворота не зависят
от выбора полюса.
16

17.

1.2.2. Планы скоростей
и ускорений
Абсолютное ускорение любой точки звена при
плоскопараллельном движении равно геометрической сумме
двух ускорений: ускорения в поступательном переносном
движении и ускорения во вращательном относительном
движении
n
aa ae ar ae ar ar ,
где
(1.3)
arn – нормальное ускорение в относительном вращательном
движении, направленное по радиусу траектории движения
точки к центру ее кривизны;
ar – касательное ускорение, направленное по касательной
к траектории движения точки.
17

18.

1.2.2. Планы скоростей
и ускорений
Если переносное движение при сложном движении звена
или точки не является поступательным,
то абсолютное ускорение aa любой точки звена
равно векторной сумме трех ускорений: переносного ae ,
относительного ar Кориолисова aк ускорений
aa ae ar ак , aк 2 e vr .
18
(1.4)

19.

1.2.2. Планы скоростей
и ускорений
Направление Кориолисова ускорения
определяется по правилу Жуковского:
vr
aк
е
‒ необходимо спроектировать вектор
относительной скорости vr на плоскость,
перпендикулярную вектору переносной
угловой скорости е,
‒ и повернуть полученную проекцию
в направлении вращения.
Векторные выражения (1.2), (1.3) и (1.4) используют для построения
планов скоростей и ускорений звена при его движении.
19

20.

1.2.3. Пример решения задачи
о скоростях и ускорениях
D 3
F
E
5
4
В
S2
S4
С
А
1
ω1 = const
О
20
2
Пример 1.2. Решение задачи
о скоростях и ускорениях
рассмотрим на примере схемы
двигателя внутреннего сгорания.
Исходные данные:
‒ размеры звеньев l1 = lOA,
l2 = lAB, l4 = lCE, ;
‒ угловая скорость ведущего звена
ω1 = const.

21.

1.2.3. Пример решения задачи
о скоростях и ускорениях
D 3
F
E
5
4
В
S2
S4
С
А
1
ω1 = const
О
vA
2
1) Определяем скорость точки А
звена 1:
vA = vAO = ω1 ∙ l1.
2) Произвольно выбираем значение
отрезка рv a, изображающего на
плане скоростей скорость точки А,
например, рv a = 100 мм.
3) Определяем масштаб плана
скоростей, м·с– 1/ мм:
μv = vA / рv a.
21

22.

1.2.3. Пример решения задачи
о скоростях и ускорениях
D 3
F
E
5
4
В
S2
S4
2
С
А
1
ω1 = const
Оv
v AO
4) Для определения скорости точки В
рассмотрим группу Ассура,
образованную звеньями 2 и 3.
• Для звена 2 в соответствии с (1.2)
скорость точки В определяем
из векторного уравнения
v B v A v BA .
(1.5)
A
• Для звена 3 скорость точки В определяем из уравнения
vB vD vBD ; vD 0.
22
(1.6)

23.

1.2.3. Пример решения задачи
о скоростях и ускорениях
D 3
F
5
E
4
В
S2
S4
Т.к. точка В одновременно принадлежит
звеньям 2 и 3, приравниваем правые
части уравнений (1.5) и (1.6):
v A vBA vBD .
2
В векторном уравнении (1.7) известны
направление и модуль скорости v A,
направление скоростей v BA и v ,
ω1 = const
BD
Оv v
неизвестными являются значения
A
AO
скоростей v и v .
BA
BD
• Следовательно, уравнение (1.7) может быть решено графически
(при числе неизвестных более трех необходимо составить
дополнительные уравнения).
1
23
С
А
(1.7)

24.

1.2.3. Пример решения задачи
о скоростях и ускорениях
D 3
F
E
5
4
В
S2
S4
ω1 = const
О
24
2
С
А
1
pv, o, f, d
v A v AO
v A vBA vBD
Решаем графически уравнение (1.7).
Построение для правой и левой частей уравнения (1.7) начинаем
из полюса плана скоростей рv.
Отмечаем на чертеже положение полюса плана скоростей рv.

25.

1.2.3. Пример решения задачи
о скоростях и ускорениях
D 3
F
E
5
4
В
S2
S4
2
С
А
1
ω1 = const
О
v A v AO
// OB
ОА
pv, o, f, d
АВ
b
a
v A vBA vBD vB
(1.7)
• Из полюса рv проводим отрезок рva перпендикулярно звену ОА.
• Через точку а проводим линию перпендикулярно звену АВ,
по которой направлена скорость v BA, а через полюс плана скоростей
pv проводим линию, параллельную направляющей ползуна 3.
25

26.

1.2.3. Пример решения задачи
о скоростях и ускорениях
D 3
F
E
5
4
В
S2
S4
2
С
А
1
ω1 = const
О
v A v AO
// OB
ОА
pv, o, f, d
vB
АВ
b
va
v BA
a
v A vBA vBD vB
• Точка пересечения данных линий b определит направление
и модуль скоростей v B и v BA.
26

27.

1.2.3. Пример решения задачи
о скоростях и ускорениях
D 3
F
E
5
4
В
S2
S4
2
С
А
1
ω1 = const
О
v A v AO
// OB
ОА
pv, o, f, d
vB
АВ
b
va
v BA
a
v A vBA vBD vB
• Измерив на плане скоростей значения отрезков ab и рv b, определим
значения скоростей: v BA ab v ...; v B pv b v ...
• Определяем значение угловой скорости звена 2, рад/с:
27
2 v AB l2 .

28.

1.2.3. Пример решения задачи
о скоростях и ускорениях
D 3
F
E
5
4
В
S2
S4
2
С
А
1
ω1 = const
О
v A v AO
// OB
ОА
pv, o, f, d
vB
АВ
b
va
v BA
a
5) По аналогии с определением скорости точки В определяем
скорость точки Е.
Для этого рассмотрим группу Ассура, образованную звеньями 4 и 5.
28

29.

1.2.3. Пример решения задачи
о скоростях и ускорениях
D 3
F
E
5
4
В
S2
S4
2
С
А
1
ω1 = const
О
// OB
ОА
pv, o, f, d
vB
АВ
b
va
v BA
a
v A v AO
• Для определения скорости точки F получим следующее
векторное уравнение:
vC vEC vEF vE .
29
(1.9)

30.

1.2.3. Пример решения задачи
о скоростях и ускорениях
D 3
F
E
5
4
В
S2
S4
2
С
А
1
ω1 = const
О
v A v AO
// OB
ОА
pv, o, f, d
vB
АВ
b
va
v BA
a
vC vEC vEF vЕ
• В векторном уравнении (1.9) более трех неизвестных: модуль
и направление скорости vC , модули скоростей vEC и vEF .
30

31.

1.2.2. Планы скоростей
и ускорений
v BA
F
4
E
4
vEC
5
В
vВ
2
S4
vE
D 3
S2
2
С
А
1
ω1 = const
О
v A v AO
// OB
ОА
pv, o, f, d
vB v
C
АВ
b
vE
EC
va
v BA e c a
vEC
// OE
vC vEC vEF vE
• Для определения модуля и направления скорости vC воспользуемся
свойством подобия. Положение точки с на плане скоростей
определим из пропорции:
AB BC ab bc ;
31
bc ab BC AB .

32.

1.2.3. Пример решения задачи
о скоростях и ускорениях
СЕ
E
vEC 5
v BA
3
АВ
В
4
n
aEC
ω4
S4
S2
1
ω1 = const
ω4 = vEC / l4.
n
aBA
ε2
ε4
Значение угловой скорости
звена 4, рад/с:
2
ω2
С
А
n
a AO
О v A v AO
6) Определяем ускорение точки А,
принадлежащей звену 1.
• Поскольку ω1 = const,
ускорение точки А имеет одну
составляющую – нормальное
ускорение, модуль которого
aA
32
n
a AO
2
1
l1
2
vA
l1 .

33.

1.2.3. Пример решения задачи
о скоростях и ускорениях
СЕ
E
vEC 5
v BA
n
aEC
4
ω4
S4
ε2
3
7) Определяем нормальные
В
АВ
составляющие относительных
ускорений точек В и Е:
n
aBA
n
2
2
S2
ε4
1
ω2
С
А
2
a BA 2 l2 vBA l2 ;
n
2
a EC
24 l4 vCE
l4 .
8) Выбираем произвольно значение
n
отрезка, изображающего на плане
ω1 = const
a AO
ускорений ускорение точки А,
О v A v AO
например, принимаем paa = 100 мм.
Определяем масштаб плана ускорений, м·с – 2 / мм:
а а A pа a .
33

34.

1.2.3. Пример решения задачи
о скоростях и ускорениях
СЕ
E
vEC 5
v BA
4
n
aEC
ω4
S4
S2
ε4
1
ω1 = const
34
ε2
3
• Определяем значения отрезков,
В
АВ
изображающих на плане ускорений
n
n
ускорения a BA и a EC , мм:
n
aBA
2
ω2
С
А
n
a AO
О v A v AO
n
ab n a BA
а ;
n
сe n a EC
а .
9) Для определения ускорения точки В,
рассмотрим группу Ассура,
образованную звеньями 2 и 3.
• Для звена 2 имеем
n
a B a A a BA a BA . (1.10)
• Для звена 3 имеем
r
к
a B aO a BO
a BO
. (1.11)

35.

1.2.3. Пример решения задачи
о скоростях и ускорениях
СЕ
E
vEC 5
v BA
4
n
aEC
ω4
S4
2
ε4
1
ω1 = const
ε2
3
В
АВ • Поскольку направляющая ползуна 3
неподвижна, переносное aO
n
к
aBA
и Кориолисово a BO
ускорения
равны нулю.
2
S
ω2
С
А
n
a AO
О v A v AO
• Точка В одновременно принадлежит
звеньям 2 и 3, поэтому приравниваем
правые части уравнений (1.10) и (1.11):
r
n
a B a BO
a A a BA
a BA
. (1.12)
В векторном уравнении (1.12) неизвестными являются значения
ускорений a B и a BA
, поэтому данное уравнение можно решить
графически.
35

36.

1.2.3. Пример решения задачи
о скоростях и ускорениях
СЕ
v BA
E
vEC 5
В
4
n
aEC
n
aBA
ω4
S2
S4
2
а
aA
ω2
1
ω1 = const
pa
3
АВ
С
А
n
a AO
О v A v AO
r
n
aB aBO
a A aBA
aBA
Строим правую часть уравнения. Отмечаем на чертеже полюс плана
ускорений ра и откладываем из него отрезок раа параллельно звену
n
ОА в направлении ускорения a A a AO.
36

37.

1.2.3. Пример решения задачи
о скоростях и ускорениях
СЕ
v BA
E
vEC 5
В
4
n
aEC
S2
ω1 = const
2
ω2
1
aA
n
aBA
ω4
S4
pa
3
АВ
С
А
n
a AO
О v A v AO
АВ
а
n
a BA
bn
r
n
aB aBO
a A aBA
aBA
Из точки а откладываем отрезок аbn параллельно звену АВ
n
в направлении ускорения a BA . Через точку bn проводим линию
перпендикулярно звену АВ, по которой направлено ускорение a BA.
37

38.

1.2.3. Пример решения задачи
о скоростях и ускорениях
СЕ
v BA
E
vEC 5
В
4
n
aEC
ω4
n
aBA
S2
S4
2
aA
aBA
АВ
ω2
1
ω1 = const
ε2
pa
3
АВ
С
А
n
a AO
О v A v AO
а
aB
n
a BA
bn b
aBA
aB
r
aBO
// OB
n
a A aBA
aBA
Переходим к левой части векторного уравнения. Через точку ра
проводим линию параллельно OB. Точка b пересечения линий
определит модули и направления ускорений a B и a BA.
38

39.

1.2.3. Пример решения задачи
о скоростях и ускорениях
СЕ
E
vEC 5
v BA
a EC
В
4
n
aEC
ε2
ω4
S4
n
aBA
S2
ε4
1
ω1 = const
О
2
ω2
С
А
n
a AO
pa
3
АВ
v A v AO
aA
aBA
АВ
а aС
n
a BA
с
bn b
aBA
СЕ
aE
aS 4
aB
s4
n
a EC
a EC
e
// OE
en
// OB
r
n
a E a EO
aC a EC
a EC
10) Для определения ускорения точки Е, рассмотрим группу Ассура,
образованную звеньями 4 и 5. Для определения ускорения точки Е
соединим на плане ускорений точки a и b.
39

40.

Россия, 681013, Хабаровский край,
г. Комсомольск-на-Амуре, проспект Ленина, 27
+7 (4217) 53-23-04
[email protected]
http://knastu.ru