Преобразование Фурье. Лекция 20

1. Здравствуйте!

Лекция №20

2.

Преобразование Фурье
Кроме преобразования Лапласа, широкое применение находит
также еще одно
интегральное преобразование, которое носит
название преобразования Фурье.
Пусть f ( x ) есть функция вещественной переменной х,
определенная на всей прямой х . Основное ограничение,
накладываемое на эту функцию, имеет вид
| f ( x ) | dx ,
то есть эта функция абсолютно интегрируема на всей вещественной
оси. Кроме этого, мы будем требовать, чтобы f ( x ) 0 при х . В
некоторых случаях будет требоваться также, чтобы при некоторых п
n
|
x
f ( x ) | dx .
Преобразованием Фурье от функции f ( x ) называется функция
F ( )
f ( x ) e i x dx .
(8)

3.

Она существует при любых , так как
f ( x ) e i x dx | f ( x ) | dx .
Как и в случае преобразования Лапласа оказывается, что не
только F ( ) однозначно определяется f ( x ) , но и наоборот, f ( x )
однозначно определяется F ( ) , то есть имеет место взаимнооднозначное соответствие f ( x ) F ( ) .
Теорема. Пусть
| f ( x ) | dx и
f ( x ) непрерывна в точке х.
Тогда имеет место формула
1
i x
f ( x)
F
(
)
e
d ,
(9)
2
где интеграл понимается в смысле главного значения. Эта формула
носит название обратного преобразования Фурье.
Доказательство этой теоремы мы приводить не будем.

4.

Свойства преобразования Фурье
Пусть F ( ) и G ( ) будут преобразованиями Фурье от функций
f ( x ) и g ( x ) соответственно, то есть f ( x ) F ( ) , g ( x ) G ( ) .
1. Линейность.
f ( x ) g ( x ) F ( ) G ( ) .
Действительно,
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) e i x dx
f ( x ) e i x dx g ( x )e i x dx F ( ) G ( ) .

5.

2. Формула подобия.
f ( x )
Имеем
1
F .
i
1
1
i x
f ( x ) f ( x )e dx f ( z )e dz F ,
где в интеграле сделана замена переменных х = z.
3. Теорема о сдвиге.
f ( x ) e i F ( ) .
Действительно, делая замену переменных х = z, получим
f ( x )
f ( x )e i x dx
z
f ( z )e i z e i dz e i F ( ) .

6.

4. Формула смещения.
f ( x ) e i x F ( ) .
Имеем
f ( x ) e i x
f ( x ) e i x e i x dx
f ( x )e i ( ) x dx F ( ) .
Следствия.
А) Так как sin x e i x e i x 2 i , то
1
1
f ( x ) sin x f ( x ) e i x f ( x ) e i x F ( ) F ( ) .
2i
2i
i x
i x
2 , то
Б) Так как cos x e e
1
1
f ( x ) cos x f ( x ) e i x f ( x ) e i x F ( ) F ( ) .
2
2

7.

5. Дифференцирование функции.
f ( n ) ( x ) ( i ) n F ( ) .
Действительно,
f ( x )
f ( x )e
i x
f ( x )e i x dx e i x df ( x )
i f ( x)ei x dx ( i ) F ( ) ,
так как f ( x ) 0 при х .
Аналогично
f ( x)
f ( x)e
i x
f ( x)ei x dx ei x df ( x)
i f ( x)ei x dx ( i ) 2 F ( ) ,
если f ( x ) 0 при х .

8.

6. Дифференцирование преобразования Фурье.
Если
n
|
x
f ( x ) | dx , то
x n f ( x ) ( i ) n F ( n ) ( ) .
Имеем
F ( )
f ( x ) e i x dx f ( x ) .
Дифференцируя по , получим
F ( ) i xf ( x ) e i x dx ( ix ) f ( x ) ,
и интеграл сходится, если
| xf ( x ) | dx .
(10)

9.

Дифференцируя еще раз, получим
F ( ) i
2
2
i x
2
x
f
(
x
)
e
dx
(
ix
)
f ( x),
и интеграл сходится, если
2
|
x
f ( x ) | dx .
В общем случае, если
n
|
x
f ( x ) | dx , то, дифференцируя (10)
п раз, получим
F ( n ) ( ) ( ix ) n f ( x ) ,
x n f ( x ) ( i ) n F ( n ) ( ) .

10.

7. Свертка функций.
Пусть f ( x ) и g ( x ) определены для х ( , ). Сверткой этих
двух функций называется
f ( y ) g ( x y )dy ,
которая обозначается как f ( x ) g ( x ) .
Формула имеет вид
f ( y ) g ( x y )dy F ( ) G ( ) .

11.

Действительно,
f ( y ) g ( x y )dy e
i x
dx f ( y ) g ( x y )dy
i y i ( x y )
i y
i ( x y )
e
e
f
(
y
)
g
(
x
y
)
dxdy
e
f
(
y
)
dy
e
g ( x y ) dx
e i y f ( y ) dy e i z g ( z ) dz F ( ) G ( ) ,
где в последнем интеграле сделана замена переменных х у = z.

12. Конец четвертой части