Динамические временные, векторные и спектральные модели сигналов в инфотелекоммуникации (лекция № 2)

1. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича   Кафедра «Теории электрических цепе

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Факультет фундаментальной подготовки
Кафедра теоретических основ связи и радиотехники
(ТЭЦ и С )
располагается на 6-м этаже
В аудиториях №607, №609, №611, 516/2.
Дисциплина
Общая теория связи
Лектор:
Заведующий кафедрой
Шумаков Павел Петрович
Общая теория связи                                            Лекция #2
1

2.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Лекция № 2
Динамические временные, векторные и спектральные модели
сигналов в инфотелекоммуникации
Учебные вопросы:
1. Динамические модели сигналов во временной области.
2. Линейное пространство сигналов. Векторные модели сигналов.
3. Обобщенный ряд Фурье. Спектральные модели периодических и
непериодических сигналов.
 
Общая теория связи                                            Лекция #2
2

3.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Литература:
Стр.
28..37; 37..40; 40..52
Используя MathCAD расчитать и
построить энергетические спектры
для импульсных сигналов из таблицы
2.1 на стр 45.
Четные номера : треугольный (2) и
косинусоидальный (3).
Нечетные номера : Прямоугольный
(1) и SINC-образный (5).
Используя MathCAD рассчитать и
построить энергетические спектры
для импульсных сигналов вида:
Четные номера : пилообразный
возрастающий.
Нечетные номера : пилообразный
ниспдающий.
Общая теория связи                                            Лекция #2
3

4.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Домашнее
задание:
ОТС                                            Лекция #2
4

5.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Задание на самостоятельную отработку
Теория электрической связи :учебное пособие для студентов высших учебных заведений
 /Биккенин Р. Р., Чесноков М. Н. –М.:Издательский центр «Академия», 2010. 
-28-37;37-40;40-52 с.
Общая теория связи                                            Лекция #2
5

6.

Общая классификация моделей сигналов
СИГНАЛЫ в телекоммуникациях
Оптические акустические электрические
ток i(t). напряжение u(t)
Непрерывные во времени и по уровню
(аналоговые)
Дискретные во времени и квантованные по уровню
(цифровые )
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ
Периодические
СЛУЧАЙНЫЕ
Не
периодические
Финитные
(Импульсы)
Общая теория связи                                            Лекция #2
6

7.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Вопрос №1.
Динамические модели сигналов во временной области.
Импульсные сигналы:
а) видеоимпульсы;
б) радиоимпульсы
Uр(t) = Uв(t)cos(ωt + φ)
Uв(t) — огибающая радиоимпульса
ω — опорная (несущая) частота
φ — начальная фаза
Общая теория связи                                            Лекция #2
7

8.

Динамическое представление сигнала основано на суперпозиции элементарных 
импульсов некоторой «простой» формы
Моделирование и анализ линейных стационарных систем обработки сигналов
произвольной формы в динамическом представлении базируется на разложении сигналов по
единичным импульсам простейшей формы. К таким относится дельта-импульс Дирака и его
дискретный эквивалент импульс Кронекера.
Динамическая форма представления сигналов соответствует естественному
математическому описанию сигнала в виде функций независимых переменных (аргументов) в
реальном (текущем) масштабе времени.
Динамические модели сигналов позволяют определять текущие значения сигналов в
любых системах по заданным априори математическим функциям описания физических
процессов в реальных физических системах.
Достоинство динамических моделей - их универсальность.
Основные математические инструменты реализации - дифференциальные уравнения и
интеграл Дюамеля, для цифровых сигналов - разностные уравнения и операция свертки.
Общая теория связи                                            Лекция #2
8

9.

Функция Дирака
d ( t - t3 )
ì0 , t < t3
ï
= í0 , t > t3
ï¥ , t = t
3
î
¥
ò d(t -t
3
)dt = 1
-¥
Фильтрующее свойство
S ( tk ) =
¥
ò s( t )d ( t - t
k
)dt
-¥
Динамическя модель сигнала
S ( t) =
¥
ò s( t )d ( t - t )dt
-¥
Общая теория связи                                        
    Лекция #1
9

10.

Функция Кронекера
S ( k × Dt ) =
+¥
å s( n × Dt ) × d ( k × Dt - n × Dt )
n =-¥
Sk =
+¥
ås
n =-¥
n
× d k -n
Общая теория связи                                        
    Лекция #1
10

11.

Функция Хевисайда
s ( t - t3 )
ì0 , t < t3
=í
î1 , t > t 3
Общая теория связи                                        
    Лекция #1
11

12.

Динамическя модель сигнала
При
0
Общая теория связи                                                       Лекция #2
12

13.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Вопрос 2.Линейное пространство сигналов. Векторные модели сигналов.
Векторное представление сигнала. Понятие базиса, нормы, скалярного
произведения
сигналов,
ортогональности
сигналов,
ортонормированного базиса сигналов.
Сигналы могут быть одномерными U1(t), и многомерными {UN(t)},
Многомерный (векторный) - сигнал образованный упорядоченным
множеством одномерных сигналов V(t) = {U1(t),U2(t),
…,UN(t)},
N — размерность сигнала.
Общая теория связи                                            Лекция #2
13

14.

Множество сигналов М={s1Пространство
(t), s2(t),…sn(t)}сигналов
обладающих определенной структурой
называется пространством сигналов. Структура пространства сигналов определяется
математическими соотношениями (алгебраическими и геометрическими) и операциями.
Алгебраическая структура пространства сигналов
Множество сигналов образует ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ
ПРОСТРАНСТВО СИГНАЛОВ L
если справедливы следующие аксиомы:
1.Все сигналы при любом времени t принимают только вещественные значения.
2. Замкнутость - сумма любого числа сигналов данного множества также
принадлежит этому множеству, при чем эта сумма подчиняется свойствам:
для
x =Si(t)
y = Sj(t)
x + y = y + x — коммутативность сложения;
x + (y + z) = (x + y )+ z — ассоциативность сложения;
x + = x , где   — нулевой элемент;
x + (- x) = 0 , где  -x — противоположный элемент.
3. Умножение сигнала на скаляр (число) определяет новый сигнал принадлежащий
исходному множеству si(t) М.
4. Операция умножения на скаляр подчиняется свойствам:
(bx)= ( b)x - ассоциативность умножения на скаляр
1x= x унитарность умножения
( +b)x= x+bx
дистрибутивность умножения на вектор
относительно сложения скаляров
(x+y)=
x+ y дистрибутивность умножения на скаляр 14
Общая теория связи                                            Лекция #2

15.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
•Если
будет
произвольным
комплексным числом, то множество
сигналов образует
• Комплексное Линейное
Пространство Сигналов С.
•Элементы
структурированного
пространства в математике называются
точками, функциями, векторами.
Общая теория связи                                            Лекция #2
15

16.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Геометрическая структура пространства сигналов
Норма сигнала .
Эквивалентом длины вектора для аналоговых и дискретных сигналов является норма
s( t ) =
Для вещественного сигнала норма определяется :
2
s
ò ( t )dt
T
Для комплексного сигнала норма определяется :
s( t ) =
T
Норма подчиняется следующим аксиомам:
s( t ) ³ 0
× s( t ) = × s( t )
*
s(
t
)s
( t )dt
ò
s1 ( t ) + s2 ( t ) £ s1 ( t ) + s2 ( t )
Если S — это вектор, то норма – это его длина или расстояние от конца вектора до начала
координат.
Энергия сигнала
Пусть s(t) ― напряжение на резисторе с сопротивлением в 1 Ом, тогда s2(t) ―
мгновенная мощность, а квадрат нормы ― есть энергия, выделяемая на резисторе за время
T.
p ( t ) = u( t ) × i( t ) = i( t )R × i( t ) = i 2 ( t ) =
2
i(t)
s( t ) = s 2 ( t )dt = E s
u(t)
u( t )
= u( t ) ×
= u2 ( t ) = s 2 ( t )
R
Общая теория связи                                            Лекция #2
ò
T
16

17.

.
Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Геометрическая структура пространства сигналов
Метрика пространства сигналов
Для усовершенствовании структуры пространства вводится расстояние между его
элементами, которое называют также метрикой.
Каждой паре элементов пространства ставится в соответствие положительное число,
которое трактуется как расстояние между элементами. В качестве расстояния используется
функционал
свойствами:
d(x,y) = R,
называемый
метрикой
и обладающий следующими
•d(x,y) ≥ 0 и d(x,y) = 0, только если x = y;
•d(x,y) = d(y,x) – cвойство симметрии;
•d(x,y) < d(x,z) + d(z,y) – неравенство треугольника.
В качестве метрики можно выбрать величину
d ( x, y ) = x - y
Линейное метрическое пространство с квадратичной нормой обозначается:
Вещественное
L2
комплексное
Общая теория связи                                            Лекция #2
С2
17

18.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Геометрическая структура пространства сигналов
Скалярное произведение сигналов
Найдем энергию суммы двух сигналов u(t) и v(t).
u( t ) + v( t ) = ò u( t )2 dt + ò v( t )2 dt + 2 ò u( t )v * ( t )dt
2
T
T
T
Если сигналы рассматривать как вектора U и V получим
2
2
2
U + V = U + V + 2 × U × V cos( j )
Где
векторов
( U ,V ) = U × V cos( j )
j = ÐUV
скалярное произведение двух
угол между векторами
Сопоставляя сигналы с векторами в пространстве L2 получим что скалярное
произведение двух сигналов
( u( t ),v( t )) = ò u( t )v * ( t )dt = u( t ) × v( t ) × cos( j )
T
Линейное пространство со скалярным произведением сигналов называется
Гильбертовым
Общая теория связи                                            Лекция #2
18

19.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Свойства скалярного произведения сигналов
Для комплексных сигналов скалярное произведение должно удовлетворять следующим
условиям:
(x, y) = (y, x)* , где знак * означает комплексно сопряженную величину;
(αx, y) = α(x, y);
(x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y);
(x, x) ≥ 0.
Ортогональность двух сигналов
Если скалярное произведение равно нулю, значит взаимная энергия
этих сигналов равна нулю , и такие сигналы - ортогональные.
Если
j = ÐUVградусов
= 90O [
cos( p
2
=p [
]радиан
2
]
)= 0
то скалярное произведение двух сигналов не обязательно равно нулю .
p
ÐUV =
Например у двух комплексных сигналов U и V при
реальная часть
2
скалярного произведения будет равна нулю, а мнимая может не равняться нулю.
Общая теория связи                                            Лекция #2
19

20.

Если
S2(t) = 0
то имеем систему передачи с пассивной паузой
S1(t) = Uc sin ( 0t + j),
t [0,T],
S1(t) = 0
T
1
( S0 , S1 ) = ò S0 (t ) S1 (t )dt = 0
T 0
T
d 2 ( S0 (t ), S1 (t )) = ò S0 2 (t )dt = E1
0
Общая теория связи                                            Лекция #2
20

21.

S1(t) = Uc cos ( 1t + j 1),
t [0,T],
S2(t) =Uc cos ( 2t + j 2).
Пусть 1= 2pk1/T,
2= 2pk2/T,
где k1 и k2 — целые числа,
j 1 и j 2 принимают любые значения. Тогда:
1
1
2p
2p
( S1 , S 2 ) = ò S1 ( t )S 2 ( t )dt = U 1 × U 2 ò cos(
k1t + j1 ) × cos(
k 2 t + j 2 )dt = 0
T 0
T
T
T
0
T
T
T
T
T
T
d ( S1 (t ), S 2 (t )) = ò [ S1 (t ) - S 2 (t ) ] dt = ò S (t )dt + ò S (t )dt - 2 ò S1 (t ) S 2 (t )dt = E0 + E1 = 2 E ,
2
0
2
2
1
0
2
2
0
0
Общая теория связи                                            Лекция #2
21

22.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Базисные сигналы
В линейном пространстве сигналов можно определить совокупность линейно
независимых сигналов {ei(t)} таких, что весовая сумма å iei=0 возможна только при
одновременном равенстве нулю всех коэффициентов . Эти сигналы называются
координатным базисом. Базисные сигналы попарно ортогональные.
Обобщенный ряд Фурье
Если выбраны сигналы координатного базиса, то любой сигнал s(t) в линейном
пространстве может быть представлен взвешенной суммой ортогональных сигналов
координатного базиса
åСiei(t)=s(t)
Такое представление сигнала называется обобщенный ряд Фурье.
Французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830)
Весовые коэффициенты этого ряда рассчитываются как скалярное
произведение сигнала s(t) и соответствующего i- того базисного сигнала ei(t):
C i = ( s( t ),ei ( t )) =
1
ei
2
*
s(
t
)e
i ( t )dt = s( t ) × e i ( t ) × cos( j ) = s( t ) × cos( j )
ò
T
Совокупность коэффициентов обобщенного ряда Фурье {Сi}
сигнала s(t) в базисе ортогональных сигналов {ei(t)}
Общая теория связи                                            Лекция #2
называется спектром
22

23.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Выводы по второму вопросу
1.Сигналы в радиотехнике рассматриваются как проявления электромагнитного
поля в элементах радиотехнических цепей в виде колебаний напряжения или тока.
2.Обобщенной математической моделью сигналов является их описание как
элементов функционального пространства (векторов ).
3.Вещественные и комплексные сигналы можно рассматривать как элементы
множества векторного линейного нормированного метрического пространства.
4.Скалярное произведение двух сигналов по физическому смыслу представляет
собой взаимную энергию между двумя сигналами , действующими суммарно на
сопротивление в один Ом.
5.Скалярное произведение двух сигналов определяется углом между ними. Если
скалярное произведение равно нулю, то угол между двумя сигналами равен 90
градусов, и такие сигналы являются ортогональными. Обратное не верно.
6. Набор ортогональных сигналов называется координатным базисом
пространства сигналов.
7. При известном базисе , любой сигнал можно представить взвешенной суммой
сигналов ортогонального базиса в виде обобщенного ряда Фурье. Весовые
коэффициенты этого ряда называются спектром сигнала.
Общая теория связи                                            Лекция #2
23

24.

Вопрос 3. Обобщенный ряд Фурье. Спектральные модели
периодических и непериодических сигналов
Периодическим называют сигнал, мгновенные значения которого повторяются через 
равные промежутки времени – Т
s t = s t + k × T , k = 0 ,1..¥
Модель такого сигнала имеет вид
где Т- период повторения, а F=1/T-частота повторения периодического сигнала (ПС)
Основной математический аппарат спектрального анализа таких сигналов –ряд Фурье в
базисе гармонических сигналов с кратными частотами.
( )
(
)
Формы спектрального представления периодического сигнала
Квадратурная
a0 ¥ ì
2p
2p
ü
s( t + k × T ) = sT ( t ) = + å í a k cos(
kt ) + bk sin(
kt )ý
2 k =1 î
T
T
þ
+T / 2
2
2p
ak =
S(
t
)cos(
kt )dt - àì ï ëè ò óäà ñè í ô àçí û õ ãàðì î í è ê
ò
T -T / 2
T
+T / 2
2
2p
bk =
S(
t
)
sin(
kt )dt - àì ï ëè ò óäà êâàäðàò óðí û õ ãàðì î í è ê
ò
T -T / 2
T
+T / 2
2
a0 =
S( t )dt - ï î ñò î ÿí í àÿ ñî ñò àâëÿþ ù àÿ
ò
T -T / 2
Общая теория связи                                            Лекция #2
24

25.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Амплитудно – фазовая форма ряда Фурье
ak cos xk + bk sin xk = ak 2 + bk 2 cos( x k - j k )
a0 ¥
sT ( t ) = s( t - k × T ) = + å Ak cos( xk - j k )
2 k =1
2p
xk =
kt = k 2p f1t = k 1t = k t ;
T
ak + bk = Ak - À× Ñ
2
2
ak = Ak cos( j k )
bk
j k = arctg ak
Ô× Ñ
bk = - Ak sin( j k )
Общая теория связи                                            Лекция #2
25

26.

Общая теория связи                                            Лекция #2
26

27.

Общая теория связи                                            Лекция #2
27

28.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Комплексная форма ряда Фурье
e jx + e - jx
cos x =
2
a0 ¥ é a k
s( t + k × T ) =
+åê
2 k =1 ë 2
e jx - e - jx
sin x =
j2
2p
2p
2p
-j
kt ö
j
kt
-j
kt ö ù
æ j 2Tp kt
æ
b
k
T
+e T ÷+
- e T ÷ú =
çe
çe
è
ø j2 è
øû
2p
2p
¥
j
kt
-j
kt
a0 ¥ 1
1
T
T
=
+ å ( ak - jbk ) e
+ å ( ak + jbk ) e
2 k =1 2
k =1 2
2p
2p
2p
¥
¥
j
kt
a0 ¥ 1
1
- jj k j T kt
jj k - j T kt
T
&
s( t + k × T ) =
+ å Ak e e
+ å Ak e e
= å Cke
2 k =1 2
k =1 2
k =-¥
Общая теория связи                                            Лекция #2
28

29.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Комплексная форма ряда Фурье
+T / 2
2p
j
kt
A
1
jj k
k
T
&
Ck =
e =
S( t )e
dt
ò
2
T -T / 2
& = a - jb , A
& = a + jb
A
k
k
k
-k
k
k
1 & &
ak =
Ak + A- k
2
(
)
1 & &
bk = j Ak + A- k
2
Ak
&
ì î äóëü C k =
2
àðãóì åí ò
(
)
À× Ñ
j k = arg C&k - Ô × Ñ
АЧС –четная функция частоты (обладает симметрией в области
положительных и отрицательных частот)
ФЧС – нечетная функция (обладает центральной симметрией)
Общая теория связи                                            Лекция #2
29

30. Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича   Кафедра «Теоретических основ связи

и радиотехники»
Спектры периодических сигналов линейчатые или дискретные.
s ( t ) = s ( t + k ×T ) ,

31.

Общая теория связи                                            Лекция #2
31

32.

Общая теория связи                                            Лекция #2
32

33.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Спектры непериодических сигналов.
В подавляющем большинстве случаев в теории и технике связи приходится иметь дело с
сигналами, которые по существу являются непериодическими. К таким сигналам аппарат
рядов Фурье не применим. 
Модель непериодического сигнала как предельного случая периодического сигнала ,
когда период повторения стремится к бесконечности
Устремим в периодическом сигнале T
s( t + k × T ) =
¥
å
k =-¥
C&k e
j
¥
2p
kt
T
или      f1
= 1/T = 1/2p 0
1
s (t ) =
2p
¥
&Te jk 1t D
C
å k
k =-¥
где D  =  1 = [k 1 – (k – 1) 1]=2π/T — разность между частотами соседних гармоник
C&k
&
S( j ) = lim C kT = lim
2p
T ¥
D 0 D
спектральная плотность сигнала
Общая теория связи                                            Лекция #2
33

34.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Физический смысл спектральной плотности сигнала
Учитывая чётность модуля S(ω) и нечётность фазы φ(ω), обратное преобразование
Фурье можно записать следующим образом
s (t ) =
1
p
¥
ò S ( j ) cos[ t + j ( )]d
0
1
j t
S ( j )d e
2p
1
S ( )d cos[ t + j ( )]
p
p × Am
S ( j ) =
d
Спектральная плотность сигнала является комплексной амплитудой эквивалентной
гармоники на соответствующей опорной частоте .
Эквивалентная гармоника есть результат когерентного сложения бесконечно большого
числа гармоник с бесконечно малыми амплитудами расположенными в бесконечно малом
по частоте диапазоне в районе выбранной (опорной) частоты.
Общая теория связи                                            Лекция #2
34

35.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ и ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ГАРМОНИКА

36.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Математический и Физический спектр непериодического сигнала
Сопоставим комплексную и амплитудно-фазовую формы ОПФ.
Учитывая чётность модуля S(ω) и нечётность фазы φ(ω), обратное преобразование
Фурье можно записать следующим образом
1
S ( j )d e j t
2p
1
s (t ) =
2 ×p
¥
ò 2S ( ) cos[ t + j ( )]d
0
1
s (t ) =
2 ×p
¥
ò
S ( ) × e j ×[ t +j ( )] d
-¥
ì 2 S ( ); ³ 0
ï
SF ( ) = 2 S ( )s ( ) = í S (0);
=0
ï0;
<0
î
Общая теория связи                                             Лекция #2
36

37.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Прямое и обратное преобразование Фурье
S ( j ) =
¥
ò s(t )e
- j t
dt - Ï Ï Ô
-¥
Прямое преобразование Фурье – операция анализа сигнала на основе определения его
спектральных составляющих.
1
s (t ) =
2p
¥
ò
S ( j )e j t d - Î Ï Ô
-¥
Обратное преобразование Фурье для сигнала s(t) - операция синтеза, поскольку с ее
помощью сигнал восстанавливается (синтезируется) из спектральных составляющих.
s(t ) € S&( j )
Общая теория связи                                            Лекция #2
37

38.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Свойства преобразования Фурье
№
Название теоремы
Временное представление
Спектральное представление
п/п
1
Теорема сложения
2
Теорема временного сдвига
3
Теорема смещения (модуляции)
4
5
Теорема об изменении масштаба
S1 (t ) = S (t mt0 )
S1 ( j ) = S ( j )e mj t0
S1 (t ) = S (t )e ± j 0t
S1 ( j ) = S ( j ( m 0 ))
ætö
S1 (t ) = S ç ÷
èaø
S1 ( j ) = aS ( ja )
dS (t )
dt
S1 ( j ) = j S ( j )
Теорема о дифференцировании
S1 (t ) =
6
S ( j ) = S1 ( j ) + S2 ( j )
S (t ) = S1 (t ) + S2 (t )
Теорема об интегрировании
æ 1 ö
S1 ( j ) = ç
÷ S ( j )
è j ø
t
S1 (t ) =
ò S (t )dt
-¥
7
Теорема о свёртке
¥
S (t ) =
ò S (t )S (t - t )dt = S (t ) * S (t )
1
2
1
2
S ( j ) = S1 ( j ) S2 ( j )
-¥
8
Преобразование Фурье
S (t ) =
1
2p
S ( j ) =
¥
ò S ( j )e
j t
d
-¥
¥
ò S (t ) e
- j t
dt
-¥
Общая теория связи                                            Лекция #2
38

39.

Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
 
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Свойства преобразования Фурье
Теорема сложения спектров: спектр суммы колебаний равен сумме
спектров слагаемых колебаний.
Теорема временного сдвига (запаздывания): при сдвиге колебания во
времени (изменении начального момента отсчёта времени) спектральная
плотность амплитуд сохраняется постоянной, а спектр фаз изменяется на
величину, пропорциональную частоте и времени сдвига с учётом его знака.
j 0 t
Теорема смещения (модуляции): умножение колебания S(t) на
e
приводит к смещению его спектра на величину ω0.
Теорема об изменении масштаба: растяжение колебания во времени
(a>1) влечёт за собой сжатие его частотного спектра и увеличение
спектральной плотности амплитуд. Сжатие колебания во времени (a<1)
приводит к расширению его частотного спектра и уменьшению
спектральной плотности амплитуд.
Теорема о свёртке: спектр свёртки двух колебаний S1(t) и S2(t)
соответствует произведению их спектров.
Общая теория связи                                            Лекция #2