Общее понятие меры

1.

ОБЩЕЕ
ПОНЯТИЕ МЕРЫ
1

2.

2.1. АБСТРАКТНАЯ МЕРА
Мерой называют всякую неотрицательную, аддитивную и монотонную
функцию множества A , A M .
Если функция A является мерой и счетно-аддитивна, то меру называют счетно-аддитивной.
Если на классе M определена мера A , то множества класса M
называют -измеримыми.
З а м е ч а н и е . Если M – полукольцо (в частности, кольцо), то для того,
чтобы функция A была мерой достаточно потребовать неотрицательность и аддитивность функции.
2

3.

Вероятностой мерой называют всякую счетно-аддитивную
меру , заданную на некоторой борелевской алгебре M и принимающую значение 1 на единице A0 этой алгебры.
В теории вероятностей:
– A0 – пространство элементарных событий (конкретная сущность этих элементарных событий роли не играет);
– множества A M – случайные события, в частности:
A0 – достоверное событие,
– невозможное событие;
– значение A ( 0 A 1) вероятность случайного события A ,
в частности:
A0 1 ,
0 .
Таким образом, вероятность – частный случай меры.
3

4.

П р и м е р 2 . 1 . Пусть S – полукольцо множеств, являющихся конечными подмножествами множества X . Тогда, в качестве меры можно
взять функция A 1 – количество элементов в множестве A S .
x A
П р и м е р 2 . 2 . Пусть заданы счетное множество X и сходящийся
ряд
p
n 1
n
. Тогда функция A pn , A X , определенная на булеане
xn A
P X , является -аддитивной мерой.
Если дополнительно потребовать, чтобы
p
n 1
n
1 , то получим веро-
ятностную меру, которую обычно называют дискретной.
4

5.

П р и м е р 2 . 3 . На полукольце множеств, состоящем из ограниченных
полуинтервалов
прямоугольников
параллелепипедов
a, b
a, b c, d
2
a, b c, d e, f
3
естественной мерой является
длина
площадь
объем
m A b a d c
m A b a d c f e
m a, b b a
Определенная таким образом мера является -аддитивной.
П р и м е р 2 . 4 . Пусть S – полукольцо параллелепипедов из примера 2.3.
Если считать, что в пространстве 3 распределено вещество, то A S в качестве меры можно взять массу вещества, находящегося в параллелепипеде A .
5

6.

П р и м е р 2 . 5 . Пусть A0 – произвольное непустое открытое
множество, и x0 A0 , M – борелевская алгебра всех подмножеств
множества A0 . Тогда на алгебре M вероятностную меру можно
определить следующим образом
1, x0 int A
A
.
0, x0 int A
6

7.

Пример
2.6.
Пусть X
0,1 .
Тогда класс S
множеств,
получаемых пересечением множества X с произвольными непрерывными промежутками
a, b , a, b , a, b , a, b , a 0 , b 1 ,
является полукольцом и на нем можно задать меру следующим образом
Aab S Aab b a .
Эта мера не является -аддитивной, так как m X 1, и в то же время
X – счетное множество точек, каждая из которых имеет меру 0.
7

8.

2.2. ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
2.2.1. Постановка задачи
Меру называют продолжением меры m с класса M на класс H ,
если задана на H M и
A M A m A .
При продолжении меры возникают 2 вопроса:
1) Всегда ли возможно продолжение меры m , заданной на произвольном классе M , хотя бы на кольцо, минимальное над M ?
2) Если продолжение меры m с класса M на упомянутое кольцо
возможно, то единственно ли оно?
В общем случае ответ на оба эти вопроса отрицательны.
8

9.

2.2.2. Продолжение меры с полукольца на кольцо, минимальное над ним
Лемма 1. Пусть мера m задана на полукольце S .
Если A
k
Pj , Pj S и A
j 1
l
i 1
k
Qi , Qi S – конечные разложения, то
m P m Q .
l
j
j 1
О п р е д е л е н и е 0 . Если A
n
i 1
i
Ai , Ai S – некоторое конечное разложение
i 1
множества A K S , то
df
n
m A m Ai .
(*)
i 1
Замечания:
1 . Определение меры (*) корректно, т.к. равенство (*) определяет m A однозначно; функция m A неотрицательна и аддитивна.
2 . Если мера m -аддитивна, то и мера m будет -аддитивной.
Теорема 2.5. Продолжение меры с полукольца S на порожденное им
11
минимальное кольцо K S в пределах кольца K S единственно.

10.

2.2.3. Продолжение меры по схеме древних греков
Пусть мера задана на классе M множеств E A0 , где A0 – некоторое фиксированное множество (из него «черпаются» множества класса M ). Будем считать, что
M . Для любого A A0 положим
int A sup E .
E M
E A
Функцию int A называют внутренней мерой множества A , индуцированной
мерой . Отметим, что она определена и неотрицательна для всех множеств пространства A0 , но, вообще говоря, принимает не только конечные, но и бесконечные
значения.
Рассмотрим теперь класс мажорируемых множеств
H A A A0 и B M A B .
На классе H определим функцию
ext A inf E .
E M
A E
(*)
Функцию (*) называют внешней мерой множества A , индуцированной мерой .
Отметим, что она также как и внутренняя мера может принимать как конечные, так и
бесконечные значения. Но, в отличие от внутренней меры, определена не на всем
пространстве A0 , а лишь на H .
14

11.

Пусть на классе S определена мера .
Теорема 2.6. Пусть – произвольное продолжение меры с S
S S . Тогда E H
на класс
S int E E ext E .
Пусть S класс мажорируемых множеств, для которых int E ext E . Тогда
E S
df
E int E ext E .
(*)
Замечания:
1 . Определение меры (*) корректно, т.к. определена на S , в силу существования и единственности супремума и инфимума; неотрицательна и монотонна.
Кроме того, можно доказать, что – аддитивная функция.
2 . E S E int E ext E E S E E .
Следовательно, – некоторое продолжение меры с класса S на класс S .
Такое продолжение меры называют продолжением по схеме древних греков.
15

12.

Пусть S класс мажорируемых множеств, для которых int E ext E .
Тогда E S
df
E int E ext E .
--------------------------------------------------------------------------Замечания:
3 . Условие int E ext E эквивалентно условию:
0 A, B S A E B и B A
(или B \ A , если S кольцо).
4. Если мера определена на полукольце S , то его сначала продолжают
на кольцо K S , а потом применяют схему древних греков.
5 . Если S кольцо, то и S – кольцо.
6 . Если исходная мера задана на кольце K , то называют продолжением
по схеме Жордана. Такое продолжение меры единственно в пределах кольца K ,
но вне кольца K единственность уже не имеет места.
17

13.

2.2.4 Продолжение счетно-аддитивной меры с кольца K на классы K и K
Пусть счетно-аддитивная мера m задана на кольце K K .
Лемма 2. Пусть A K , A
разложения множества A . Тогда
Pj , Pj K и A
Qi , Qi K – счетные
i 1
j 1
m P m Q , причем из сходимости
j 1
j
i 1
i
(расходимости) одного ряда следует сходимость (расходимость) другого.
О п р е д е л е н и е 1 . Пусть A K . Если существует счетное разложение
A
Ai , Ai K ,
i 1
для которого ряд
m A сходится, то полагаем
i 1
i
df
A m Ai .
i 1
18

14.

О п р е д е л е н и е 1 . Пусть A K . Если существует счетное разложение
A
i 1
Ai , Ai K , для которого ряд
df
m A сходится, то A m A .
i
i 1
i 1
i
(*)
-------------------------------------------------------------------------------------Замечания
1 . Определение меры (*) корректно, т.к. однозначно определена на S ;
неотрицательна и аддитивна.
2 . Если A K , то (*) выполняется в силу счетной аддитивности меры m ,
следовательно, – продолжение меры m с кольца K на класс K (класс
множеств, удовлетворяющих требованиям определения 1).
3 . Если A K , но ряд
m A
i 1
i
df
расходится, то A . Тогда каж-
дому A K будет приписано конечное (для A K ) или бесконечное
(для A K \ K ) значение .
4 . Если K алгебра, то K K и A K A .
19

15.

О п р е д е л е н и е 1 . Пусть A K . Если -ет счетное разложение A
i 1
для которого ряд
df
Ai , Ai K ,
m A сходится, то A m A .
i 1
i
i
i 1
-------------------------------------------------------------------------------------Теорема 2.7. Пусть K – кольцо, A K , A
Ai , Ai K и A1 A2 ... Ai ...
i 1
Тогда A тогда и только тогда, когда существует конечный предел lim m An и
n
всегда (т.е. и в случае A , и в случае A )
A lim m An .
n
Следствие. Пусть K – кольцо, A K , A
Ai , Ai K . Тогда A в том и
i 1
n
только в том случае, если существует конечный предел lim m Ai и всегда
n
i 1
n
A lim m Ai .
n
i 1
Теорема 2.8. (единственность счетно-аддитивного продолжения меры в пределах
класса K ). Если произвольное продолжение счетно-аддитвной меры m с кольца K
на некоторый класс K и A K
K , то A A .
20

16.

Лемма 3. Пусть K – кольцо,
A K , A
Pj
j 1
Qi , Pi , Qi K
i 1
где P1 P2 ... Pn ... , Q1 Q2 ... Qn ... . Тогда
lim m Pn lim m Qn .
n
n
Следствие. Если A K , A
Pj
j 1
Qi , Pi , Qi K , то
i 1
n
n
lim m Pj lim m Qi .
n
n
i 1
j 1
Достаточно положить
n
Pi Pn ,
i 1
n
Qi Qn и применить теорему.
i 1
О п р е д е л е н и е 2 . Пусть A K .
Если A
i 1
n
Ai , Ai K , то A lim m Ai .
n
i 1
23

17.

О п р е д е л е н и е 2 . Пусть A K .
n
Если A Ai , Ai K , то A lim m Ai .
(*)
n
i 1
i 1
-------------------------------------------------------------------------------------Замечания:
1 . Такое определение меры корректно, т.к. однозначно определена
на S ; неотрицательна и аддитивна.
2 . Если A K справедливость равенства (*) следует из свойств непрерывности счетно-аддитивной меры, следовательно, мера A является
продолжением меры m с кольца K на класс K .
3 . Непосредственно из определения следует, что если
A K , A
i 1
Ai , Ai K и A1 A2 ... Ai ... , то A lim An .
В этом случае An
n
n
Ai .
i 1
25

18.

О п р е д е л е н и е 2 . Пусть A K .
n
Если A Ai , Ai K , то A lim m Ai .
n
i 1
i 1
--------------------------------------------------------------------------
Теорема (единственность счетно-аддитивного продолжения
меры в пределах класса K ). Если произвольное продолжение
меры m с кольца K на некоторый класс K и A K
K , то
A A .
Если A
i 1
Ai , Ai K , то в условиях теоремы
n
n
A lim m Ai lim Ai Ai A .
n
i 1 n i 1
i 1
26

19.

Теорема. Функция , заданная на K определением 1 и на K
определением 2, является продолжением меры m с кольца K на класс
K K (или на класс K K , если рассматривать и бесконечные значения ).
Теорема (единственность счетно-аддитивного продолжения меры
в пределах класса K K ). Если произвольное счетноаддитивное продолжение меры m с кольца K на некоторый класс K и
A K K K , то A A .
Пусть m счетно-аддитивная мера, заданная на полукольце S . Продолжим m продолжим на кольцо K S , далее на класс H K K
в соответствии с определениями 1 и 2, и, наконец, по схеме древних греков на класс S . Полученную меру называют продолжением меры m
с полукольца S на класс S по схеме Лебега.
27

20.

МЕРЫ СТИЛТЬЕСА
Мера Стилтьеса на прямой
Мерой Стилтьеса на прямой называют всякую меру, заданную на какомнибудь классе промежутков числовой прямой.
Теорема 2.8. Если I – некоторый числовой промежуток; H – полукольцо
всевозможных полуинтервалов E , , , I , то произвольная неубывающая фукнция , определенная на I , задает меру Стилтьеса, определенную на H :
E .
(**)
Так как функция E определена на полукольце, то достаточно доказать, что
она неотрицательна и аддитивна.
Неотрицательность следует из неубывания .
Аддитивность . Пусть E , H , E E1 E2 , E1
E2 , тогда
E1 , , E2 , , (или E2 , , E1 , ).
Следовательно,
E E1 E2 .
Меру (**) называют мерой Стилтьеса, порожденной функцией , а
28
– производящей функцией меры (**).

21.

E , E , , , I (**)
----------------------------------------------------------------------Теорема 2.9. Функции и const порождают одну и ту же меру (**).
Более того, формула const исчерпывает все возможные меры (**).
Пусть , как и , – производящие функции меры (**).
Фиксируем какое-нибудь значение x0 I и рассмотрим произвольное x I :
1) если x0 x , то для E x0 , x E x x0 x x0 ,
откуда
x x x0 x0 ;
(*)
2) если x x0 , то для E x, x0 E x0 x x0 x ,
откуда опять получим (*).
Следовательно, x x c const , т.е. x I x x c .
З а м е ч а н и е . Если x x c , то E – длина , .
29

22.

Теорема 2.10. Пусть функция задана и не убывает на всей числовой
прямой, мера Стилтьеса (**), заданная на полукольце H всевозможных
ограниченных полуинтервалов E , . Для счетной аддитивности такой
меры необходимо и достаточно, чтобы производящая функция была
всюду непрерывной слева.
Следствие. Для полуинтервала E , длина E – счетно
аддитивная мера.
З а м е ч а н и е . Все изложенное выше сохраняет силу, если вместо полуинтервалов , взять полуинтервалы вида , – лишь в теореме нужно
потребовать непрерывности справа (а не слева).
30

23.

Мера Стилтьеса на плоскости и в n-мерном пространстве
Мерой Стилтьеса в n-мерном евклидовом пространстве называют всякую
меру, заданную на каком-нибудь классе n-мерных параллелепепипедов
E x1 , x2 ,..., xn x1 A1 , x2 A2 ,..., xn An ,
где A1, A2 ,..., An – числовые промежутки. Если n 2 ( n 3 ), то меру Стилтьеса
называют плоской (объемной).
Пусть H – класс всевозможных n-мерных параллелепепипедов
E x1 , x2 ,..., xn 1 x1 1 , 2 x2 2 , ..., n xn n ,
1, 2 ,..., n , 1, 2 ,..., n .
Тогда произвольные n определенные и неубывающие на всей числовой прямой функции
(*)
1 x , 2 x ,..., n x
задают меру Стилтьеса, определенную на H :
E 1 1 1 1 2 2 2 2 ... n n n n .
З а м е ч а н и е . Если дополнительно потребовать, чтобы все функции (*)
были непрерывны слева, то мера E будет счетно-аддитивной.
31