Лекция 5. Динамика материальной системы. Динамика тела переменной массы

1. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

ЛЕКЦИЯ 5:
ДИНАМИКА ТЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ
МАССЫ

2. 1. Изменение количества движения тела переменной массы

Под телом переменной массы понимается тело, масса которого
изменяется вследствие процесса отделения от него или присоединения к
нему материальных точек
dm
Q t M (t )V(t ) v dm
Q t dt M (t dt )V(t dt ) v dm
dQ d
dm
dm
Fe
MV v
v
dt
dt
dt
dt
Теорема об
изменении
кол. движ.
t
M (t )
v
M (t dt )
dm
t dt
v
Q
dm
dm
dQ e
F v v
dt
dt
dt
Теорема об изменении
количества движения тела
переменной массы

3. 2. Уравнение Мещерского

dm
dm
dQ
Fe v
v
dt
dt
dt
dm
dm
dm
mw v
Fe v
v
dt
dt
dt
mw F e v v
dm
dm
v v
dt
dt
mw F Φ Φ v v
e
Q mv
dm dm dm
dt
dt
dt
Уравнение Мещерского
dm
dm
v v
dt
dt
Реактивная сила
Наибольший технический интерес (ракеты) представляет отделение частиц
Φ
mw F e v v
dm
dm
dm
Fe v v
F e v отн
dt
dt
dt
0
Φ направлена в сторону, противоположную v отн

4. 3. Задача Циолковского

В пренебрежении всеми внешними силами (гравитация, сопротивление
атмосферы) движение ракеты описывается уравнением
dv
dm
m
vотн
dt
dt
m0 - начальная масса ракеты
dm
dv vотн
m* - масса ракеты без топлива
m
m
z - число Циолковского
v vотн ln m C vотн ln 0
m
Формула
Циолковского
vmax vотн ln z
z
m0
m*

5. 4. Задача Циолковского: оценки

vmax vотн ln z
vотн
м
2500
с
vmax 8000
m0
z
m*
м
м
м
1000 9000
с
с
с
первая космическая потери на гравитацию,
сопротивление,…=10-15%
скорость
z exp(vmax / vотн ) exp 9000/ 2500 exp(3.6) 42.5
масса топлива должна составлять 98% начальной массы ракеты
Вывод : получение космических скоростей с помощью одноступенчатой
ракеты в настоящее время вряд ли возможно

6. 5. Двухступенчатая ракета

1
1-й этап: выгорание 1-й ступени
vmax
начальная масса
mпг m01 m02
ln
ln
1
2
v
масса
в
конце
1
этапа
m
m
m
пг
*
0
отн I
mпг - масса полезного груза
Обозначения:
m0i - начальная масса i-ой ступени
m*i - масса i-ой ступени без топлива
2-й этап: выгорание 2-й ступени
vmax
vmax
начальная масса на 2 этапе
mпг m01 m02
mпг m02
ln
ln
ln
1
2
2
v
v
масса
в
конце
2
этапа
m
m
m
m
m
пг
*
0
пг
*
отн II отн I
vmax
1 M
1 (1 ) M
V
(
,
M
,
z
)
ln
ln
v
1 (1 ) M z 1M
1 (1 ) z 1M
отн II
m01 m02 масса бесполезного груза
M
mпг
масса полезного груза
m01
1
m0 m02
m01 m02
z 1 2
m* m*
m02
1 1
m0 m02

7. 6. Двухступенчатая ракета: как распределить массу по ступеням

Оптимизация распределения масс по ступеням V ( , M , z )
max
1
V ( , M , z ) ln
1 M
1 (1 ) M
ln
1 (1 ) M z 1M
1 (1 ) z 1M
z 1 1 M
V
M
z 1M
1 (1 ) M z 1M 1 (1 ) M 1 (1 ) z 1M
z 1 1 M
z 1 1 M
1 (1 ) M z 1M 1 (1 ) M 1 (1 ) z 1M
V
0 1 (1 ) M z 1M 1 (1 ) M 1 (1 ) z 1M 0
1 (1 ) z 1M (1 ) M (1 )2 z 1M 2
(1 )2 M 1 2 0 1
1 1 4M
1
1
2M
M
M
1

8. 7. Двухступенчатая ракета: каков выигрыш?

1 (1 opt ) M
vmax
1 M
V
(
,
M
,
z
)
ln
ln
opt
v
1 (1 opt ) M opt z 1M
1 (1 opt ) z 1M
отн II
1
ln
opt 1
1
M
M
1 M
M
ln
2ln
2ln z
1
1
1
1 M z M
1 z M
1 z M
M
z
Оптимум характеризуется тем, что приращение скоростей
на обоих этапах полета одинаково
Оценка
z exp(vmax / 2vотн ) exp 1.8 6.5
Для одноступенчатой ракеты
vmax
mпг m01 m02
1 M
ln
ln
ln z
1
2
1
vотн
mпг m* m*
1 z M
z exp(vmax / vотн ) exp 3.6 42.5

9. 8. Задача о ракете в поле силы тяжести

Ракета движется вертикально вверх в поле силы тяжести с постоянным
ускорением (k 1) g . Найти высоту подьема.
k -к-т перегрузки
1-й этап : вплоть до времени выгорания топлива
m
m
kgt vотн ln 0
m
m
Топливо должно расходоваться по
kg
m
exp
t
экспоненциальному закону
m0
vотн
2
2
vотн
v
ln
z
k
1
k
1
отн
tfin
ln z
vfin
vотн ln z
hfin 2
kg
k
k
2g
2-й этап : свободный полет
2
m(k 1) g mg vотн m
kg vотн
2
2
k 1 vотн
ln 2 z
vfin
hII
2g
k2
2g
2
vотн
ln 2 z
k 1
h hfin hII
H max
H max
k
2g

10. 9. Задача о ракете в поле силы тяжести

k 1
h hfin hII
H max
k
H max
2
vотн
ln 2 z
2g
Наилучшая стратегия: выбрать все топливо как можно быстрее
k h H max
Мгновенное сгорание топлива
При ограничении перегрузки неизбежен проигрыш в высоте