Кривые и поверхности в компьютерной графике

1.

1
Curves
Кривые и поверхности
в компьютерной графике
URL:
http://www.school30.spb.ru/cgsg/cgc/
E-mail: [email protected]
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

2. Представления кривых на плоскости

2
Представления кривых на плоскости
Curves
• явный способ (explicit curves)
• неявный способ (implicit)
• Параметрический способ (parametric curves)
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

3. Явные кривые

3
Явные кривые
Curves
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

4. Неявные кривые

4
Неявные кривые
Curves
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

5. Параметрические кртвые

5
Параметрические кртвые
Curves
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

6. Параболическая интерполяция

7
Кривые Безье (Pierre Bézier): линейные
Curves
• Линейные кривые Безье
• Линейная интерполяция между концевыми точками
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

7. Кривые Безье (Pierre Bézier): линейные

8
Кривые Безье: квадратичные
Curves
• Квадратичные кривые Безье
• Композиция нескольких линейных кривых:
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

8. Кривые Безье: квадратичные

9
Кривые Безье: кубические
Curves
• Кубические кривые Безье
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

9. Кривые Безье: кубические

10
Кривые Безье: старшие степени
Curves
• В общем случае:
полином Бернштейна
число Сочетаний
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

10. Кривые Безье: старшие степени

Кубические кривые Безье: матричная запись
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
11
Curves

11. Кубические кривые Безье: матричная запись

12
Сопряжение кривых Безье
P0
P4
R0
R2
Curves
P5
P6
P1
R3
P2
R1
P3
P7
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

12. Сопряжение кривых Безье

13
Интерполяция с помощью кривых Безье
Q0
Q4
P0
P2
Curves
Q5
Q6
Q1
P3
Q2
P1
Q3
Q7
• Сплайны Катмула-Рома:
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

13. Интерполяция с помощью кривых Безье

14
Рациональные кривые Безье (rational)
w=(1, 1, 1, 1)
w=(1, 1, 10, 1)
w=(1, 30, 30, 1)
Curves
w=(1, 1000, 1, 1)
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

14. Рациональные кривые Безье (rational)

15
B-сплайны (B-splines)
Curves
• Кокс и де Бур:
полагаем
- узловой вектор
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

15. B-сплайны (B-splines)

16
Примеры B-сплайнов (кривая Безье)
Curves
• Кубическая кривая Безье:
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

16. Примеры B-сплайнов (кривая Безье)

17
Примеры B-сплайнов (uniform)
Curves
• Униформный кубический B-spline
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

17. Примеры B-сплайнов (uniform)

Примеры B-сплайнов (nonuniform rational)
• NURBS
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
18
Curves

18. Примеры B-сплайнов (nonuniform rational)

19
Поверхности (surfaces)
Curves
• явный способ
• неявный способ
• параметрический способ
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

19. Поверхности (surfaces)

20
Повехности Безье: билинейные
Curves
P00
R0
P01
P11
R1
P10
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

20. Повехности Безье: билинейные

21
Поверхность Кунса
Curves
• Граничные кривые:
• Билинейно смешиваем (учитывая повторение
угловых точек):
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

21. Поверхность Кунса

22
Поверхности Безье (общий случай)
Curves
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

22. Поверхности Безье (общий случай)

23
Бикубическая поверхность Безье
Curves
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

23. Бикубическая поверхность Безье

Бикубическая поверхность Безье: сопряжение
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
24
Curves

24. Бикубическая поверхность Безье: сопряжение

Бикубическая поверхность Безье: пример
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
25
Curves

25. Бикубическая поверхность Безье: пример

Общий случай бикубических поверхностей
uniform B-spline
cubic Bezier
Catmull-Rom
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
26
Curves

26. Общий случай бикубических поверхностей

Трикубические пространства: Free Form Deformation
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group
27
Curves

27. Трикубические пространства: Free Form Deformation

28
Curves
• Практические задания (до 13.11.2011)
– Реализовать интерактивную среду демонстрации
параметрических кубических кривых (выполнять
интерполяцию по нескольким точкам, использовать uniform
B-spline и сплайн Катмула-Рома). Дополнительное задание:
реализовать изменение весов точек и визуализацию
рациональными кривыми.
– Реализовать интерактивную среду демонстрации FFD на
(
плоскости для растрового изображения. Использовать
биквадратную «сетку» (9 точек) Безье.
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group

28.

29
Литература
Curves
• David F. Rodgers, J. van Adams. "Mathematical Elements for
Computer Graphics", 2nd ed., McGraw-Hill Publishing Company,
1990.
• Alan Watt, Mark Watt. "Advanced Animation and Rendering
Techniques. Theory and Practice", ACM Press, Addison-Wesley
Longman Limited, 1992.
• Е.Шикин, А.Плис. "Кривые и поверхности на экране
компьютера". Москва: Диалог-МИФИ, 1996.
• Е.В.Шикин, М.М.Франк-Каменецкий. "Кривые на плоскости и
в пространстве". Москва: "ФАЗИС", 1997.
Галинский В.А.
Физико-математический лицей № 30
Computer Graphics Support Group