Теория электромагнитного поля

1.

Теоретические основы электротехники
Теория электромагнитного поля
ВШВЭ, проф. Л. И. Сахно 2021
1

2.

Индуктивность коаксиального кабеля.
По внутренней жиле коаксиального кабеля радиуса R1 протекает ток в одном
направлении, а по наружной оболочке толщиной (R3 – R2) такой же ток в обратном
направлении.
Рассмотрим три области коаксиального кабеля
Первая область – внутри прямого проводника с током (0
r R1).
Вторая область - в слое изоляции кабеля (R1 r R2)
R2
Третья область – внутри проводника (оболочки) с
обратным током (R2 r R3)
R1
Первая область – внутри прямого проводника с
током (0 r R1).
l
R3
dФ = B·dS = 0·H·l·dr.
/
i
H1
2 r
i l r
d 1 0 2 dr
2 R 1
2
r
i/ i 2
R1
i r
H1
2 R 12

3.

Первая область – внутри прямого проводника с током
(0 r R1).
Элементарный магнитный поток в первой области проходит внутри проводника,
магнитная проницаемость которого обычно равна 0, и сцепляется лишь с частью
всего тока внутренней жилы, определяемой отношением площади, охваченной
линиями индукции соответствующего радиуса к площади сечения всей внутренней
жилы. Поэтому потокосцепление внутренней жилы можем записать в виде:
R1
R1
2
r
1 d 1 2 d 1
0
0 R1
R1
0i l
r 0i l r
0 R12 2 R12 dr 2 R14
2
R1
4
i
l
0i l
R
3
0
1
0 r dr 2 R14 4 8
Это соотношение определяет внутреннее потокосцепление провода кругового
сечения с постоянным током, равномерно распределенным по его сечению.

4.

Вторая область - в слое изоляции кабеля (R1 r R2)
В этой области напряженность магнитного поля убывает при удалении от оси кабеля,
а элементарный магнитный поток равен элементарному потокосцеплению, так как
сцепляется со всем током, проходящим по жиле кабеля, и является внешним по
отношению к проводнику с током:
i //
H2
2 r
i
H2
2 r
i i
//
0i l
d 2 d 2
dr
2 r
Внешнее потокосцепление коаксиального кабеля, определяемое магнитным потоком
в рассматриваемой области равно:
R2
0i l R 2
2 d 2
ln
2
R1
R1

5.

Третья область – внутри проводника (оболочки) с обратным
током (R2 r R3)
В этой области напряженность магнитного поля зависит от обратного тока:
///
i
H3
2 r
i
///
i (1
r R2
2
2
2
R3 R2
2
)
0 i l( R 32 r 2 ) dr
d 3
2 r( R 32 R 22 )
i ( R 32 r 2 )
H3
2
2
2 r( R 3 R 2 )
Элементарный магнитный
поток сцепляется с прямым током (+i) и с частью
2
2
обратного тока – i r 2 R 22
R3 R2
R 32 r 2
r 2 R 22
d 3 d 3( 1 2
) d 3 2
2
R3 R2
R 3 R 22

6.

Третья область – внутри проводника (оболочки) с обратным
током (R2 r R3)
R3
R3
R3 4
4
2 2
0i l
( R r ) dr
0i l
R 3 dr
2R 3 r dr
r dr
3 d 3
2
2 2
2
2 2
r
r
r
2 ( R 3 R 2 ) R 2
2 ( R 3 R 2 ) R 2 r
R2
R2
R2
R3
0i l
2
R3
2
3
2
2
R 34
R 3 2R 32 ( R 32 R 22 )
R 34 R 24
ln
.
2
2 2
2
2 2
2
2 2
R2
2( R 3 R 2 )
4 (R3 R2 )
(R3 R2 )
R3
ln
0i l
R 32 R 22
R2
1
3
2
2
2
R2 2
R 2 4 ( R 32 R 22 )
1 2
(1 2 )
R
R
3
3

7.

Индуктивность коаксиального кабеля получим, разделив сумму всех
составляющих потокосцепления на величину тока в кабеле:
R3
ln
1 2 3 0 l 0 l R 2 0 l
R 32 R 22
R2
1
L
ln
2
2
i
8
2
R1
2
R2 2
R 2 4 ( R 32 R 22 )
(1 2 ) 1 2
R
R
3
3
Первое слагаемое в полученной сумме называется внутренней индуктивностью
прямолинейного провода кругового сечения:
L внутр
0 l
8
Внутренняя индуктивность круглого прямолинейного провода не зависит от его
радиуса, а определяется лишь длиной и магнитной проницаемостью материала
проводника

8.

Индуктивности тонких проводников с токами
Определение взаимной индуктивности между тонкими контурами.
Контур считается тонким, если поперечные размеры проводника намного меньше его длины
dl1
r
dl2
l2
l1
0 i1
dl1dl2
21 2 A2 dl2
4
r
l2
l1 l2
0 i1 dl1
A2
4 l1 r
Величина взаимной индуктивности между тонкими контурами определяется следующим соотношением:
M 21
0
dl1dl2
4 l1 l 2 r

9.

Определение индуктивности тонкого контура
Разделим потокосцепление контура на внешнее и внутреннее, предполагая, что ток протекает по оси контура
dl1
r
dl2
Внешнее потокосцепление равно внешнему потоку и определяется интегралом по контуру l2:
внешн внешн
A 2 dl 2
l2
внешн
0 i dl1
A2
4 l1 r
0 i
dl1 dl2
4 l1 l 2 r

10.

Внутреннее потокосцепление тонкого контура можно принять равным
внутреннему потокосцеплению спрямленного проводника такой же длины, выражение
для которого мы получили, рассматривая коаксиальный кабель:
внутр
i l1
8
Индуктивность тонкого контура определяется его суммарным потокосцеплением:
внешн внутр
L
L внешн L внутр
i
i
i
0
dl1 dl2 l1
4 l1 l2 r
8
Предполагается, что магнитная проницаемость проводника может
отличаться от 0.