Теоретические основы электротехники. Теория электромагнитного поля. Лекция 10

1.

Теоретические основы электротехники
Теория электромагнитного поля
ВШВЭ, проф. Л. И. Сахно 2021
1

2.

Метод участков
Если разбить тонкие контуры на отдельные участки, то взаимную индуктивность
между тонкими контурами можно записать в виде суммы интегралов по участкам:
l1k
r
l1k
1
M 21
0
dl1dl2
4 l1 l 2 r
r
l2p
2
l2p
M 12
n m
0
dl1dl2
4
r
k 1 p 1
l1 k l2 p

3.

Выражение, полученное под знаком двойной суммы, можно считать взаимной индуктивностью между двумя
отрезками контуров:
M 1k ,2 p
0
dl1 dl 2
4 l 1k l2 p r
n
m
M 12 M 1k ,2 p
k 1 p 1
Аналогично для вычисления индуктивности, учитывая, что m = n и проводя интегрирование
один раз по оси, а другой по внутреннему контуру, можем записать:
0
dl1 dl 2
L
L внутр
r
k 1 p 1 4 l1 k l2 p
n
n
Если сравнить формулы для участков, полученные для определения взаимных индуктивностей Mkp и
формулы для взаимных потенциальных коэффициентов, полученные по методу средних потенциалов, то можно
заметить их сходство:
M kp
0
dl1dl2
4 l 1k l2 p r
1
12
4 l1 l 2
dl1 dl 2
l l r
1 2
dl1 dl2 dl1 dl2 cos

4.

Индуктивность контуров, составленных из
прямолинейных отрезков
Если отрезки
прямолинейны, то cos может быть вынесен за знак интеграла, так как на всем интервале
интегрирования угол между прямолинейными отрезками остается постоянным. В этом случае выражение для
взаимной индуктивности между двумя прямолинейными отрезками принимает вид:
M 12
M kp
0
dl1dl2
cos
4
r
l1 l2
Для собственной внешней
= 1, можем записать:
0
dl dl \
L 11
4 l1 l \ r
1
kp
0 l1 l 2 cos
индуктивности прямолинейного отрезка, учитывая, что
1
11
4 l12
dl dl \
l \ r
1 l
1
= 0 и cos
L 11
0 l 2
11
Выражения для потенциальных коэффициентов, полученные по методу средних потенциалов, не позволяют
обеспечить достаточно высокую точность из-за необоснованного предположения о равномерном распределении
заряда вдоль отрезков проводников ( = const). Однако, аналогичные выражения для расчета индуктивностей по
методу участков абсолютно точны, так как ток в проводнике во всех его сечениях одинаков (i = const).

5.

Индуктивности систем параллельных проводов
В системе параллельных проводов с токами поле имеет плоскопараллельный характер, векторный
потенциал, как и плотность тока, имеет единственную составляющую, направленную вдоль оси z.
Разность векторных магнитных потенциалов на разных сторонах рамки, удаленных на расстояния a и
b от провода, мы получили в виде:
0 i
0 i b
A1 A2
( ln b ln a )
ln
2
2
a
По аналогии векторный магнитный потенциал в системе проводов с токами можем записать:
0 n
A Az
i k ln rk
2 k 1
где rk – расстояние от рассматриваемой точки до соответствующего провода

6.

Двухпроводная линия с прямым и обратным током
Определим внешнее потокосцепление и внешнюю индуктивность участка линии длиной l , используя контур,
расположенный на ближних друг к другу поверхностях проводов.
Az
1
i
2
r2
r1
l
R
z
D
В произвольной точке около двухпроводной линии векторный магнитный потенциал равен
0 i r2
Az
ln
2
r1
Тогда векторные потенциалы на внутренних поверхностях первого и второго провода имеют вид
0 i D
A1
ln 0
2
R
0 i R
A2
ln 0
2
D
Внешний магнитный поток и внешняя индуктивность двухпроводной линии равны соответственно
внешн
0i l D
( A1 A2 ) l
ln
R
L внешн
0l D
ln
R

7.

Внутренняя индуктивность этой линии определяется магнитным потоком внутри прямого и
обратного провода (общая длина 2l )
L внутр
0 2l 0 l
8
4
Окончательно индуктивность двухпроводной линии равна
0 l
D 1
L
( ln )
R 4
В реальных линиях расстояние между проводами превышает радиус провода примерно в 1000 раз,
тогда
0 l
L
( 7 0,25 )

8.

Взаимная индуктивность между двумя двухпроводными
линиями.
1
1/
r12/
r12
2
r1/2/
r1/2
2/
Зададимся током в первой линии и определим векторный магнитный потенциал на осях проводов второй
линии:
r1/2
0 i1
A2
ln
2
r12
0 i1 r1/2 /
A2 /
ln
2
r12 /

9.

Поток взаимоиндукции, сцепляющийся со второй линией, равен
21
0 i1 l r1/ 2 r12 /
( A2 A1 ) l
ln
2
r12 r1/ 2 /
Взаимная индуктивность между двумя двухпроводными линиями определяется
соотношением:
M 21
21 0 l r1/ 2 r12 /
ln
i1
2
r12 r1/ 2 /

10.

Две двухпроводные линии, расположенные симметрично в
параллельных плоскостях.
D1
D1
1
1/
1
2
h
D2
2/
1/
2/
2
1/
1
D2
D
h
2
2/

11.

2
2
D D2
2
r1/ 2 r12 / 1
h
2
M 12
r12 r1/ 2 /
D D2
2
1
h
2
0 l ( D1 D2 ) 2 4 h 2
ln
2
( D1 D2 ) 2 4 h 2
Если линии расположены на одной высоте, то h = 0 и формула упрощается:
M 12
0 l D1 D2
ln
D1 D2
Если же расстояние между проводами линии (рис.10–6в) одно и тоже (D1 =D2 = D), то взаимная индуктивность
определяется из выражения:
M 12
0 l D 2 h2
ln
2
h2

12.

Линии расположены во взаимно перпендикулярных
плоскостях.
Провода второй линии расположены в плоскости симметрии первой линии
D1
r12 r1/ 2 p
1
1|
b
r12 / r1/ 2 / q
2
D2
2|
M 12
0 l p q
ln
0
2
qp
Провода второй линии расположены вне плоскости симметрии первой линии . В
этом случае:

13.

Провода второй линии расположены вне плоскости симметрии
первой линии
D1
1
b
1|
2
D2
2|
r12 D12 b2
r1/ 2 b
r12 / D12 ( b D2 ) 2
r1/ 2 / b D2
M 12
2
2
0 l b D1 ( b D2 )
ln
2 ( b D2 ) D12 b 2