Векторная алгебра

1.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Оренбургский государственный университет»
Кафедра прикладной математики
И.Г. Руцкова
Электронный курс лекций «Линейная алгебра»,
часть 10
Оренбург 2016

2.

Скалярная проекция вектора на ось
a cos a ,l .
прl a a cos a ,l .
(1)
(2)

3.

Геометрический смысл координат вектора
a x , y , z ,
a x i y j z k,
,
x a cos , y a cos , z a cos ,
x прOX a a cos ,
y прOY a a cos ,
(5)
z прOZ a a cos .
cos 2 cos 2 cos 2 1
(6)
(4)

4.

Скалярное произведение векторов
a b cos a , b .
Обозначения: a b a b cos a , b , (8)
Пример 1.
a 6, b 7 , a , b ;
3
(7)
a ,b a b cos a , b
(9)
1
a ,b a b cos a , b 6 7 21.
2
(10)
(11)
a ,b a b cos a , b a прa b ,
a ,b a b cos a , b b прb a

5.

Свойства скалярного произведения
a ,b a ,b ,
a , b a ,b
(12)
a ,b b пр a b пр
b
b
(14)
a b пр a a ,b
a , b b,a b,a a ,b
a b ,c a ,c b ,c ,
(13)
b
a ,b c a ,b a ,c
(15)

6.

Пример 2.
Решение.
(5 a 2 b ,6 b 3 c ) (5 a ,6 b 3 c ) ( 2 b ,6 b 3 c )
(5 a , 6 b ) (5 a , 3 c )
( 2 b , 6b) ( 2 b , 3 c )
5 6 ( a , b ) 5 3 ( a , c ) 2 6 ( b , b ) 2 3 ( b , c )
30 ( a , b ) 15 ( a , c ) 12 ( b , b ) 6( b , c )
30 | a | | b | cos a , b 15 | a | | c | cos ( a , c ) 12 | b |2 6 | b | | c | cos ( b , c )
1
1
30 4 5 0 15 4 8 12 25 6 5 8 0 240 300 120 420
2
2

7.

Формула для определения скалярного произведения векторов,
заданных своими координатами
Теорема 8.
8
a ,b x x
1
2
y1 y2 z1 z2 .
(16)
a ,b x i y j z k , x
Доказательство.
1
1
1
2
i y2 j z 2 k
x1 i , x2 i x1 i , y2 j x1 i , z2 k y1 j , x2 i y1 j , y2 j y1 j , z2 k
z1 k , x2 i z1 k , y2 j z1 k , z2 k x1 x2 i , i x1 y2 i , j x1 z2 i ,k
x1 i , x2 i y2 j z2 k y1 j , x2 i y2 j z2 k z1 k , x2 i y2 j z2 k
y1 x2 j , i y1 y2 j , j y1 z2 j ,k z1 x2 k , i z1 y2 k , j z1 z2 k ,k
i , i i 2 1, j , j
2
j 1,
k , k k 2 1
x1 x2 y1 y2 z1 z2
i , j j , i 0, i , k k , i 0, j , k k , j 0,
Пример 3.
a 3;1;4 ,
b 2;3; 5 ;
a ,b 3 2 1 3 4 5 6 3 20 26 3 23

8.

Приложения скалярного произведения

9.

10.

Компланарные и некомпланарные векторы

11.

Векторное произведение векторов: определение
1)
с a b ,
Пример 1.
1
с b;
3) | c | | a | | b | sin a , b .
с a ,b
5
| a | 8, | b | 4 , a , b
;
6
с a,
1
a
,
b
|
a
|
|
b
|
sin
a
,
b
8
4
16
2

12.

Свойства векторного произведения
a , b a , b ;
a b , c a , c b , c ;
a , b a , b
a ,b c a ,b a , c

13.

Пример 2. | a | 3, | b | 4 , a , b .
6
Найдите
Решение.
5 a 2 b , b
5 a 2 b , b 5 a , b 2 b , b 5 a , b 2 b , b 5 a , b 2 0
1
5 a , b 5 | a | | b | sin a , b 5 3 4 30
2
j, j 0,
i , i 0,
k i,
k j,
| i | | j | sin i , j 1 1 sin 1;
2
i , j k;
k ,k 0 .
j , i i , j k
| k | | i | | j | sin i , j ;
j ,k i
k , j i
k , i j
i ,k j

14.

Определение векторного произведения векторов, заданных координатами
a , b y1 z 2 y 2 z1 ; x1 z 2 x2 z1 ; x1 y 2 x2 y1
a , b x1 i y1 j z1 k , x2 i y 2 j z 2 k
Доказательство.
x1 i , x2 i y 2 j z 2 k y1 j , x2 i y 2 j z 2 k z1 k , x2 i y 2 j z 2 k
x1 i , x2 i x1 i , y 2 j x1 i , z 2 k y1 j , x2 i y1 j , y 2 j y1 j , z 2 k
z1 k , x2 i z1 k , y2 j z1 k , z2 k x1x2 i , i x1 y2 i , j x1z2 i , k
y1x2 j , i y1 y2 j , j y1z2 j , k z1x2 k , i z1 y2 k , j z1z2 k , k
0 x1 y2 k x1z2 j y1x2 k 0 y1z2 i z1x2 j z1 y2 i 0
y1 z 2 z1 y 2 i z1 x2 x1 z 2 j x1 y 2 y1 x2 k

15.

Практический алгоритм
a , b y1 z 2 y 2 z1 ; x1 z 2 x2 z1 ; x1 y 2 x2 y1
y1
z1
y2
z2
y1z2 y2 z1 ,
y1
a ,b y
2
x1
y1
z1 1
x2
y2
z2
i
j
k
1 1
i
y1
z1
y2
z2
x1
z1
x2
z2
z1
z2
1
1 2
i
j
x1z2 x2 z1 ,
x1
z1
x2
z2
x1
z1
x2
z2
1
i
a , b x1
x2
Пример 3.
a 0 ,1,4 ,
b 2 ,3,7
i
a ,b 0
2
j
1
3
j
1 3
j
y1
y2
k
x1
y1
x2
y2
x1
x2
y1
x1
y1
x2
y2
x1 y 2 x2 y1
k
y1
i
y2
y2
z1 x1
j
z2
x2
z1 x1
k
z2
x2
k
z1
z2
k
4
7
1 4 0 4 0 1
i
j
k
3 7
2 7
2 3
5 i 8 j 2 k
y1
y2

16.

Приложения векторного произведения
a ,b
sin a , b
| a | | b |
Пример 4.
Решение.
2 a 5 b ,3 a 4 b 2 a ,3 a 4 b 5 b ,3 a 4 b
2 a ,3 a 2 a ,4 b 5 b ,3 a 5 b ,4 b
6 a , a 8 a , b 15 b , a 20 b , b 6 0 8 a , b 15 a ,b 20 0 23 a , b

17.

Приложения векторного произведения
S ABCD
S ABC
AB , AD
1
2
AB , AC .
Пример 5.
AB 3,2 ,4 ;
Решение.
i
j
AB
,
AC
3 2
1 7
AC 1,7 ,5
k
2 4 3
4 3 2
4 i
j
k
18 i 19 j 23 k ;
7 5
1 5
1 7
5
S ABC
1
2
1
AB , AC 2
18 2 19 2 23 2 1
2
1214 .

18.

Смешанное произведение векторов
a b c a , b , c

19.

Свойства смешанного произведения
Теорема 1.
1) a b c b a c b c a c b a c a b a c b , a , b , c .
2)
a , b , c ; R
a b c a b c ;
3)
a b c a b c ;
a1 a2 b c a1 b c a2 b c ,
a b1 b2 c a b1 c a b2 c ,
a b c1 c2 a b c1 a b c2 .
Замечание.
a b c a b c .
a1 ,a2 , b , c ;
a ,b1 ,b2 , c ;
a , b ,c1 ,c2 .
a b c a , b , c a , b , c

20.

Свойства смешанного произведения
Пример 1.
Доказательство.
a b b c c a a b c c a b b c c a
a b c a a c c a b b c a b c c a
a b c a b a a c c a c a 0 b c c b c a a b c 0 0 0 0 b c a
a b c b a c a b c a b c 2a b c

21.

Определение смешанного произведения векторов, заданных координатами
Теорема 2.
a x1 , y1 , z1 , b x2 , y2 , z2 , c x3 , y3 , z3 ,
Доказательство.
a b c a , b , c ,
x1
a b c x2
y1
y2
z1
z2
x3
y3
z3
a , b y1z2 y2 z1 ; x1z2 x2 z1 ; x1 y2 x2 y1 ,
a b c a , b , c y1z2 y2 z1 x3 x1z2 x2 z1 y3 x1 y2 x2 y1 z3 .
x1
x2
x3
y1
y2
y3
Пример 2.
z1
y
z2 x3 1 3 1 1
y2
z3
z1
x
y3 1 3 2 1
z2
x2
z1
x
z3 1 3 3 1
z2
x2
y1
y2
x3 y1z2 y2 z1 y3 x1z2 x2 z1 z3 x1 y2 x2 y1
a 1; 2; 3 , b 1; 0; 6 , c 3; 2; 4 ;
1 2 3
a b c 1 0 6 0 6 36 0 12 8 62
3
2 4

22.

Приложения смешанного произведения векторов
Доказательство.
a ,b S e .
a b c a , b , c S e ,c S e , c S | e | | c | cos S | c | cos ,
| c | cos пр с h
e
| c | cos пр с h ,
e
cos 0 ,
a b c S h
a b c S h

23.

Приложения смешанного произведения
Пример 3.
AB 3; 6; 4 ,
AC 1; 1; 0 ,
AD 2; 6; 7 ;
3 6 4
1
37
V
|
37
|
.
ABCD
AB AC AD 1 1 0 21 24 0 8 0 42 37 ,
6
6
2 6 7

24.

Приложения смешанного произведения
Доказательство.
Доказательство.
А, B , C , D AB , AC , AD AB , AC , AD - компланарн ы
AB AC AD 0