Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

1.

§8. Скалярное, векторное и
смешанное произведение
векторов
п.1. Направляющие косинусы.
Рассмотрим вектор a = ( x, y ).
y
|a|
x
Пусть
— угол между a и
осью Ox;
— угол между a и
осью Oy.

2.

Очевидно
или
x =| a | cos , y =| a | cos
x
y
cos = , cos = .
|a|
|a|
Числа cos , cos называются направляющими
косинусами вектора a.
Так как
то
т.е.
2 2
2
|a| = x + y ,
2 2
2
2
| a | =| a | cos + | a | cos 2 ,
cos 2 + cos 2 = 1.

3.

Замечание.
Если
то
a = ( x, y, z ),
x
y
z
cos = , cos = , cos = .
|a|
|a|
|a|
При этом
cos + cos + cos = 1.
2
2
2

4.

Разложение вектора по ортам координатных
осей
Рассмотрим случай на плоскости.
Векторы
i = (1,0),
j = (0,1)
называются ортами координатных осей.
Пусть a = ( x, y ) —
произвольный вектор.
y N
j
O i
Рассмотрим векторы
a
M
x
OM = ( x,0), ON = (0, y).

5.

Очевидно
Так как
то
OM = xi , ON = yj .
a = OM + ON ,
a = xi + yj
— формула разложения вектора по ортам
координатных осей.
Замечание.
Запись
a = xi + yj
равносильна записи
a = ( x, y ).

6.

Замечание.
В пространстве ортами координатных осей
являются
векторы
i = (1,0,0),
j = (0,1,0), k = (0,0,1).
Формула разложения вектора по ортам
координатных осей примет вид
a = xi + yj + zk .
Пример. Найти направляющие косинусы
вектора
a = i − 2 j + 2k .
Решение.
2
2
2
a = (1,−2,2), | a |= 1 + (−2) + 2 = 3,
1
2
2
cos = , cos = − , cos = .
3
3
3

7.

п.2. Скалярное произведение.
Скалярным произведением
двух ненулевых
векторов a и b называется число, равное
произведению длин этих векторов на косинус
угла между ними
b
a
a b =| a | | b | cos .
Угол между векторами
ab
cos = .
| a || b |

8.

Свойства скалярного произведения
a b = b a.
2)
( a )b = (ab ), R.
Доказательство. Пусть 0.
Тогда углы между векторами a , b и a , b равны,
( a )b =| a || b | cos = | a || b | cos = (a b ).
Пусть 0.
Тогда углы между векторами a , b и a , b
1)
являются смежными,
( a )b =| a || b | cos( − ) = − | a || b | (− cos ) = (a b ).

9.

a (b + c ) = ab + ac .
2 2
a =| a | .
3)
4)
Доказательство.
2
2
a =| a || a | cos 0 =| a | .
Векторы называются ортогональными, если
угол между ними равен 900.
5) (критерий ортогональности).
Два вектора ортогональны тогда и только тогда,
когда их скалярное произведение
равно
нулю.
Доказательство. Пусть a ⊥ b , т.е. = 90 .
a b =| a | | b | cos
90 = 0.
ab
Если a b = 0, то cos = = 0, = 90 .
| a || b |

10.

Выражение скалярного произведения через
координаты векторов
Замечание.
i i = 1; i j = 0; i k = 0;
j j = 1; j k = 0; k k = 1.
Пусть
a = ( x1, y1, z1 ) = x1i + y1 j + z1k ,
b = ( x2 , y2 , z2 ) = x2i + y2 j + z2 k .
Тогда

11.

ab = ( x1i + y1 j + z1k )( x2i + y2 j + z2 k ) =
= x1 x2i i + x1 y2i j + x1 z2i k +
+ y1 x2 j i + y1 y2 j j + y1 z2 j k +
+ z1 x2 k i + z1 y2 k j + z1 z2 k k = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ,
ab = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .
Пример. Найти угол между
векторами
a = (1,−2,1), b = (4,1,−1).
Решение. ab = 1 4 + (−2) 1 + 1 (−1) = 1,
2
2
2
| a |= 1 + (−2) + 1 = 6 ,
ab
1
3
cos = =
=
.
| a || b |
6 3 2 18
| b |= 42 + 12 + (−1) 2 = 3 2 ,

12.

п.2. Векторное произведение.
Три вектора в пространстве называются
компланарными, если они лежат в одной
плоскости или в параллельных плоскостях.

13.

Три некомпланарных вектора a , b и c , взятые
в указанном порядке, образуют правую тройку,
если с конца третьего вектора
кратчайший
c
поворот от первого вектора a ко второму b
совершается против часовой стрелки, и левую,
если по часовой.
c
a
b
правая тройка
a
c
левая тройка
b

14.

Векторным
на
a
произведением вектора
вектор b называется вектор c ,
удовлетворяющий условиям:
1) c ⊥ a , c ⊥ b ;
2) | c |=| a | | b | sin( a , b );
3) a , b , c — правая тройка.
Обозначается:
a b , [a , b ].

15.

Свойства векторного произведения
1)
Доказательство.
a b = −(b a ).
a b || −(b a );
| a b |=| −(b a ) | .
Так как
a , b , a b — правая тройка,
a , b , b a — левая тройка,
то
a b ,−(b a ) противоположно направлены.
Значит,
a b = −(b a ).

16.

2)
(a b ) = ( a ) b = a ( b ), R.
3)
a || b a b = 0.
Доказательство самостоятельно.
4)
(a + b ) c = a c + b c .

17.

Выражение векторного произведения через
координаты векторов
k
Замечание.
i
i i = 0;
i j = k;
i k = − j;
j
j i = −k ;
j j = 0;
j k = i;
k i = j;
k j = −i ;
k k = 0.

18.

Пусть
Тогда
a = ( x1, y1, z1 ) = x1i + y1 j + z1k ,
b = ( x2 , y2 , z2 ) = x2i + y2 j + z2 k .
a b = ( x1i + y1 j + z1k ) ( x2i + y2 j + z2 k ) =
= x1x2 (i i ) + x1 y2 (i j ) + x1z2 (i k ) +
+ y1x2 ( j i ) + y1 y2 ( j j ) + y1z2 ( j k ) +
+ z1x2 (k i ) + z1 y2 (k j ) + z1z2 (k k ) =

19.

= 0 + x1 y2 k − x1z2 j − y1x2k + 0 + y1z2i + z1x2 j − z1 y2i + 0 =
= ( y1z2 − z1 y2 )i − ( x1z2 j − z1x2 ) j + ( x1 y2k − y1x2 )k =
y1
=
y2
Поэтому
z1 x1
i−
z2
x2
z1 x1
j+
z2
x2
y1
k.
y2
i
a b = x1
j
y1
k
z1 .
x2
y2
z2

20.

Геометрический смысл векторного
произведения
a
b
S =| a | | b | sin
S =| a b |
a
b
1
S = | a | | b | sin
2
1
S = | a b |
2

21.

п.2. Смешанное произведение.
Смешанным произведением векторов a ,b и c ,
взятых в указанном порядке называется
скалярное произведение векторного
произведения первых
двух
векторов
и
на
a
b
третий вектор c .
Обозначается:
Таким образом
ab c .
ab c = (a b ) c .

22.

Свойства смешанного произведения
1)
(a b ) c = (b c ) a = (c a ) b .
2)
(a b ) c = a (b c ).
3)
ab c = −ac b ;
ab c = −b a c ;
ab c = −c b a.
4)
a, b , c компланарн ы ab c = 0.

23.

Выражение смешанного произведения через
координаты векторов
Пусть
Тогда
a = ( x1, y1, z1 ) = x1i + y1 j + z1k ,
b = ( x2 , y2 , z2 ) = x2i + y2 j + z2 k .
c = ( x3 , y3 , z3 ) = x3i + y3 j + z3k .

24.

ab c = (a b ) c =
y1
=
y2
z1 x1
i−
z2
x2
z1 x1
j+
z2
x2
y1 z1
x1
=
x3 −
y2 z 2
x2
Поэтому
y1
k ( x3i + y3 j + z3k ) =
y2
z1
x1
y3 +
z2
x2
x1
ab c = x2
x3
y1
y2
y3
y1
z3.
y2
z1
z2 .
z3

25.

Приложения смешанного произведения
1) Если
то
a, b , c
если
то
ab c 0,
— правая тройка;
ab c 0,
a , b , c — левая тройка.

26.

2)
d
Пусть
тогда
c
b
a
d = a b,
ab c = (a b ) c = d c = | d | прd c.

27.

Но
| d |=| a b |= S ,
прd c = H .
Значит,
ab c = S H = V
V =| ab c | .
или
Объем треугольной пирамиды
1
1
V = SH = | ab c | .
3
6