Теория кривых. Репер Френе

1. ТЕОРИЯ КРИВЫХ

Репер Френе

2. Репер Френе в натуральной параметризации

Определение: репер Френе – три единичных вектора, задающие
направления рёбер сопровождающего трёхгранника.
Пусть кривая задана r r (s ) .
r
r - направляющий вектор главной нормали, но не единичный.
| r |
обозначим
k
r
r
k | r |
(18)
(18) – единичный вектор главной нормали.
[ ; ]
(19)

3. Репер Френе в натуральной параметризации

| | | [ ; ] | | | | | sin 90 1
(19) – единичный вектор бинормали.
, , - правая тройка векторов составляет репер Френе.

4. Свойства репера Френе

1. 0
(20)
2. 2
(21)
2
2 1
[ ; ] 0
3. [ ; ]
[ ; ]
[ ; ]
[ ; ] 0
[ ; ]
[ ; ]
[ ; ]
[ ; ] 0
(22)

5. Свойства репера Френе

Лемма. (без доказательства)
Даны две некомпланарные упорядоченные тройки векторов a , b , c
и a , b , d , причём c || d , тогда c d a , b , c и a , b , d одинаковой
ориентации; c d a , b , c и a , b , d различной ориентации.
Докажем одно из свойств, что [ ; ]
Доказательство:
| [ ; ] | | | | | cos 90 1
[ ; ] ,
,
[ ; ] ||

6. Свойства репера Френе

, , - правая тройка векторов,
, , [ ; ] правая тройка векторов
, , левая тройка векторов
Ч.т.д.
Лем м а
[ ; ] [ ; ]

7. Репер Френе в произвольной параметризации

Пусть кривая задана r r (t )
T r - касательный вектор,
B [r ; r ] - вектор бинормали,
N [T ; B ] [r ;[r ; r ]] - вектор главной нормали.
T
r
| T | | r |
B
[r ; r ]
| B | | [r ; r ] |
N
|N |
T , N , B - левая тройка векторов,
, , - правая тройка векторов.
выход

8.

Лемма.
Даны две некомпланарные упорядоченные
тройки векторов a , b , c и a , b , d , причём c || d, тогда
c d a , b , c и a , b , d одинаковой ориентации;
c d a , b , c и a , b , d различной ориентации.

9.

Определение: нормаль кривой, параллельная
вектору r , называется главной
нормалью.

10.

Определение: прямая, перпендикулярная
касательной к кривой в точке x0,
называется нормалью.

11.

Определение: касательной к линии L в точке М
называется прямая, с которой
стремится совпасть секущая ММ’,
оставаясь на L, стремится к М –
будь то справа или слева.

12.

Определение: нормаль, перпендикулярная
главной нормали, называется
бинормалью.