Интегралы от тригонометрических функций

1. Здравствуйте!

Лекция №5

2.

Тип IV. Рассмотрим
M
Mp
(2 x p) ( N
)
( Mx N )dx
2 dx
I 2
2
k
2
k
( x px q )
( x px q )
M
Mp
K N
Jk ,
2
2
где
(2 x p)dx
d ( x 2 px q )
1
K 2
C,
k
2
k
2
k 1
( x px q )
( x px q)
(1 k )( x px q )
dx
Jk 2
.
k
( x px q )

3.

dx
.
2
k
( x px q )
Для вычисления J k положим
Jk
p2
p
a q , t x , dx dt.
4
2
2
Тогда
dt
1 (t 2 a 2 ) t 2
Jk 2
dt
(t a 2 ) k a 2 (t 2 a 2 ) k
1
dt
1
t 2 dt
1
2 2
J
L,
k 1
2 k 1
2 2
2 k
2
a (t a )
a (t a )
a
где
t 2 dt
t (tdt)
1 d (t 2 a 2 )
L 2
t
(t a 2 ) k (t 2 a 2 ) k 2 (t 2 a 2 ) k
2
1
t
d
.
2
2 k 1
2(k 1)
(t a )

4.

L
2
1
t
d
.
2
2 k 1
2( k 1)
(t a )
Последний интеграл вычислим по частям, полагая
u t, v
1
.
(t 2 a 2 ) k 1
В результате получим:
L
1
t
dt
1
t
J
k 1 .
2
2 k 1
2
2 k 1
2
2 k 1
2(k 1) (t a )
2(k 1) (t a )
(t a )

5.

Подставляя полученное выражение в формулу для J k , приходим к
рекуррентной формуле
Jk
t
2k 3
J k 1.
2
2
2 k 1
2
2a (k 1)(t a )
2a (k 1)
Так как
J1
dt
1
t
arctg
C,
2
2
a
a
t a
то рекуррентно можем вычислить J 2 , J 3 , ..., J k .
После подстановки J k в I и замены t на x
окончательный результат.
p
получаем
2

6.

I
( Mx N )dx
M
Mp
K
N
Jk ,
2
k
2
2
( x px q )
1
C,
2
k 1
(1 k )( x px q )
dx
Jk 2
,
( x px q ) k
t
2k 3
Jk 2
J k 1 ,
2a (k 1)(t 2 a 2 ) k 1 2a 2 (k 1)
dt
1
t
J1 2
arctg
C,
2
a
a
t a
p
t x .
2
K

7.

Интегралы от тригонометрических функций
Определение. Полиномом от двух переменных степени п
называется выражение
Pn ( x, y ) a00 (a10 x a01 y ) (a20 x 2 a11 xy a02 y 2 ) ...
(an 0 x n an 1,1 x n 1 y ... a0 n y n ).
(Обратите внимание, как индексы у коэффициентов а соотносятся
со степенями х и y).
Пусть Pn ( x, y) Qm ( x, y ) два полинома от двух переменных.
Q ( x, y )
Функция R ( x, y ) m
называется дробно рациональной
Pn ( x, y )
функцией двух переменных.
В этом разделе будут рассмотрены вопросы вычисления
интегралов вида
R(sin x, cos x)dx .

8.

Универсальная подстановка
x
Эта подстановка имеет вид t tg .
2
Докажем, что она приводит рассматриваемый класс интегралов
к интегралам от дробно рациональных функций. Имеем:
x
x
sin
tg
x
x
x
2t
2
2
2
sin x 2 sin cos 2
cos 2
;
2
x
x
2
2
2
1 t
cos
1 tg 2
2
2
2 x
1
tg
2
1
t
2 x
2 x
2 x
2 x
2
cos x cos sin cos 1 tg
;
2
2
2
2
2 1 tg 2 x 1 t
2
2dt
x 2 arctg t dx
.
2
1 t

9.

В результате рассматриваемый интеграл принимает вид
2t 1 t 2 2dt
R(sin x, cos x)dx R 1 t 2 ,1 t 2 1 t 2
и он является интегралом от дробно рациональной функции,
который вычисляется при помощи разложения на простейшие.

10.

Упрощенные подстановки
R( sin x, cos x) R(sin x, cos x) .
Чтобы изложение дальнейшего было короче, будем писать u
вместо sin x и v вместо cos x . Тогда условие применимости первой
упрощенной подстановки примет вид R( u, v) R(u, v) .
Но в нашей формуле, определяющей функцию R(u, v) и в
числителе и в знаменателе стоят полиномы по переменным и и v.
Когда же функция R(u, v) будет нечетной функцией по переменной
и? Легко догадаться, что это будет тогда, когда сомножитель и
можно вынести за скобки и, после этого, в числителе и
знаменателе останутся лишь полиномы от переменной и2, то есть
тогда, когда функция R(u, v) может быть приведена к виду
R(u, v) u R1 (u 2 , v) .

11.

Это условие и определяет первую упрощенную подстановку.
Она имеет вид
t cos x .
Тогда dt sin xdx и мы имеем
2
R
(sin
x
,
cos
x
)
dx
sin
x
R
(sin
x, cos x)dx
1
sin x R1 (1 cos 2 x, cos x)dx R1 (1 t 2 , t )dt
и мы получили интеграл от дробно рациональной функции.

12.

2. Условие применимости второй упрошенной подстановки
имеет вид
R(sin x, cos x) R(sin x, cos x) .
Повторяя почти дословно все рассуждения, касающиеся первой
упрощенной подстановки, можно получить, что в этом случае
функция R(u, v) может быть приведена к виду R(u, v) v R1 (u, v 2 ) .
Вторая упрощенная подстановка имеет вид t sin x . Тогда
dt cos xdx и мы имеем
2
R
(sin
x
,
cos
x
)
dx
cos
x
R
(sin
x
,
cos
x)dx
1
= cos x R1 (sin x,1 sin 2 x)dx R1 (t ,1 t 2 )dt
и мы получили интеграл от дробно рациональной функции.

13.

3. Условие применимости третьей упрошенной подстановки
имеет вид
R( sin x, cos x) R(sin x, cos x) .
Попытаемся сообразить, что это дает относительно вида функции
R(u, v) . Прежде всего имеем
u
u
R(u, v) R v, v R1 , v .
v
v
Тогда условие применимости третьей упрощенной подстановки
дает
u
u
u
R( u, v) R1
, v R1 , v R(u, v) R1 , v .
v
v
v
Используя те же рассуждения, что и выше, легко догадаться, что
u
второй аргумент у R1 , v должен содержать только четные
v
u
u
степени v. Поэтому R(u, v) R1 , v R2 , v 2 , и
v
v
R(sin x, cos x) R2 (tg x, cos 2 x) .

14.

Это и определяет третью упрощенную подстановку. Она имеет
вид t tg x . Действительно, в этом случае
1
dt
dx
cos 2 x
,
,
,
x
arctg
t
2
2
1 t
1 t
и наш интеграл принимает вид
1 dt
2
R
(sin
x
,
cos
x
)
dx
R
(tg
x
,
cos
x
)
dx
R
t
,
2
2 1 t 2 1 t 2
и мы получили интеграл от дробно рациональной функции.

15.

ax b
Вычисление интегралов вида R x, m
dx
Ax B
ax b
Рассмотрим вычисление интегралов вида R x, m
dx при
Ax B
a b
условии .
A B
Все, что здесь надо запомнить это то, какую замену
переменных (подстановку) здесь нужно сделать, а именно
ax b
t m
.
Ax B
Дальше все идет само собой. Выражаем х через t
m
b
Bt
ax b
t m , ax b Axt m Bt m , x m
,
At a
Ax B
и самое неприятное корень исчез.

16.

Далее имеем
Bmt m 1 ( At m a) Amt m 1 (b Bt m )
dx
dt
m
2
( At a)
aB bA
mt m 1
dt .
m
2
( At a)
Заметим, что aB bA 0 .
Окончательно получаем
b Bt m t m 1dt
m ax b
R x, Ax B dx m(aB bA) R At m a , t ( At m a)2 ,
и мы получили интеграл от дробно рациональной функции.

17.

Вычисление интегралов вида x n (a bx m ) p dx
Рассмотрим
теперь
вычисление
интегралов
I x n (a bx m ) p dx , где т, п, и р рациональные числа.
вида
Рассмотрим четыре возможных случая.
1. р целое положительное число.
Тогда следует комбинацию (a bx m ) p раскрыть по формуле
бинома Ньютона, раскрыть скобки и проинтегрировать почленно.

18.

2. р целое отрицательное число.
Вспомним, что т и п рациональные числа. Это значит, что
s
s
они представимы в виде n 1 , m 2 . Пусть r есть наименьшее
t1
t2
s1
s2
общее кратное чисел t1 и t2. Тогда n , m .
r
r
Теперь сделаем замену переменных t r x . Тогда получаем
x t r , dx rt r 1dt , x n t s1 , x m t s2
и рассматриваемый интеграл принимает вид
I t s (a bt s ) p rt r 1dt ,
1
2
и степени у t всюду целые числа и мы получили интеграл от дробно
рациональной функции.

19.

3. Комбинация
Пусть
переменных
r
p .
s
n 1
целое число.
m
Тогда
надо
сделать
следующую
замену
t s a bx m
(обратите внимание, откуда в показателе корня взялось это s!).
А теперь проделаем аккуратно все выкладки. Сначала выразим х
через t:
1
m
ts a
.
a bx t ; x
b
m
s

20.

Теперь найдем dx
1
1
m
t s a st s 1dt
dx
bm
b
и подставим все это в изучаемый интеграл
n
m
t a r t a
t
I x (a bx ) dx
b
b
s
n
m p
n 1
1
m
s
1
1
m
st s 1dt
mb
s
r s 1 t a
t
dt .
mb
b
n 1
Но
целое число! Все остальные степени также целые
m
числа. Поэтому под знаком интеграла стоит дробно рациональная
функция
и
интеграл
вычисляется
методом
разложения
подынтегральной функции на простейшие.
s

21.

n 1
p целое число.
4. Комбинация
m
r
Пусть снова p . Тогда надо сделать следующую замену
s
переменных
a
s
t
b.
m
x
А теперь проделаем аккуратно все выкладки. Сначала выразим
х через t:
a
a
s
m
b
t
x
;
.
m
s
x
t b
Дифференцируем последнее соотношение
s 1
ast
mx m 1dx s
dt .
2
(t b)

22.

Попытаемся переписать подынтегральное выражение так, чтобы в
нем была явно видны комбинации, равные mx m 1dx и t:
p
a
I x n (a bx m ) p dx x n mp m b dx
x
p
1 n mp ( m 1) a
m 1
x
m b mx dx
m
x
Заметим теперь, что
n 1
p 1
m
a
x
x
(x )
s
t
b
так что, продолжая предыдущую строку, получаем
n mp ( m 1)
n mp m 1
1 a
s
m t b
m
n 1
p 1
m
n 1
p 1
m
,
ast s 1
t s
dt .
2
(t b)
r
n 1
p целое число. Все остальные степени также целые
m
числа.
Но