Определенный интеграл

1.

Лекция N10
Лектор:
Тема: Определенный интеграл

2.

Задача о площади
криволинейной трапеции
Рассмотрим фигуру, ограниченную
слева и справа прямыми x a и x b,
снизу отрезком оси Ox и сверху
кривой y f ( x).
y
0
y f ( x)
a
b
x

3.

Такая фигура называется
криволинейной трапецией.
Вычислим площадь этой фигуры.
1) Разобьем отрезок [a, b] на n
малых отрезков с помощью точек
деления
x1 x2
xi
xn 1.

4.

2) В каждом из отрезков возьмем
произвольную точку ci , где
ci [ xi 1 , xi ].
3) Составим сумму
n
f (c ) x .
i 1
i
i
Назовем её интегральной суммой.

5.

4) Назовем определенным интегралом
n
lim
max xi 0
f (c ) x
i
i 1
i
и обозначим
b
a
f ( x) dx lim
max xi 0
n
f (c ) x .
i 1
i
i

6.

Числа a и b называют верхним и
нижним пределами интегрирования.
f ( x) - подынтегральная функция.
f ( x) dx - подынтегральное выражение.
Произведение f (ci ) xi численно
равно площади прямоугольника с
основанием [ xi 1 , xi ] и высотой f (ci ).

7.

y
f (ci )
0
xi 1
ci
xi x

8.

Геометрический смысл определенного
интеграла:
b
a
f ( x) dx Sкриволинейной трапеции .
(предполагается, что
f ( x) 0
).

9.

Свойства определенного интеграла
b
1)
2)
a
f ( x) dx f ( x) dx.
a
b
b
b
a
a
kf
(
x
)
dx
k
f
(
x
)
dx
.
b
b
b
a
a
a
3) f ( x) ( x) dx f ( x) dx ( x) dx.

10.

Свойства определенного интеграла
b
4)
c
b
a
c
f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx.
a
y
c
S1 f ( x) dx
a
b
S2
S1
S2 f ( x) dx
c
0
a
c
b x

11.

Свойства определенного интеграла
a
5)
a
f ( x) dx 0.

12.

Теорема о среднем значении
Если f ( x) - непрерывная на [a, b]
функция, то существует такая точка
c (a, b), что
b
a
f ( x) dx f (c) (b a).

13.

Формула Ньютона-Лейбница
b
f ( x) dx F ( x) a F (b) F (a ).
b
a
Г. Лейбниц (1646-1716) – великий
немецкий математик.
И. Ньютон (1642-1727) – великий
английский математик

14.

Примеры
2
1) e dx e
x
1
0,5
2)
0
dx
1 x
x 2
1
e e e(e 1).
2
arcsin x 0
0,5
2
arcsin 0,5 arcsin 0 .
6
Предполагается, что f ( x) непрерывная функция.

15.

Замена переменной в
определенном интеграле
8
1)
3
x dx
.
x 1
Замена:
x 1 t x t 1, dx 2t dt.
2
2
Новые пределы интегрирования:
x 3 t 2,
x 8 t 3.

16.

8
3
x dx
(t 1) 2t dt
2
2 t 1 dt
t
x 1 2
2
3
3
2
3
t
3
2
2 t 2 3 2 2
3
2
3
3
3
3
3
4
2
8
2 6 2 2 12 10 .
3
3
3

17.

4
2) 4 x dx.
2
0
Если
Если
x 2sin t ,
dx 2cos t dt.
x 0, то t 0;
1
x 4, то sin t t .
2
6

18.

4
6
4 x dx 4 4sin t 2cos t dt
2
0
2
0
1 cos 2t
4 cos t dt 4
dt
2
0
0
6
6
2
1
6
2 (1 cos 2t ) dt 2 t sin 2t
2
0
0
6

19.

1
6
2 (1 cos 2t ) dt 2 t sin 2t
2
0
0
6
1 3
3
3
2
.
2
6
2
2
6
4
3
2

20.

Самостоятельная работа №1
1
1) x dx
2
2
3) 4 x dx
2
0
0
4
dx
2)
2
cos x
0
1
4) x dx
x
1
2

21.

1
e
ln x
7)
dx
x
1
5) 3 4 dx
x
x
0
ln x 1
8)
dx
x
1
e
2
6) sin x dx
2
0
9) Найти производную функции
y 2
sin 3 x
tg x.
3
Работы собирают старосты