Определённый интеграл. Приложения определенного интеграла

1.

Математика ППИ
ЛЕКЦИЯ № 14
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ПРИЛОЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛ

2. УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ

3. Общая схема применения определенного
интеграла к решению геометрических и
физических задач.( ознакомительно)
4. Вычисление площадей плоских фигур и
длин дуг плоских линий в декартовых и
полярных координатах.

3. ЛИТЕРАТУРА

[1] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное
исчисления. Т 1. Москва: Интеграл-Пресс, 2004. с.
340-375;
[3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. Краткий курс
высшей математики. Москва: Издательство АСТ,
2004.. с. 253-266;
[14] Л.К. Потеряева, Г.А. Таратута. Курс высшей
математики IV. Челябинск: Челябинский военный
авиационный краснознамённый институт штурманов,
2002 г.с. 80-94.

4.

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС.
Общая схема применения определенного
интеграла к решению геометрических и
физических задач.

5. Общая схема применения определенного интеграла к решению геометрических и физических задач.

Пусть требуется найти значение какой-либо
геометрической или физической величины Q,
связанной с отрезком [a;b] изменения независимой
переменной x.
Для нахождения величины можно применить один
из следующих методов:
1) метод интегральных сумм, который базируется на
определении определенного интеграла;

6.

2) метод дифференциала, сущность
которого заключается в том, что
сначала составляется дифференциал
искомой величины, а затем после
интегрирования в соответствующих
пределах находится значение
искомой величины.

7.

Пример.
Пусть материальная точка М перемещается вдоль
оси Ox под действие силы F=F(x). Найдем работу A
силы по перемещению M из точки x=a в точку
x=b (a<b). Для решения задачи применим метод
интегральных сумм:
Отрезок [a;b] точками a=x0,x1,…,xn =b разобьем на
n частичных отрезков.
Выберем на каждом отрезке
[ x i-1;xi] точку ci.
Работа, совершенная силой на отрезке [ x i-1;xi],
равна произведению F(ci)∙Δxi , как работа
постоянной силы F(ci) на участке [ x i-1;xi].

8.

Приближенное значение работы на [a;b] есть
A
n
F (ci ) xi
i 1
Это приближенное равенство тем точнее, чем
меньше длина xi , поэтому за точное значение
работы А принимается предел интегральной
суммы
b
n
A lim F (ci ) xi F ( x)dx
0 i 1
a

9.

Пример. Вычислить силу давления воды на
вертикальную площадку, имеющую форму
треугольника с основанием 5 м и высотой 3 м.
Уровень воды совпадает с вершиной
треугольника.
Решение.
По закону Паскаля давление жидкости на
площадку равно ее площади S, умноженной на
глубину погружения h, на плотность ρ и ускорение
силы тяжести g, т.е. P ghS .

10.

B
y
x
M
N
h
dx
A
x
C

11.

Рассмотрим горизонтальную полоску толщиной dx,
находящуюся на глубине х .
Принимая эту полоску за прямоугольник, находим
дифференциал площади dS=MN dx. Из подобия
MN x .
треугольников BMN и ABC имеем
AC
Отсюда
MN
x AC
h
и
dS
h
x AC
5x
dx
dx
h
3
Сила давления воды на эту полоску равна dP=x dS
(учитывая, что удельный вес воды равен 1).
Следовательно, сила давления воды на всю
площадку ABC
h
h
3
5x 2
5 x3
Р dР x dS
dx
3
3 3
0
0
0
3
0
5 33
2 15 Н
3

12. УЧЕБНЫЙ ВОПРОС

Вычисление площадей плоских
фигур и длин дуг плоских линий в
декартовых и полярных
координатах.

13.

Вычисление площадей плоских фигур в
декартовых координатах.
Если непрерывная функция f(x)≥0 на [a;b], то
площадь S криволинейной трапеции, ограниченной
линиями y= f(x); y=0 , x=a , x=b , равна интегралу
b
S f ( x)dx
a
Если же
f(x)≤0 на [a;b] , то
b
b
S f ( x )dx или S f ( x )dx
a
a

14.

Пусть на [a;b] заданы непрерывные функции y=f1(x) и
y=f2(x) такие, что f2(x)≥ f1(x). Тогда площадь S фигуры,
заключенной между кривыми y=f1(x) и y=f2(x) на
отрезке [a;b] вычисляется по формуле
b
S ( f ( x) f ( x))dx
1
a 2

15.

Пример.
Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями y=x2-2, y=x.
Решение. Для нахождения абсцисс точек
пересечения данных кривых решим систему
уравнений: y x 2 2
. Отсюда х1 = -1, х2= 2.
y x

16.

2
x2 2
x3 2
2
S ( x ( x 2)) dx
2x 2
1 3 1
1
2
1
2 2 ( 1) 2 2 3 ( 1) 3
2 2 2 ( 1)) 4,5кв.ед.
2
2
3
3

17.

Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной кривой, заданной
параметрически
x x(t )
, t ,
y y(t )
прямыми x=a, x=b и осью Ox (х(α)=а, х(β)=b),
вычисляется по формуле
,
S
y (t ) x (t )dt

18.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
эллипсом
x a cost
y b sin t
Решение. Найдем сначала ¼ площади S.Здесь x
изменяется от 0 до a, следовательно t изменяется от
π/2 до 0
0
0
1
ab 2
2
S b sin t ( a sin t )dt ab sin tdt
(1 cos 2t )dt
4
2 0
2
2
ab
1
ab
. Значит: S=πаb
t 2 sin 2t 2
.
2
2
4
0
0

19.

Вычисление площадей в полярных
координатах.
Площадь S плоской фигуры, ограниченной
непрерывной линией r=r(φ) и двумя лучами φ =α и φ=
β (α <β).
1 2
S r ( )d
2

20.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной
трехлепестковой розой:
r a cos3.
Решение. Найдем сначала площадь половины одного
лепестка розы, т.е 1/6 часть всей площади фигуры:
1
16
1 2 61
2
S (a cos 3 ) d a (1 cos 6 ) d
6
20
2
02
2
a2
a2
1
a
6 sin 6 6
0
4
6
24
4 6
0
0
Следовательно: S
a 2
4

21. Вычисление длины дуги в декартовых координатах.

Теорема. Пусть кривая АВ задана уравнением y=f(x),
где f(x) - непрерывная функция, имеющая
непрерывную производную на [a;b] . Тогда дуга АВ
b
имеет длину, равную
2
l
Доказательство.
a
1 ( f ( x)) dx
Введем обозначение ∆yi = f(xi)-f(x i-1)

22.

y
2
2
li ( xi ) ( yi ) 1 i
x
i
По теореме Лагранжа имеем
где xi-1<ci<xi.
Следовательно,
2
x
i
f ( xi ) f ( x )
i 1 f (c)
xi
xi x
i 1
yi
li 1 ( f (ci )) 2 xi
Таким образом, длина вписанной ломаной равна
b
2
lim S n lim 1 ( f (c)) xi 1 ( f ( x)) 2 dx.
0 i 1
0
a
n
Sn
n
i 1
1 f (ci ) xi

23.

Пример. Найти длину дуги полукубической параболы
y2 =x3 от начала координат до точки А(4;8) .
Решение. Имеем
3
1
y x 2 , y
3 2
x
2
1
3
4
4
9
4 9 2 9 4 2 9 2 4 8
l 1 x dx 1 x d 1 x 1 x
(10 10 1)
4
9 0 4 4 9 3 4 0 27
0

24.

Длина дуги кривой, заданной параметрически
уравнениями
x x(t )
, t
y y (t )
вычисляется по формуле
l
( xt ) 2 ( yt ) 2 dt

25.

Пример. Вычислить длину астроиды x a cos3 t
y a sin 3 t
Решение. Так как кривая симметрична относительно
обеих координатных осей, то вычислим сначала длину
ее четвертой части, расположенной в первой четверти.
Находим x 3a cos2 t sin t , y 3a sin 2 t cost
t
t
Параметр t будет изменяться от 0 до π/2 .
Итак,
2
1
l 9a 2 cos 4 t sin 2 t 9a 2 sin 4 t cos 2 t dt
4
0
2
2
sin 2 t
3a sin t cos tdt 3a sin td (sin t ) 3a
2
0
0
3a
l
4 6a.
2
3a
;
2
2
0

26.

Длина дуги кривой в полярных координатах.
Пусть в полярных координатах задано уравнение
кривой r=r(φ); α≤φ≤β. Если в равенствах x=rcosφ, y=rsin φ,
связывающих полярные и декартовы координаты, параметром
считать угол , то кривую можно задать параметрически:
x r ( ) cos
Тогда
y r ( ) sin
r ( ) cos r ( ) sin ,
x
r ( ) sin r ( ) cos .
y
) 2 ( y
) 2 (r ( ) cos r ( ) sin ) 2 (r ( ) sin r ( ) sin ) 2
( x
(r ( ))2 (r ( ))2
Получаем
l
r 2 (r ) 2 d

27.

Пример. Найти длину кардиоиды r=a(1+cosφ).
Решение. Кардиоида симметрична относительно полярной
оси. Найдем половину длины кардиоиды.
1
2
2
l (a(1 cos ) (a( sin )) d a 2 2 cos d a 2 2 cos2 d
2
2
0
0
0
2a cos d 4a sin
4a
2
20
0
Таким образом , l = 8a

28.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ