Проект по математике. Конус

1.

Содержание
Цели и задачи
Актуальность
Введение
Связанные определения
Типы конусов
Развёртка конуса
История изучения геометрического тела конус
Свойства, формулы
Конусные фигуры вокруг нас
Заключение
Список использованных источников и литературы
-1-

2.

Цели и задачи
Вспомнить, что такое геометрическое тело. Узнать, что такое конус.
Узнать основные сведения об этом геометрическом теле.
Погрузиться в удивительную историю изучения конуса. От Евклида до
Архимеда.
Сформировать у учащихся представление о том, как на практике
применять свои знания для решения задач.
Коррекция пробелов учащихся в знаниях по теме «Геометрия тел.
Конус».
Формирование самостоятельного создания способов решения проблем
творческого характера; формирование навыков овладения учащимися
основных алгоритмических приемов при решении задач, используя
основные формулы; формирование умения решать задачи из ЕГЭ по
теме «Конус»
Способствовать развитию устойчивого интереса и созданию
положительной внутренней мотивации к изучению математики
Подготовка к ЕГЭ
-2-

3.

Актуальность
Многие школьники мало внимания уделяют стереометрии, но это очень
плохо. На ЕГЭ есть целый список заданий, где нужно применить свои знания
стереометрии. Данный проект поможет школьникам лучше понять
геометрию конуса и на практике применить свои знания.
-3-

4.

Введение
Стереометрия (От греч. στερεός — пространственный и σκοπέω — мерю) —
раздел элементарной геометрии, в котором изучаются фигуры в
пространстве.
Тело геометрическое — «то, что имеет длину, ширину и глубину» в
«Началах» Евклида, в учебниках элементарной геометрии ко всему
«часть пространства, ограниченная своей образуемой формой».
Тело геометрическое — любая ограниченная часть пространства вместе с ее
границей (напр., шар, призма). (книга 8, стр. 584)
Конус (от др.-греч. κώνος «сосновая шишка») — тело в евклидовом
пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной
точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда
конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и
полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки
плоской поверхности (последнюю в таком случае
называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное
основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник,
такой конус является пирамидой.
Конус — 1) Геометрическое тело, образуемое вращением прямоугольного
треугольника вокруг одного из его катетов (в математике). 2) То, что формой
напоминает такое геометрическое тело. (книга 8, стр. 208)
-4-

5.

Связанные определения
Образующая конуса — отрезок, соединяющий вершину и границу
основания.
Образующая (или боковая) поверхность конуса — объединение
образующих конуса; образующая поверхность конуса является конической
поверхностью.
Высота конуса — отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на
плоскость основания (а также длина такого отрезка).
Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными
образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
Конусность — соотношение высоты и диаметра основания конуса.
-5-

6.

Типы конусов
Конус, у которого основание — многоугольник – пирамида.
Круговой конус — это тело, состоящее из круга,
точки, которая не лежит в плоскости этого круга и
отрезков их соединяющих. Такие отрезки называют
образующими конуса. Поверхность конуса состоит из
основания и боковой поверхности.
Прямой конус – это конус, в котором прямая, которая
соединяет вершину конуса и центр основания,
перпендикулярна плоскости основания.
Прямой круговой конус – это тело, которое получено
вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.
Косой конус – конус, в котором прямая, которая соединяет вершину конуса
и центр основания, не перпендикулярна плоскости основания.
Усеченный конус – конус в котором плоскость, параллельная основанию
пересекает конус, и отсекает от него конус меньшего размера.
-6-

7.

Развёртка конуса
Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным
треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h — высота
конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного
треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет
прямоугольного треугольника r — радиус в основании конуса. Гипотенузой
прямоугольного треугольника является l — образующая конуса.
В создании развёртки конуса могут использоваться всего
две величины r и l. Радиус основания r определяет в
развертке круг основания конуса, а сектор боковой
поверхности конуса определяет образующая боковой
поверхности l, являющаяся радиусом сектора боковой
поверхности. Угол сектора φ в развёртке боковой
поверхности конуса определяется по формуле:
φ = 360°·(r/l).
-7-

8.

История изучения геометрического тела конус
Первоначальные сведения о свойствах геометрических тел люди нашли,
наблюдая окружающий мир и в результате практической деятельности. Со
временем ученые заметили, что некоторые свойства геометрических тел
можно выводить из других свойств путем рассуждения. Так возникли
теоремы и доказательства.
Появилось естественное желание по возможности сократить число тех
свойств геометрических тел, которые берутся непосредственно из опыта.
Утверждения, оставшиеся без доказательства свойств стали аксиомами.
Таким образом, аксиомы имеют опытное происхождение.
Геометрия в ранний период своего развития достигла особенно высокого
уровня в Египте. В первом тысячелетии до нашей эры геометрические
сведения от египтян перешли к грекам. За период с VII по III век до нашей
эры греческие геометры не только обогатили геометрию
многочисленными новыми теоремами, но сделали также серьезные шаги к
строгому ее обоснованию. Многовековая работа греческих геометров за
этот период была подытожено Евклидом в его знаменитом труде
«Начала».
ЕВКЛИД
(330-275гг. до н.э.)
Сведения о времени и месте его рождения до нас не дошли, однако известно,
что Евклид жил в Александрии и расцвет его деятельности приходится на
-8-

9.

время царствования в Египте Птолемея I Сотера. Известно также, что Евклид
был моложе учеников Платона (427—347 до н. э.), но старше Архимеда (ок.
287—212 до н. э.), так как, с одной стороны, был платоником и хорошо знал
философию Платона (именно поэтому он закончил «Начала» изложением т.
н. платоновых тел, т. е. пяти правильных многогранников), а с другой
стороны — его имя упоминается в первом из двух писем Архимеда к
Досифею «О шаре и цилиндре». С именем Евклида связывают становление
александрийской математики (геометрической алгебры) как науки.
В XI книге «Начал» дается следующее определение: если вращающийся
около одного из своих катетов прямоугольный треугольник слева вернется в
то же самое положение, из которого он начал двигаться, то описанная фигура
будет конусом. Неподвижный катет, вокруг которого поворачивается
треугольник, называется осью конуса, а круг, описываемый вращающимся
катетом, называется основанием конуса. Евклид рассматривает только
прямые конусы, т.е. такие, у которых ось перпендикулярна к основанию,
лишь Аполлоний различает прямые и косые конусы, у которых ось образует
с основанием угол, отличный от прямого.
В XII книге «Начал» Евклида содержится следующие теоремы.
Объем конуса равен одной трети объёма цилиндра с равным основанием и
равной высотой; доказательство этой теоремы принадлежит Евдоксу
Книдскому.
Отношение объёмов двух конусов с равными основаниями равно отношению
соответствующих высот.
Если два конуса равновелики, то площади их оснований обратно
пропорциональны соответствующим высотам и наоборот.
АПОЛЛОНИЙ
ПЕРГСКИЙ
(ок.260-ок.170гг до
н. э.),
Аполлоний Пергский древнегреческий математик и астроном, ученик
Евклида дал полное изложение теории и основанных им трудов «Конические
-9-

10.

сечения» в восьми книгах. В зависимости от взаимного расположения конуса
и секущей плоскости получают три типа: параболу, эллипс, гиперболу.
У Евклида нет понятия конической поверхности, оно было введено
Аполлонием в его “Конических сечениях”, при этом он имел в виду обе
плоскости конуса. Вот что пишет Аполлоний Пергский: ”Если от какой-либо
точки окружности круга, который не находится в одной плоскости с
некоторой точкой, проводить прямые, соединяющие эту точку с
окружностью, и при неподвижности точки перемещать прямую по
окружности, возвращая ее туда, откуда началось движение, то поверхность,
описанную прямой и составленную из 2 поверхностей, лежащих в вершине
друг против друга, из которых каждая бесконечно увеличивается, если
бесконечно продолжать описывающую прямую, я называю конической
поверхностью, неподвижную же точку - её вершиной, а осью - прямую,
проведённую через эту точку и центр круга».
Определение конической поверхности Аполлония воспроизведено в
современных школьных учебниках с существенной заменой круга на любую
линию, так называемую направляющую.
ЕВДОКС КНИДСКИЙ
(408 - З55 гг.до.н.э )
Евдокс Книдский древнегреческий математик и астроном, родился в Книде,
на юго-западе Малой Азии. О его жизни известно немного. Евдокс учился
медицине, потом математике (у пифагорейца Архита в Италии), затем
присоединился к школе Платона в Афинах. Около года провёл в Египте,
изучал астрономию в Гелиополе. Позднее Евдокс переселился в город Кизик
на Мраморном море, основал там собственную математико-астрономическую
школу, читал лекции по философии, астрономии и метеорологии.
Около 368 г. до н.э. Евдокс вместе с частью учеников вернулся в Афины.
- 10 -

11.

Умер в родном Книде, окружённый славой и почётом. Кроме математики и
астрономии, Евдокс занимался врачеванием, философией и музыкой; был
известен также как оратор и законовед. Неоднократно упоминается у
античных авторов; сочинения самого Евдокса до нас не дошли. В честь
Евдокса названы кратеры на Луне и на Марсе.
Строгое доказательство теорем, служащих для вывода формулы объема
конуса и изложенных в пяти предложениях 12 книги “Начал” Евклида, дал
Евдокс Книдский. В первом из них методом исчерпывания доказывается, что
объем конуса равен 1/3 объема цилиндра, имеющего то же основание и ту же
высоту. В следующем предложении тем же методом доказывается, что
отношение объемов конусов с равными высотами равно отношению
площадей их оснований. В третьем из упомянутых предложений
доказывается, что объемы 2 подобных конусов, т. е. таких, у которых оси и
диаметры оснований пропорциональны, относятся как кубы диаметров.
Наконец, в последних 2 предложениях устанавливается, что отношение
объемов 2 конусов, площади оснований которых равны, равно отношению
высот. По определению Евклида, конус образуется от вращения
прямоугольного треугольника, вокруг одного из катетов.
АРХИМЕД (лат. Archimedes)
(около 287 до н.э., Сиракузы,
Сицилия — 212 до н.э., там же),
Архимед древнегреческий ученый, математик и механик, основоположник
теоретической механики и гидростатики. Разработал предвосхитившие
интегральное исчисление методы нахождения площадей, поверхностей и
объемов различных фигур и тел. В основополагающих трудах по статике и
гидростатике (закон Архимеда) дал образцы применения математики в
естествознании и технике. Архимеду принадлежит множество технических
изобретений (архимедов винт, определение состава сплавов взвешиванием в
воде, системы для поднятия больших тяжестей, военные метательные
машины), завоевавших ему необычайную популярность среди
современников.
- 11 -

12.

Архимед получил образование у своего отца, астронома и математика Фидия,
родственника сиракузского тирана Гиерона II, покровительствовавшего
Архимеду. В юности провел несколько лет в культурном крупнейшем центре
того времени Александрии Египетской, где познакомился с Эратосфеном.
Затем до конца жизни жил в Сиракузах. Во время Второй Пунической войны
(218-201), когда Сиракузы были осаждены войском римского полководца
Марцелла, Архимед участвовал в обороне города, строил метательные
орудия. Военные изобретения ученого (о них рассказывал Плутарх в
жизнеописании полководца Марцелла) в течение двух лет помогали
сдерживать осаду Сиракуз римлянами. Архимеду приписывается сожжение
римского флота направленными через систему вогнутых зеркал солнечными
лучами, но это недостоверные сведения. Гений Архимеда вызывал
восхищение даже у римлян. Марцелл приказал сохранить ученому жизнь, но
при взятии Сиракуз Архимед был убит.
В трактате «О коноидах и сфероидах» Архимед рассматривает шар,
эллипсоид, параболоид и гиперболоид вращения и их сегменты и определяет
их объемы. В сочинении «О спиралях» исследует свойства кривой,
получившей его имя (см. Архимедова спираль) и касательной к ней.
До нас дошло тринадцать трактатов Архимеда. В самом знаменитом из них
— «О шаре и цилиндре» (в двух книгах) Архимед устанавливает, что
площадь поверхности шара в 4 раза больше площади наибольшего его
сечения; формулирует соотношение объемов шара и описанного около него
цилиндра как 2:3 — открытие, которым он так дорожил, что в завещании
просил поставить на своей могиле памятник с изображением цилиндра с
вписанным в него шаром и надписью расчета (памятник через полтора века
видел Цицерон). В этом же трактате сформулирована аксиома Архимеда
(называемая иногда аксиомой Евдокса), играющая важную роль в
современной математике.
В «Началах» Евклида мы находим определение только объёмов цилиндра и
конуса, площадь же боковых поверхностей была найдена Архимедом. В 14-м
предложении его произведения «О шаре и цилиндре» он доказал следующую
теорему: «Поверхность всякого равнобедренного (т.е. прямого кругового)
конуса, за вычетом основания, равна кругу, радиус которого есть средняя
пропорциональная между стороной (т.е. образующей) конуса и радиуса
круга, являющегося основанием конуса».
Площадь S боковой поверхности дается таким образом (в современных
символах) формулой S = Pi r l, где l – длина образующей, r – радиус
- 12 -

13.

основания конуса, Pi = πPi = π. «Равнобедренным» прямой круговой конус
называется потому, что он имел в осевом сечении равнобедренный
треугольник.
Свойства конусов
В прямом конусе образующие равны между собой
В прямом конусе углы наклона образующих равны
В прямом конусе углы между осью и образующими равны
В прямом конусе углы между основанием и осью равны
Прямой и косой круговые конусы с равным основанием и высотой:
они обладают одинаковым объёмом.
При вращении прямоугольного треугольника вокруг своего катета на
360° образуется прямой круговой конус.
При вращении равнобедренного треугольника вокруг своей оси на 180°
образуется прямой круговой конус.
При пересечении конуса плоскостью, параллельной основанию конуса,
образуется круг в этом месте.
Если при пересечении плоскость не параллельна основе конуса и не
пересекается с основанием, то в месте пересечения образуется эллипс.
Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение
представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого
– диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса.
Для подобных фигур на плоскости, имеющих площадь, верна теорема:
отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента
подобия. Для подобных пространственных тел, имеющих объем, верна
аналогичная теорема: отношение объемов подобных тел равно кубу
коэффициента подобия.
Формулы
Конус:
V = 1/3*πR²h
S полной поверхности = πR(R+l)
S боковой поверхности = πRl = πR√(R²+h²)
- 13 -

14.

S основания = πR²
Усечённый конус:
V = 1/3*πh(R²+r²+Rr)
S полной поверхности = πl(R+r)+πR²+πr²
S боковой поверхности = πl(R+r)
S основания = πR² и πr²
Конусные фигуры вокруг нас
Знания о конусе широко применяются в жизни - в быту, на производстве, в
науке. Например, в быту мы часто используем вёдра, имеющие форму
усечённого конуса, служащие нам ёмкостью для различных жидкостей и
сыпучих веществ. Наши растения, благоприятно развиваются в цветочных
горшках. А эти предметы чаще всего имеют форму либо прямого кругового
конуса, либо форму усечённого конуса.
Для переливания из одной ёмкости в другую мы используем воронки,
которые похожи на усечённый конус.
Многие музыкальные инструменты имеют конические элементы.
Например, карнай среднеазиатский, зурна армянская, продольная
флейта. А если мы вспомним древнего музыканта, который однажды
подул в кость, и превратил её в духовный инструмент. Назовём его
флейтой, гобоем, кларнетом, дудкой, фаготом. Это деревянные
духовные инструменты. Но есть так же группа медных духовных –
валторна, труба, тромбон, туба и их разновидности.
В жизни мы нередко встречаемся с конусами. Лампа с металлическим
абажуром отбрасывает пучок света в виде конуса. Причём если абажур
не расположен параллельно к земле, то конус не будет являться
круговым. Его основание образует вытянутая фигура, называемая
эллипсом. Если из круга вырезать сектор, а затем склеить его,
получиться конус.
Одной из самых распространённых канцелярских принадлежностей
является ручка. Она имеет конический элемент на конце. Этим
элементом является зауженный конец ручки.
Когда устанавливается громоотвод, возникает так называемый «конус
безопасности», в зоне которого гроза попадает именно в громоотвод.
Конус выноса — форма накопления вещества в виде полуконуса,
возникающая на месте резкого перелома продольного профиля реки с
- 14 -

15.

крутого на пологий, в результате чего поток теряет силу и
перемещаемые им вещества оседают.
Сталагмиты и сталактиты своей формой напоминают конус.
В биологии есть понятие «конус нарастания». Это верхушка побега и
корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.
«Конусами» называется семейство морских моллюсков подкласса
переднежаберных. Раковина коническая (2–16 см), ярко окрашенная.
Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются
хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен.
Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения,
сувениры.
Конус (остров) — остров.
Конус (остров, Карское море) — остров около Диксона.
Конусы (род) (лат. Conus) — самый многочисленный род брюхоногих
моллюсков из семейства конусов.
«Конус» — 120-мм управляемая ракета ГККБ «Луч».
- 15 -

16.

Список использованных источников и литературы
Литература
Конституция Российской Федерации
Федеральный закон "Об образовании в Российской Федерации"
Академический толковый словарь русского языка. Том 2. ВИНА –
ГЯУР. Авторы: Анна Кулева, Леонид Крысин, И. Нечаева, О.
Грунченко, А. Цумарев. 1980.
Статья И. М. Виноградов. Конус // Математическая энциклопедия. —
Советская энциклопедия (рус.). — М., 1977—1985. в Математической
энциклопедии.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и
инженеров. М.: Наука, 1973.
Селиванов Д. Ф.,. Тело геометрическое // Энциклопедический словарь
Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Энциклопедия для детей Аванта+, т. 4. Геология, изд.2, 2002г.
Ожегов С. И. Толковый словарь русского языка / Под ред. проф. Л. И.
Скворцова. — 28-е изд. перераб. — М.: Мир и образование, 2014.
Информационные ресурсы
http://www.constitution.ru/
http://uztest.net/mod/glossary/view.php?id=270
http://shkolo.ru/tsilindr-konus-shar
https://www.calc.ru/Geometricheskiye-Tela-Konus.html
https://uztest.ru/abstracts/?idabstract=523545
- 16 -

17.

https://videouroki.net/razrabotki/konusy-vokrugh-nas.html
https://multiurok.ru/files/konus-priezientatsiia-uchienikov.html
https://school175.spb.ru/news#gsc.tab=0
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_140174/
- 17 -