Связь непрерывных и дискретных алгоритмов фильтрации

1. Связь непрерывных и дискретных алгоритмов фильтрации

2. Непрерывные и дискретные фильтры

Связь непрерывных и дискретных алгоритмов
фильтрации
Непрерывные и дискретные фильтры
Непрерывный фильтр
Калмана-Бьюси
Вектор
состояния
Измерения
Оценка
Дискретный фильтр
Калмана
x(t ) F (t ) x(t ) G(t )w(t ); (1)
y(t ) H (t ) x(t ) v(t );
(2)
xˆ (t ) F (t ) xˆ (t )
K (t )( y (t ) H (t ) xˆ (t )); (3)
Коэфф. усил
Матрица
ковариаций
K (t ) P(t ) H T (t ) R 1 (t ); (4)
xi i xi 1 i wi ,
(6)
yi H i xi vi ,
(7)
xˆi / i 1 i xˆi 1
xˆi xˆi / i 1 Ki ( yi H i xˆi /i 1 ) (8)
т 1
Ki PH
i i Ri
P(t ) P(t ) F T (t ) F (t ) P(t )
Pi /i 1 i Pi 1 iт iQi iт
P(t ) H T (t ) R 1(t ) H (t ) P(t ) (5)
G(t )Q(t )G T (t ).
Pi ( Pi /i1 1
H iт Ri 1H i ) 1
(9)
(10)

3. Стохастическая эквивалентность

Связь непрерывных и дискретных алгоритмов
фильтрации
Стохастическая эквивалентность
Детерминированные системы
x(t ) F (t ) x(t ) G (t ) w(t ) (11)
x(ti ) xi
Стохастические системы
xi Фi xi 1 Г i wi (11)
x (ti ) xi ; P(ti ) Pi
x (t ) F (t ) x (t );
P(t ) F (t ) P(t ) P(t ) F T (t ) G(t )Q(t )G T (t )
xi Фi xi 1
(12)
(13)
Pi Фi Pi 1ФiT ГiQdi ГiT

4. Выражения для выполнения условий СЭ

Связь непрерывных и дискретных алгоритмов
фильтрации
Выражения для выполнения условий СЭ
Математическое ожидание
x (ti ) (ti , ti t ) x (ti t ) (14)
i (ti , ti t)
(14)
Матрица ковариаций
P(ti ) (ti , ti 1) P(ti 1) T (ti , ti 1)
ti
(15)
(ti , )G(ti 1 )Q(ti 1 )G T (ti 1 ) T (ti , )d
ti 1
Г i Qdi Г iT
ti
ti t
(ti , )G( )Q( )G T ( ) T (ti , )d
(16)

5. Решение для стационарных процессов

Связь непрерывных и дискретных алгоритмов
фильтрации
Решение для стационарных процессов
Матрица динамики
e
F ( t )
или
k
F
t
/ ! .
(17)
0
Матрица порождающих шумов
t
ГQd Г
T
( )GQG
T
T
( )d .
(18)
0
Если интервал дискретизации мал, то Φ(τ)≈ Φ*
Г Qd Г GQG
T
*
T
*
T
t .
(19)
Или даже более грубая аппроксимация Φ(τ)≈ E
Г Qd Г T GQG T t .
(20)

6. Соотношения для матрицы порождающих шумов

Связь непрерывных и дискретных алгоритмов
фильтрации
Соотношения для матрицы порождающих шумов
Поскольку
Г Qd Г T GQG T t
(21)
Можно использовать
Q
1
T
Г G t, Qd
Q , М ( wi wi ) .
t
t
(22)
С другой стороны
Г E, Qd GQG T t .
(23)
Оба выражения справедливы, т.к. удовлетворяют исходным
cоотношениям.

7. Дискретные измерения

Связь непрерывных и дискретных алгоритмов
фильтрации
Дискретные измерения
Для нахождения дискретных измерений необходимо определить
матрицы Hi и Ri.
Для этой цели предположим, что измерения осредняются на интервале
t Є [ti-1, ti-1 +∆t]
t
1 i
yi
( H (t ) x(t ) v(t ))dt ,,
t t t
(24)
i
тогда H (t) H (ti ) Hi ; Ri
1
R(ti ) .
t
(25)

8. Заключение

Связь непрерывных и дискретных алгоритмов
фильтрации
Заключение
Описаны методы описания случайных
корреляционная
функция,
спектральная
формирующий фильтр.
процессов:
плотность,
Показано,
что
фильтр
Калмана-Бьюси
является
оптимальным линейным байесовским фильтром, который
может применятся для линейных нестационарных
динамических систем.
Обсуждены условия стохастической эквивалентности и
показана связь дискретной и непрерывной задач линейной
фильтрации.