Статистична радіотехніка. Оптимальний прийом сигналів. Апостеріорна щільність ймовірності параметрів радіосигналу

1. Лекція № 24

з дисципліни “Сигнали та процеси в
радіотехніці”
Частина друга “Статистична
радіотехніка”

2.

Тема 8. ОПТИМАЛЬНИЙ ПРИЙОМ СИГНАЛІВ
8.3. Апостеріорна щільність ймовірності
параметрів радіосигналу
Обробка й аналіз прийнятого коливання можуть
здійснюватися двома методами: дискретним і
неперервним.
Під час дискретної обробки вибіркові значення
прийнятого
коливання
ξ(t)
описуються
спільними щільностями ймовірності корисного
сигналу та шуму відповідно
f ( 1, 2 ,..., m )
fn (n1, n2 ,..., nm )

3.

Нехай сигнал
s(t ) s(t , )
(8.14)
залежить від одного невідомого неперервного
параметра λ, що має апріорну щільність
ймовірності fpr(λ).
Всі відомості, які можна отримати про
параметр після приймання коливання ξ(t),
укладені в умовній щільності ймовірності,
яка є апостеріорною щільністю ймовірності
(t ) f ( / 1,..., m )
(8.15)

4.

Відповідно
до
ймовірностей
теореми
множення
f ( , 1 ,..., m ) f ( 1 ,..., m ) f ( / 1 ,..., m ) f pr ( ) f ( 1 ,..., m / )
f ps ( ) k f pr ( ) f ( 1,..., m / )
(8.16)
(8.17)
Розглянута як функція від λ, умовна щільність
ймовірності
L( ) f ( 1,..., m / )
по суті є функцією правдоподібності.
(8.18)

5.

Тоді формулу (8.17) можна записати в остаточному вигляді
f ps ( ) k f pr ( ) L( )
(8.19)
(8.20)
k f pr ( ) L( )d
Формула (8.19) являє математичний запис теореми Байєса.
1
Якщо параметр λ є дискретним і може приймати тільки
одне з декількох можливих значень λi із апріорними
ймовірностями ppr(λi), то апостеріорні ймовірності цих
значень визначаються за формулою
p ps ( i ) k p pr ( i ) L( i )
k p pr ( i ) L( i )
i 1
1
(8.21)
(8.22)

6.

Якщо сигнал залежить від безперервних параметрів
s(t ) s(t , , ,..., )
1 2
то формула (8.19) буде мати вигляд
f ps ( 1,..., ) k f pr ( 1,..., ) L( 1,..., )
(8.23)
k ... f pr ( 1,..., ) L( 1,..., )d 1...d
(8.24)
1
Розглянемо випадок, коли прийняте коливання являє
собою адитивну суміш корисного сигналу й
нормального білого шуму. Нехай здійснюються
дискретні спостереження, коли відлики беруться
через рівновіддалені моменти часу. Розіб'ємо
інтервал спостереження
рівновіддаленими
точками Δ=ti-ti-1.

7.

Позначимо осереднені за елементарний інтервал
часу значення коливання, сигналу й шуму
відповідно через
t
i
1
i
(t )dt
t
i
(8.25)
t
i
1
S i ( )
S (t , )dt
t
i
(8.26)
t
i
1
ni
n(t )dt
t
i
ni i Si ( )
(8.27)
(8.28)

8.

Випадкові величини ni є нормально розподіленими
й,
згідно
(8.27),
мають
наступні
характеристики:
m
m
N
1
2
0
2
f (n ,..., n ) f (n )... f (n ) ( )
exp{
n }
n 1
m
1 1
1 m
N i 1 i
0
M [ni ] 0
2
i
2
M [ni ]
N0
2
M [ni n j ] 0, i j

9.

При
дискретному
спостереженні
функцію
правдоподібності у формулі (8.23) потрібно
вважати рівною
N
m
m
2
0
2
L ( ) (
)
exp{
[ (t ) S (t , )] }
i
N i 1 i
0
1
(8.29)
Для сигналу, що залежить від декількох
параметрів, функція правдоподібності
L( 1 ,..., ) (
m
N0
) 2
m
2
1
exp{
[ (ti ) S (ti , 1 ,..., )] }
N0 i 1
(8.30)

10.

Щоб
перейти
до
випадку
неперервного
спостереження, потрібно у формулах (8.29) і
(9.30) перейти до межі Δ→0
F ( ) lim L ( )
(8.31)
0
Здійснюючи граничний перехід, отримаємо
t T
f [n(t )] exp{ 1
N0
t T
F ( ) exp{ 1
N0
0
0
2
n (t )dt}
t
(8.32)
0
2
[ (t ) S (t , )] dt}
t
0
(8.33)

11.

Таким чином, при неперервній обробці
f ps ( ) k f pr ( ) F ( )
(8.34)
При вирішенні основних задач оптимального
прийому оперують також з відношенням
правдоподібності.
Воно
являє
собою
відношення функцій (при дискретній обробці)
або функціоналів (при безперервній обробці)
правдоподібності при наявності й відсутності
t T
сигналу
0
l ( )
F ( )
F ( )
S (t , ) 0
S (t , ) 0
2
1
exp{
[ (t ) S (t , )] dt}
N0 t
0
t T
0
2
1
exp{
(t ) dt}
N0 t
0
(8.35)

12.

Розглянемо на прикладі процедуру формування
апостеріорної
щільності
ймовірності
параметрів радіосигналу й з'ясуємо якісний
вплив на її значення окремих факторів.
Потрібно на основі аналізу прийнятого коливання
радара
(t ) S (t ) n(t ), 0 t T
(8.36)
визначити з мінімальною похибкою величину τ.
При цьому
1 T
2 dt}
f ps ( ) k f pr ( ) exp{
[
(
t
)
S
(
t
)]
N0 0
(8.37)

13.

Враховуючи, що енергія сигналу
T
2
E S (t )dt
можна записати
(8.38)
0
f ps ( ) k f pr ( ) exp(
E
) exp[q( )]
(8.39)
N0
T
2
q( )
(t ) S (t )dt
N0 0
(8.40)

14.

Множник exp(-E/N0) можна також включити в
постійну k, тоді
f ps ( ) k f pr ( ) exp[q( )]
(8.41)
Звідси випливає, що при відомій апріорній
щільності
ймовірності
й
спектральній
інтенсивності N0 визначення апостеріорної
щільності
ймовірності
еквівалентно
знаходженню функції q(τ).

15.

Права частина формули (8.41) з точністю до постійного
множника відтворює вираз для кореляційної функції
між ξ(t) і S(t-τ). Тому функція q(τ) характеризує міру
взаємної кореляції між прийнятим коливанням ξ(t) і
корисним сигналом S(t-τ). Відповідно до цього
пристрій
для
формування
q(τ)
називається
кореляційним приймачем. Така назва зберігається при
вимірюванні будь-якого параметра сигналу, а не тільки
часового запізнювання τ. Загальний вираз для
одержання q(τ) має вигляд
T
2
q ( )
(t ) S (t , )dt
N0 0
(8.42)

16.

8.4. Кореляційний прийом випадкових сигналів
Знайдемо основні ймовірнісні характеристики на
виході кореляційного приймача. Нехай істинне
значення параметра τ в прийнятій реалізації ξ(t)
дорівнює τ0, тобто
(t ) S (t 0 ) n(t )
(8.43)
Підставивши цей вираз ξ(t) в (8.42), функцію q(τ)
можна представити у вигляді суми двох
доданків
q( ) qs ( ) qn ( )
(8.44)

17.

T
2
qs ( )
S (t ) S (t 0 )dt
N0 0
(8.45)
T
2
qn ( )
n(t ) S (t )dt
N0 0
(8.46)
Функція qs(τ), що одержана на виході кореляційного
приймача, являє собою «автокореляційну
функцію» вхідного корисного сигналу й
називається сигнальною функцією. Якщо в
прийнятому коливанні ξ(t) корисний сигнал
відсутній, то сигнальна функція дорівнює нулю.
Функція qn(τ) на виході приймача обумовлена
шумом і є «взаємокореляційною функцією» між
шумом й вхідним корисним сигналом, яка
називається шумовою функцією.

18.

Визначальне розходження між сигнальною й
шумовою функціями полягає в тому, що
перша при кожному фіксованому значенні
є детермінованою, а друга – випадковою.
Розглянемо характер сигнальної й шумової
функцій. Сигнальна функція має максимум
при τ=τ0, що дорівнює
2
E
qs max ( 0 )
Q
N0
(8.47)

19.

Формула (8.46) показує, що шумова функція
формується з нормального білого шуму в
результаті лінійного перетворення. Тому
при кожному фіксованому значенні τ вона
має нормальну щільність ймовірності з
параметрами
T
2
M [qn ( )]
M [n(t )]S (t )dt 0
N0 0
2n M [qn2 ( )]
4 TT
2E
M [n(t1)n(t2 )]S (t1 )S (t2 )dt1dt2
2
N0
N 0 00
(8.48)
(8.49)

20.

З формул (8.47) і (8.49) видно, що відношення
найбільшого значення сигнальної функції
до середнього квадратичного значення
шумової функції дорівнює
qs max ( 0 ) / n Q 2E / N 0
(8.50)
Максимальне значення сигнальної функції й
дисперсія шумової функції дорівнюють
однієї й тій же величині
2
E
Q
N0
(8.51)

21.

Величина Q, яка рівна відношенню подвоєної енергії
сигналу до спектральної інтенсивності шуму,
називається
відношенням
сигнал/шум
по
потужності на вході приймача.
Для з'ясування характеру зміни шумової функції
залежно від τ знайдемо кореляційну функцію
qn(τ). Скориставшись формулами (8.46) і (8.13),
отримаємо
TT
4
M [qn ( 1 )qn ( 2 )]
M [n(t1 )n(t2 )]S (t1 1 ) S (t2 2 )dt1dt2
2
N0 0 0
N0 T
S (t 1) S (t 2 )dt
2 0
(8.52)

22.

Порівнюючи
підінтегральні
вирази
у
формулах (8.45) і (8.52), можна зробити
висновок, що вони за характером однакові.
Отже, кореляційна функція для qn(τ) за
формою подібна сигнальної функції qs(τ) і
являє собою автокореляційну функцію
сигналу на вході.
На практиці взаємокореляційну функцію q(τ)
для декількох фіксованих значень τ можна
отримати
за
допомогою
простого
кореляційного приймача (рис.).