Вычисление производных

1.

Производная
ВЫЧИСЛЕНИЯ
ПРОИЗВОДНЫХ

2.

Производная степени и многочлена
9
(2 x 4) ' 2
(7 9 x) '
(6 x 3) '
6
(5 4 x) ' 4
(3 x 7) '
3
(6 3x) '
(5 x 8) ' 5
(7 x 9) '
3
7

3.

(x ) '
3
(x ) '
5
(x ) '
6
3x
( x ) ' 8x
8
4
5x
6x
2
5
7
11
( x ) ' 12x
12
( x ) ' 15x
22
23
23x
(x ) '
15
14
3
(x ) '
5
(x ) '
3x
4
5x 6
7
( x ) ' 6x
9
8
( x ) ' 8x
6
) ' 12x
15
) ' 15x
(x
(x
13
12
(x
23
) ' 23x
16
24

4.

1
2 3
x x
3
3
4
4 7
7
x x
7
2
3
x
85
x
7
3
7
x
3
5
x
8
4
3
3
8
5
2 3
x x
3
2
3
12
5 7
x x
7
5
7
7
4 3
x x
3
4
3

5.

Производная степени и многочлена
( 2 x 4) ' 2 x 4
2
1
2x 4 3 2
3
2
2
2x 4 3
3
3
1
3

6.

Производная степени и многочлена
(2 x ) '
5
7
2 5 x 10 x
4
(3x ) '
3 ( 7) x
(5 x ) '
8
9
2
45x
(4 x ) ' 8x
3
8
4
(7 x ) ' 28x
4
3
8
(6 x ) ' 48x
4
9
(10 x ) ' 40x
(8 x ) ' 24x 2
3
5

7.

Производная степени и многочлена
3
2
( x 3x 4) ' 3 x 3
( x5 6 x 2 7) ' 5 x 4 12 x 3
( x 9 x 7 x 2 x 6) ' 6 x5 27 x 2 14 x 2
8
5
3
3
( x 2 x 3x 9 5x ) ' 8 x 7 10 x 4 9 x 2 15 x 4
6
3
2
( x12 3x6 4 x 2 8x 2 ) ' 12 x11 18 x5 8 x 16 x 3
8
7
15 x 21x 4
( x 23 5) ' 23x 22
( x8 4 x5 ) ' 8 x 7 20 x 4
( x 3x 4 x 9) '
15
14

8.

Производная степени и многочлена
Вычислить значение производной в точке
х=5,
Другими словами требуется найти f ′(5).
f ( x) x 2 x 4
2
f ( x) ( x 2 x 4) ' 2x 2
2
f (5) 2 5 2 12

9.

Производная тригонометрических
функций
1
1
1
(sin x) ' cos x
(sin x) ' cos x
2
2
2
(sin 2 x) ' 2cos 2x
(sin 5 x) ' 5cos5x
(sin 7 x) ' 7cos 7x
1
(sin x) '
3
2
(sin x) '
3
3
(sin x) '
5
1
1
cos x
3
3
2
2
cos x
3
3
3
3
cos x
5
5

10.

Производная тригонометрических
функций
1
1
1
(cos x) ' sin x
2
2
2
1
1
(cos 2 x) ' 2sin 2x
1
(cos x) ' sin x
3
3
3
(cos 5 x) ' 5sin 5x
2
2
2
(cos x) ' sin x
3
3
3
(cos 7 x) ' 7 sin 7x
3
3
3
(cos x) ' sin x
5
5
5
(cos x) ' sin x

11.

Производная тригонометрических
1 функций
(ctgx) '
(ctg 2 x) '
2
sin x
2
2
sin 2x
5
(ctg 5 x) '
2
sin 5x
7
(ctg 7 x) '
2
sin 7x
6
(ctg 6 x) '
2
sin 6x
1
2
1
(ctg x) '
2 1
2
sin x
2
1
3
1
(ctg x) '
2 1
3
sin x
3
(ctg 4 x) '
4
2
sin 4x

12.

Производная тригонометрических
функций
(3sin 5 x) ' 3 5cos5x
(5cos 2 x) ' 5 2sin 2x
7 4
(7tg 4 x ) '
2
cos 4x
9 3
(9ctg 3x) ' 2
sin 3x
( 6 cos 7 x) ' 6 7sin 7x
2 6
(2tg 6 x) '
2
cos 6x

13.

Производная тригонометрических
функций
(3sin x) ' 3cos x
(5cos x) ' 5sin x
( 6 cos x) ' 6sin x
7
(7tgx) '
2
cos x
9
(9ctgx ) ' 2
sin x
2
(2tgx) '
2
cos x

14.

Производная тригонометрических функций
Вычислить значение производной в точке
х=π,
Другими словами требуется найти f ′(π).
f ( x) sin 2 x
f ( x) (sin 2 x) ' 2cos 2x
f ( ) 2 cos 2 2

15.

Производная сложной функции
((2 x 4) )' 5 (2 x 4) (2 x 4)'
4
5
5 (2 x 4) 2 10 (2 x 4)
4
4
((5 x 8) )' 7 (5x 8) (5x 8)'
7
6
7 (5 x 8) 5 35 (5x 8)
6
6

16.

Производная сложной функции
((7 x 9) )' 8 (7 x 9) (7 x 9)'
8
7
8 (7 x 9) 7 56 (7 x 9)
7
7
((3x 7) )' 9 (3x 7) (3x 7)'
9
8
9 (3x 7) 3 27 (3x 7)
8
8

17.

Производная сложной функции
((5 4 x) )' 3 (5 4 x)2 (5 4 x) '
2
2
3 (5 4 x) ( 4) 12 (5 4 x)
3
((7 9 x) ) ' 11 (7 9 x) (7 9 x) '
10
11
11 (7 9 x) ( 9) 99 (7 9 x)
10
10
((6 3x) ) ' 8 (6 3x) (6 3x) '
8
7
8 (6 3x) ( 3) 24 (6 3x)
7
7

18.

Производная сложной функции
3
4
((5 7 x) )' 3 (5 7 x) (5 7 x) '
4
3 (5 7 x) ( 7) 21 (5 7 x)
11
((7 x 9) ) ' 11 (7 x 9)
11 (7 x 9)
12
8
12
4
(7 x 9) '
7 77 (7 x 9)
12
9
((6 x 3) ) ' 8 (6 x 3) (6 x 3) '
9
8 (6 x 3) 6 48 (6 x 3)
9

19.

Производная сложной функции
2
( 2 x 4) '
2 2x 4
( 6 x 3) ' 6 x 3
3
1
6 x 3
3
2
3
1
3
1
2x 4
6 2 6 x 3
2
3

20.

Производная сложной функции
( 5 x 8) ' 5 x 8
6
6
1
5
5x 8 7 5 5 x 8 7
7
7
1
4
( 3 x 7) ' 3 x 7 4
3
3
1
3
3x 7 4 3 3x 7 4
4
4
7
1
7

21.

Производная сложной функции
Вычислить значение производной в точке
х=0,
Другими словами требуется найти f ′(0).
((2 x 4) )' 5 (2 x 4) (2 x 4)'
4
5
5 (2 x 4) 2 10 (2 x 4)
4
4
f (0) 10 (2 0 4)
4
10 ( 4) 10 256 2560
4

22.

Правила дифференцирования
(4 x 7) (5 x 8)
(4 x 7) (5 x 8) (4 x 7) (5 x 8)
4 (5 x 8) (4 x 7) 5

23.

(4 7 x) (5 8 x)
(4 7 x) (5 8 x) (4 7 x) (5 8 x)
7 (5 8 x) (4 7 x) ( 8)

24.

Правила дифференцирования
Вычислить значение производной в точке
х=1,
Другими словами требуется найти f ′(1).
(4
x
7)
(5
x
8)
4 (5 x 8) (4 x 7) 5
f (1) 4(5 1 8) 5(4 1 7)
4( 3) 5 11 43

25.

Производная показательной функции
x
(e ) ' e
3x
3x
(e ) ' 3e
x
8 x 5
(e ) ' 8e
2 x 7
2 x 7
(3e ) ' 3 2e
8 x 5
8 5 x
8 5 x
(5e ) ' 5 2e
(e ) ' 5e
5x
5x
4 x 5
4 x 5
(7e 9) ' 7 5e
(e ) ' 4e
4 x 1
4 x 1
2 9 x
2 9 x
(3e ) ' 3 4e
(e ) ' 9 e
2x
2x
(e
5 4 x
3 x 4
(e
) ' 4e
) ' 3e
5 4 x
3 x 4
3 6 x
) ' 6e
3 2 x
) ' 2e
(e
(e
3 6 x
3 2 x

26.

Производная показательной функции
(4 ) ' 4 ln 4
(5x ) ' 5 x ln 5
3x
3x
(4 ) ' 3 4 ln 4
x
x
(52 x ) ' 2 52 x ln 5
x
(6 ) ' 6 ln 6
(2 ) ' 2 ln 2
(2 ) ' 2
(3
x 1
2 x 5
(3
(7
5 4 x
x 1
x 2
ln 2
) ' 4 7
5 4 x
ln 7
)' 3
2 3 x
3
4
5
ln 5
)'
ln 3
) ' 5 65 x 2 ln 6
3 6 x
) ' 6 9
(9
5 3 x
(6 4
x 2
5 x 2
(6
2 x 5
2
3
ln 3
)'
2 3 x
(4 5
x
x
x
3 6 x
) ' 3 6 4
ln 9
5 3 x
ln 4

27.

Производная логарифмической функции
1
(ln( x 5)) '
x 5
1
(ln( x 7)) '
x 7
1
1
(lg x 5) '
(3 lg x) '
x ln10
x ln10
7
4
(ln(7 x 3)) '
(ln(4 x 9)) '
7x 3
4x 9
1
1
(log8 x) '
(log 4 x) '
x ln 8
x ln 4

28.

Производная логарифмической функции
2
7
(2 ln( x 1)) '
(7 ln( x 2)) '
x 1
x 2
1
1
(lg x 1) '
(6 lg x) '
x ln10
x ln10
4
5
(ln(5 x 3) '
(ln(4 x 5) '
4x 5
5x 3
2
1
(log5 (2 x 7)) '
(log3 ( x 2)) '
(2 x 7) ln 5
( x 2) ln 3

29.

Производная логарифмической функции
5
8
(ln(1 5 x)) '
(2 ln(4 x 3)) '
1 5x
4x 3
2
1
(lg 2 x) '
(1 lg x) '
2 x ln10
x ln10
9
4
(ln(4 9 x) '
(ln(4 x 2) '
4 9x
4x 2
1
1
(log 4 x) '
(log 7 x) '
x ln 4
x ln 7

30.

Производная показательной функции
Вычислить значение производной в точке
х=4
Другими словами требуется найти f ′(4).
f ( x) 3 5
2 x 7
f ( x) (3 5
2 x 7
f ( x) 3 2 5
2 4 7
) ' 3 2 5
2 x 7
ln 5
ln 5 3 2 5 ln5 48, 28