Теория пластин

1. Теория пластин

Приближенные методы решения задачи об
изгибе пластины:
Метод Бубнова-Галеркина
Метод Власова
Метод Ритца-Тимошенко

2. Метод Бубнова-Галеркина

Метод Б.Г.Галеркина (прямой метод решения краевых задач) в 1913 году
был применен И.Г.Бубновым к задаче об изгибе пластины. Рассмотрим
уравнение прогибов пластины
4w
4w
4w
11 4 2 2 2 22 4 q x, y
x
x y
y
(1)
Приближенное решение будем искать в виде
n
w i f i x, y
(2)
i 1
где α, - неизвестные постоянные множители, подлежащие определению,
fi(x,y) - базисные функции, удовлетворяющие краевым условиям.
Подставим аппроксимацию (2) в уравнение (1)
4 fi
4 fi
4w
i 11 4 2 2 2 22 4 q x, y x, y
x
x y
y
i 1
n
где δ(х,у) - функция невязки.
(3)

3. Метод Бубнова-Галеркина

Для того, чтобы функция δ(х,у)=0,
необходимо выполнение условия
x, y x, y ds 0
(4)
S
где φ - произвольная функция,
S - площадь пластины.
Приближенно удовлетворим последнее условие, рассматривая в качестве
произвольных функций базисные функции
x, y f i x, y ds 0
(5)
S
в результате получим систему линейных относительно искомых
коэффициентов αi уравнений
C { } {F , n}
где [C] – матрица n*n,
{α - п-мерный вектор неизвестных,
{F - п-мерный вектор свободных членов;
(6)

4. Метод Бубнова-Галеркина

F j q x, y f j ds
S
4 fi
4 fi
4 fi
Cij 11 4 2 2 2 22
x
x y
y 4
S
Разрешая систему (6) относительно
αi , определим
приближенное решение данной задачи
f j ds
(7)
их значения и получим

5. Метод Власова

Решение уравнения изгиба (1) будем искать в виде
n
w x, y Wi y i ( x)
(8)
i 1
где Wj- функция обобщенных прогибов,
χi - функция поперечного распределения прогибов.
Пусть χi - некоторые заданные и удовлетворяющие части граничных условий
функции, Wi - функции, подлежащие определению. Подставим (8) в (1)
11Wi iIV 2 Wi // i// 22Wi IV i q x, y x
(9)
и минимизируем функцию невязки:
a
i
0
Wi iIV 2 Wi // i// 22Wi IV i q x, y j dx 0
11
A W IV B W // C W {F
(10)

6. Метод Власова

где
a
Aij 22 i j dx
0
a
Bij 2 i// j dx
0
a
(11)
Cij 11 iIV j dx
0
Необходимо решить систему п обыкновенных дифференциальных уравнений
четвертого порядка, что достаточно непросто. Можно потребовать от функций
χi ортогональности, чтобы
(12)
Aij Bij C ij 0

7. Метод Ритца-Тимошенко

Для построения вариационной постановки краевой задачи об изгибе
пластины воспользуемся принципом минимума потенциальной энергии,
согласно которому из всех возможных перемещений точек упругого тела,
удовлетворяющих условиям устойчивого равновесия, сообщают
потенциальной энергии минимальное значение
E=U-A → min
где E – потенциальная энергия,
U – энергия упругого деформирования,
A – работа внешних сил;
для пластины толщиной h по технической теории изгиба пластин
1
1
U ij ij dV ( x x y y xy xy )dV
2V
2V
1 2
2w
2w 2w
2w
2w 2w
2w 2
z C11 2 C12 2 2 C 22 2 C12 2 2 4C 66 (
) dxdydz
2 V
x
y
x
y x
y
x
y
2
2
2
2w
2w
1 2w
2w 2w
dS
11 2 2 12 2
22 2 4 66
2
2 S x
x y
y
x y
(13)
(14)

8. Метод Ритца-Тимошенко

A q( x, y ) w( x, y )dS
(15)
S
Таким образом, необходимо исследовать на экстремум (минимум) функционал
(16)
E ( w( x, y )) min
Приближенное решение задачи о прогибе w ищем в виде
n
w i f i ( x, y )
(17)
i 1
где αi - неизвестные коэффициенты,
fi - базисные функции.
После подстановки получаем функцию E(ai). Систему из п разрешающих
соотношений получаем из условия
E
0
i
(18)

9. Метод Ритца-Тимошенко

Функционал Е является квадратичным, после взятия частных производных
получим систему линейных алгебраических уравнений относительно αi :
Где
2
2 f j 2 f j
2 f j 2 f j
2 f j 2 f j
2 fi f j
Cij 11 2
2 12
22
4 66
dS
2
2
2
2
2
x
y
x
y
x
x
x
y
y
y
S
(19)