Аналитическая геометрия. Вектор. Операции над векторами

1. Аналитическая геометрия

Курс лекций
Составил доцент кафедры ВМ
к.п.н. Гринева Т.В.

2. Содержание дисциплины:

Лекции 6 ч (3)
Практические занятия 6 ч (3)
Контроль успеваемости:
Контрольная работа
Зачет

3. Литература

Математика. Часть 1: учебное пособие для
студентов-заочников Зайцев В.П. (ВМ) 2015 Учебное
пособие, 10.48 МБ
Дата первичного размещения: 08.06.2015.
Обновлено: 11.04.2016.
Прямая ссылка:
http://elib.altstu.ru/eum/download/vm/Zaitsev_maths_zfo
_1.pdf
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей
математике: полный курс / Д.Т. Письменный. – М.:
Айрис-пресс, 2009. – 608 с.

4. Полезные сайты

ILIAS Платформа заочного и
дополнительного обучения АлтГТУ
http://elearn.altstu.ru/ilias/login.php?target=crs_
239&cmd=force_login&lang=ru
дополнительно:
http://www.mathprofi.ru
http://mathportal.net/

5. Векторная алгебра § 1. Вектор. Операции над векторами

1. Общие понятия.
Опр.: Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок прямой
с указанием точек начала А и конца В.
В
a
Обозначается AB или a .
Характеризуется:
– длиной или модулем вектора (обозначается AB , a ),
– направлением.
А

6.

Опр.: Если длина вектора равна единице, то он называется единичным или
ортом.
Опр.:Если у вектора начало и конец совпадают, то его длина равна нулю и
его называют нулевым. Направление нулевого вектора не определено.
Опр.: Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной или
параллельных прямых (обозначается a b ).
На рисунке векторы a , b и c коллинеарные, при этом векторы a и b
одинаково направлены ( a b ) , а векторы a и c , b и c противоположно
направлены ( a c , b c ).
В математике обычно рассматривают свободные векторы, это означает,
что положение их начала не важно.

7.

Опр.:Векторы a и b называются равными, если они имеют одинаковую
длину, коллинеарны и одинаково направлены.
Кратко:
a b a b a b .
Таким образом, вектор b равен вектору a , если он может быть получен
из него при помощи параллельного переноса.
Опр.: Векторы, лежащие в одной плоскости ( или в параллельных
плоскостях), называются компланарными.
Очевидно, что любые два вектора компланарные, а три вектора не всегда
можно “уложить” в одну плоскость.

8.

Рассмотрим параллелепипед ABCDA1B1C1D1 .
Можно отметить, например, что
AA1 BB1 CC1 DD1 ,
AB, AD, DC , D1C1 – компланарные, но
AA1 , AB, AD – некомпланарные.

9.

2. Линейные операции над векторами.
Опр.: Суммой a b двух векторов a и b называется новый вектор,
который идет из начала вектора a в конец вектора b , при условии, что
вектор b приложен к вектору a (правило треугольника).
а3
а2
а
b
a b
а1
а
a b
а5
а4
b
а1 а2 а3 а4 а5
Можно два вектора складывать и по правилу параллелограмма. Для этого
векторы переносят так, чтобы начала их были в одной точке O. Затем строят
параллелограмм со сторонами, равными a и b . Вектор a b будет вектором
диагонали с началом в этой точке O и концом в точке С . Очевидно, что оба
правила дают одинаковый результат.

10.

Опр.: Cуммой этих векторов будет вектор S , соединяющий начало первого
вектора a1 с концом последнего вектора an при условии, что начало каждого
совмещено с концом предыдущего (правило многоугольника).
Опр.: Разностью a b двух векторов a и b называется новый вектор,
который идет из конца вектора b в конец вектора a , при условии, что
векторы a и b отложены от одной точки.
а
a b
b

11.

Опр.: Произведением вектора a на число (или числа на вектор a )
называется новый вектор b , который коллинеарен вектору a , имеет длину
a , одинаково направлен с вектором a , если и противоположно
направлен , если .
Кратко:
a b 1) b a ;
2) b a при
3) b a при
Опр.: Вектор ( 1 )a a называют противоположным вектором вектору a .

12.

Замечания.
1. Если 0 или a = 0, то произведение a считается равным нулевому
вектору.
2. Вычитание вектора b из вектора a (разность векторов a и b )
заменяют сложением вектора a с вектором, противоположным вектору b , т.е.
a b a ( b ) .
Свойства линейных операций над векторами:
1) a b b a – перестановочное свойство;
2) ( a b ) a b – распределительное свойство;
3) a ( b c ) ( a b ) c – сочетательное свойство;
4) ( a ) ( )a ;
5) ( )a a a .
Эти свойства позволяют выполнять действия с векторными выражениями
так же, как и с алгебраическими.

13. § 2. Прямоугольная декартова система координат. Координаты точки. Координаты вектора.

Рассмотрим ортонормированный базис i , j , k
плоскости). В этом случае считается, что
1) i j k 1 ;
в пространстве ( i , j
на
2) i j , i k , j k ;
3) тройка векторов i , j , k – правая тройка, т.е. вращение от первого
вектора i ко второму j на наименьший угол (в данном случае на 90 ) происходит
против часовой стрелки, если смотреть с конца третьего вектора k .
Опр.: Прямоугольной системой координат в пространстве называется
совокупность точки О и ортонормированного базиса i , j , k .
Точка О носит название начала координат.
Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных
векторов i , j , k называются координатными осями (соответственно ОХ – ось
абсцисс, OY – ось ординат, OZ – ось аппликат).
Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными
плоскостями (плоскости OXY, OXZ, OYZ).

14.

Рассмотрим произвольную точку М.
Опр.: Вектор OM будем называть радиус–вектором точки
отношению к точке О.
М
по
Прямоугольными декартовыми координатами точки М называются
координаты ее радиус–вектора OM , т.е., если OM xM i yM j z M k , то
числа xM , yM , z M являются координатами точки М и это обозначается так:
М( xM , yM , z M ).
Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости и на
прямой. Разумеется, точка на плоскости имеет только две координаты (абсциссу и
ординату), а точка на прямой – одну.
Пример 4. Построить в прямоугольной декартовой системе координат точку
М(1, 2, 3).
Для построения точки М в пространстве достаточно провести три
плоскости, перпендикулярные координатным осям, и пересекающие оси
соответственно при x = 1, y = 2, z = 3. Точка М будет точкой пересечения этих
плоскостей.

15. § 3. Линейные операции над векторами в координатах

Рассмотрим два вектора a a x ,a y ,az и b bx ,b y ,bz
1. Если два вектора равны, то равны их соответствующие координаты.
a x bx ,
a b a y by ,
a z bz .
2. При
координаты.
сложении
векторов
складываются
их
соответствующие
a b a x bx ,a y b y ,az bz . .
3. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на
это число.
a a x , a y az . .

16.

Пример.
Заданы
векторы
a i j 2k , b 0, 2, 1 , c j k .
координаты вектора d 2a b 3c .
Координаты векторов 2a 2, 2, 4 , b 0, 2, 1 , 3c 0, 3, 3 .
Тогда d 2 0 0, 2 2 3, 4 1 3 2, 1, 0 2i j .
Найти

17. § 4. Простейшие задачи в координатах.

Задача 1. Вычисление длины вектора.
Вектор OM – радиус–вектор точки М по отношению к точке О. При этом
OM xM , yM , z M и М( xM , yM , z M ).
OM OM длине диагонали прямоугольного параллелепипеда, три измерения
OM OM
Тогда
xM , yM , z M .
которого
xM
2
yM
2
zM
2
xM 2 yM 2 zM 2
Тогда для произвольного вектора a a x ,a y ,az длина вычисляется по формуле
a a x 2 a y 2 az 2
.

18.

Задача 2. Критерий коллинеарности двух векторов.
a x a y az
a || b
bx b y bz
Условие следует из теоремы:
Теорема (необходимое и достаточное условие коллинеарности двух
векторов).
Два ненулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда
существует такое число 0 , что b a.
Кратко:
a || b 0 : b a .
Пример. Проверить, коллинеарные ли векторы a i 2 j 8k и b 2i 4 j 16k .
ax
1 ay
2
1 a
8
1
1
Имеем
,
, z
a b a b .
bx
2 b y 4
2 bz 16
2
2

19.

Задача 3. Нахождение координат вектора
точек А(xA, yA, zA) и B(xB, yB, zB).
AB по заданным координатам
Так как координаты точек и координаты их радиус-векторов совпадают, то
OA x A , y A , z A , OB xB , yB , zB . Ясно, что AB OB OA . Тогда
AB = (xB – xA, yB – yA, zB – zA)

20.

Задача 4. Нахождение координат xM, yM, zM точки М, которая делит
отрезок АВ в отношении
Пусть А(xA, yA, zA) и B(xB, yB, zB). Пусть известно, в каком отношении
АМ
точка М дели отрезок АВ, т.е.:
, где – заданное число..
МB
AB AM MB . Так как AM MB и | AM | | MB | , то AM MB .
Имеем AM OM OA, MB OB OM , поэтому OM OA ( OB OM ) ,
т.е. ( 1 )OM OA OB или OM
OA OB
.
1

21.

Полученное векторное равенство OM
OA OB
равносильно трем
1
скалярным равенствам:
x xB
y yB
z zB
xM A
, yM A
, zM A
.
1
1
1
Эти формулы называют
отношении.
Замечание.
координаты
формулами деления отрезка
При = 1 точка
xM
в заданном
М – точка середины отрезка АВ и ее
x A xB
y yB
z z
, yM A
, zM A B .
2
2
2

22.

Пример. Даны вершины треугольника А(5, 6, –2), В(–3, 2, 8), С(1, 4, –10).
Найти координаты точки М – точки пересечения медиан этого треугольника.
Известно, что точка М делит медиану BD в отношении 2 : 1, считая от
BM
2
вершины В треугольника, т.е.
2 2 . Точка D – серединная точка
MD
1
на отрезке АС, поэтому
x xC y A yC z A zC
5 1 6 4 2 10
D A
,
,
D
2 , 2 ,
D( 3, 5, 6 ).
2
2
2
2
По формулам имеем:
x xD
y yD
3 2 3
2 2 5
xM B
1 , yM B
4,
1
1 2
2
1 2
z zD
8 2 ( 6 )
zM B
4 .
3
2
1 2
Таким образом, М (1, 4, – 4 ).
3

23. § 5. Скалярное произведение векторов

1. Опр.: Скалярным произведением двух векторов a и b называется число
(скаляр), равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между
ними.
Обозначают скалярное произведение так: a b .
a b a b cos , где ( a , b ).
2. Свойства скалярного произведения
1°. a b b a
.
(переместительное свойство)
2°. a ( b c ) a b a c (распределительное свойство)
3°. a b a b a b . (числовой множитель можно выносить)

24.

3. Скалярного произведения векторов, заданных координатами
a b a x bx a y b y a z bz .
Пример 8. Вычислить скалярное произведение векторов AB и a , если
А(1, 2, –1), В(0, 3, 2), a j k .
AB = (0 – 1, 3 – 2, 2 – (–1)) = (–1, 1, 3), a = (0, 1, –1).
По формуле вычисляем AB a = (–1) 0 + 1 1 + 3 (–1) = –2.

25.

4. Применение скалярного произведения
1. Нахождение угла между векторами
Из формулы (4.4) можно получить
cos cos ( a , b )
a b
a b
.
Зная косинус угла, можно получить сам угол.
Заметим, что если a b 0 , то ( a , b ) острый угол,
если a b 0 , то ( a , b ) тупой.

26.

Пример. Найти внутренний угол В в треугольнике, вершины которого
заданы координатами А(–1, –2, 4), В(–4, –2, 0), С(3, –2, –1).
Рассмотрим векторы BA 1 ( 4 ), 2 ( 2 ), 4 0 3, 0, 4
BC 3 ( 4 ), 2 ( 2 ), 1 0 7 , 0, 1 .
cos B cos ( BA, BC )
BA BC
| BC | | BC |
Отсюда следует, что B 45 .
Тогда
3 7 0 0 4 1
3 0 4 7 0 1
2
2
2
2
2
2
1
2
.
и

27.

Замечание: Иногда в решении задачи полезно знать косинусы углов,
которые составляет вектор a a x ,a y ,az с координатными осями.
cos cos ( OX ,a ) cos ( i ,a )
a i
a i
a x 1 a y 0 az 0
a 1
ax
.
a
Здесь учтено, что i 1, 0 , 0 и i 1.
Аналогично для других углов. Таким образом:
ay
a
ax
cos
, cos
, cos z .
|a |
a
a
Косинусы этих углов называют направляющими косинусами вектора a .
Заметим, что cos 2 cos 2 cos 2 1. Это равенство доказывается
непосредственно подстановкой выражений для cos , cos , cos .

28.

2. Критерий перпендикулярности двух векторов a и b :
a b a b 0.
Пример. Определить, при каком параметре векторы a 2, 4, и
b , 3, 1 перпендикулярны.
Найдем a b 2 4 3 1 3 12 и приравняем его нулю:
3 12 0 4.

29. §6. Векторное произведение

1. Опр.: Векторным произведением двух векторов a и b называется
вектор c , такой что:
1) c a b sin ( a ,b ) ;
2) c a и c b ;
3) тройка векторов a , b , c – правая тройка векторов, т.е. вращение
вектора a к вектору b на меньший угол происходит против часовой стрелки, если
смотреть с конца вектора c .
Обозначают векторное произведение так: a b .
2. Основные свойства векторного произведения
1°. a a 0
a b b a
2°.
(!!!
векторное
переместительным свойством),
произведение
не
обладает
3°. a ( b ) ( a ) b ( a b ) (числовой множитель можно выносить),
.
4°. a ( b c ) a b a c (распределительным свойство)..

30.

3 Вычисление векторного произведения векторов, заданных координатами
Формула вычисления векторного произведения в координатах:
i
j
k
a b ax
ay
az .
bx
by
bz
Пример. Вычислить векторное произведение векторов
a 1, 2, 0 и b i j k .
i
j
k
1 2
1 0
2 0
2i j 3k .
k
j
a b 1 2 0 i
1 1
1 1
1 1
1 1 1

31.

4. Применение векторного произведения
1. Вычисление
треугольника
площади
параллелограмма
и
Известно, что площадь параллелограмма S=absin .
Если сравнить эту формулу с первым пунктом определения
векторного произведения
a b a b sin ( a ,b ) , то можно сделать вывод, что
модуль
векторного
произведения
даёт
площадь
Sпар. параллелограмма,
построенного на векторах a и b как на сторонaх :
Sпар. a b
.
В этом заключается геометрический смысл векторного произведения.
Очевидно, что площадь треугольника, построенного на векторах a и b ,
равна
Sтр.
1
a b .
2

32.

Пример . Найти площадь ABC , если А(1, –1, 2), В(0, 1, 1), С(–1, 3, 1).
Можно считать, что ABC построен на векторах AB и AC . Найдем
координаты этих векторов:
AB = (0–1, 1–(–1), 1–2)=(–1, 2, –1), AC = (–1–1, 3–(–1), 1–2)=(–2, 4, –1). Тогда:
i j k
1
1
1
S ABC AB AC | 1 2 1 | i 2 j ( 1 ) k 0
2
2
2
2 4 1
1
2, 1, 0
2
2 2 12
5
.
2
2

33.

2. Нахождение вектора, который одновременно перпендикулярен
двум заданным векторам a и b
В качестве такого вектора n можно взять вектор a b (согласно второму
пункту определения векторного произведения).
Пример. Найти вектор, который был бы перпендикулярный плоскости
треугольника АВС, если А(1, 0, 1), В(1, 1, 0), С(0, 1, 1).
Рассмотрим векторы
AB = (1–1, 1–0, 0–1)=(0, 1, –1) и AC = (0–1, 1–0, 1–1)=(–1, 1, 0).
Вектор n , перпендикулярный плоскости ABC , можно определить как вектор,
одновременно перпендикулярный векторам AB и AC , т.е.
i j k
n AB AC 0 1 1 i 1 j ( 1 ) k 1 1, 1, 1 .
1 1 0

34. §7. Смешанное произведение векторов

1. Опр.: Смешанным произведением трех векторов a , b , c называется число,
равное
( a b ) c .
Таким образом, смешанное произведение является результатом двух
операций: первые два вектора умножаются векторно, а затем полученный
вектор уже скалярно умножается на третий вектор.
2. Свойства смешанного произведения
1°. Знак смешанного произведения определяет ориентацию тройки
векторов.
если ( a b ) c 0 , то a , b , c – правая тройка;
если ( a b ) c 0 , то a , b , c – левая тройка.
2°. ( a b ) c a ( b c ) ( b c ) a .
3°. ( a , b , c ) ( b , c , a ) ( c , a , b ) ( b , a , c ) ( a , c , b ) ( c ,b , a ) .

35.

3. Вычисление смешанного произведения векторов, заданных координатами
Формула вычисления смешанного произведения в координатах:
a x a y az
( a , b , c ) bx b y bz .
c x c y cz

36.

4. Применение смешанного произведения
1. Вычисление объемов параллелепипедов, треугольных призм и
пирамид
Модуль смешанного произведения равен объему Vпар. параллелепипеда,
построенного на векторах a , b , c .
Vпар. ( a , b , c ) .
Действительно,
a b c a b c cos =S
Рассмотренное
произведения.
свойство
пар.
h=Vпар., так как | a b | S пар.,
выражает
геометрический
| c | | cos | h .
смысл
смешанного

37.

1
1
Очевидно, объем треугольной призмы Vпр. Vпар. | ( a , b , c ) | ,
2
2
1
1
1
объем треугольной пирамиды Vпир. Vпр. Vпар. | ( a , b , c ) | .
3
6
6
2. Критерий компланарности трех векторов
a , b , c – компланарные ( a , b , c ) 0 .

38.

Пример. Проверить, лежат ли в одной плоскости четыре точки A(1, 0, 1),
B(1, 1, 0), C(0, 1, 1), D(1, 1, 1)? Если нет, найти объем треугольной пирамиды,
вершинами которой они являются.
Рассмотрим векторы AB 0, 1, 1 , AC 1, 1, 0 , AD 0, 1, 0 .
0 1 1
Вычислим
( AB, AC , AD ) 1 1 0 1.
Так
как
( AB, AC , AD ) 0 ,
то
0 1 0
рассмотренные векторы некомпланарные, поэтому и точки A, B, C, D не лежат в
одной плоскости.
Заметим, что мы попутно вычислили объем параллелепипеда, четыре
вершины которого определяются данными точками.
Для
нахождения
объема
пирамиды
воспользуемся
формулой
1
1
Vпир. Vпар.
6
6