Векторы и действия над ними

1. ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

1.
2.
3.
4.
5.
Основные понятия.
Линейные операции над векторами.
Векторное пространство.
Разложение вектора по базису.
Нелинейные операции над векторами.

2. Основные понятия

вектор;
длина вектора;
свободные векторы;
равные векторы;
нулевой вектор;
коллинеарные векторы;
компланарные векторы;
n – мерный вектор и его координаты;
векторное пространство;
линейная комбинация векторов;
линейно-зависимая и линейно-независимая
система векторов;
базис векторного пространства;
проекция вектора на ось;
проекция точки на ось;
координаты вектора в ДСК;
направляющие косинусы вектора

3.

4.

5. Равные векторы

6. Нулевой вектор

7. Взаимное расположение векторов

8. Взаимное расположение векторов

9.

10. Линейные операции над векторами

№
Геометрический образ
1.
СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
а) правило треугольника:
в
а
а
+ в
б) правило
параллелограмма:
а
а
в
+ в
Координатная форма записи
а + в = (х1 + х2; y1 + y2 ; z1 + z2)

11.

№
Геометрический образ
2.
ВЫЧИТАНИЕ
ВЕКТОРОВ
а
а
в
Координатная форма записи
а в = (х1 х2; y1 y2 ; z1 z2)
в
3.
УМНОЖЕНИЕ
ВЕКТОРА НА
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ
ЧИСЛО k
k a
a
k a = (kх1; ky1; kz1)

12.

13. Линейная зависимость векторов

14.

15. Декартова система координат

16.

17. Основные формулы

Если вектор
a xi yj zk , то:
a x2 y2 z 2 ;
длина
x
y
z
;
cos ; cos ; cos
a
a
a
прl a a cos , где - угол между вектором a
и положительным направлением оси l

18. Примеры:

№1. Найти длины диагоналей параллелограмма,
построенного на векторах: a = (3; -5; 8)
и
b = (-1; 1; -4).
№2. Вектор , заданный в трехмерном пространстве
составляет с координатными осями Ох и Оу углы =60˚,
β=120˚. Вычислить его координаты если a = 2.
№3. Даны четыре точки A 5; 6; 8 , B(8;10; 3) ,
C
. 1; 2; 4 , D 7; 6;14 . Выяснить, коллинеарны ли
векторы АВ
и СD ?

19.

20. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

скалярное произведение двух векторов;
векторное произведение двух векторов;
смешанное произведение трех векторов

21. Скалярное произведение двух векторов

a b (a , b ) a b cos число
a
b

22. Свойства скалярного произведения

1.
a b b a (переместительное);
2.
a b ( a) b a ( b) (сочетательное);
3.
a b c a c b c (распределительное);
2
4.
a a a ;
5.
a b a b 0 ;

23. Координатная форма скалярного произведения

Если
a=(ax, ay, az), b =(bx, by, bz),то
a b a x bx a y by a z bz

24.

25. Векторное произведение двух векторов

Векторным произведен ием вектора а на вектор b
называется вектор с a b a , b , удовлетвор яющий условиям :
1) c a b sin ;
2) c a ; c b ;
3) тройка векторов a , b , c правая
a
c
b
a
c
b

26. Свойства векторного произведения

1.
a b b a ;
2.
a b a b a b
3.
a b c a b a c ;
4.
a a 0
5.
;
a b 0 a b (условие коллинеарности)
S a b

27.

Если a=(ax, ay, az), b =(bx, by, bz),то
i
j
k
a b ax
ay
az
bx
by
bz

28.

29. Смешанное произведение трех векторов

(a b ) c a , b , c
a b c a b c это число

30. Свойства смешанного произведения

1.
2.
3.
4.
5.
a b c (a c) b (c b) a (c a) b (b c) a ;
если три данных вектора компланарны,
то (a b ) c 0 (и наоборот);
a b c a (b c) ;
a ( b ) c a b ( c ) ( a b c ) ;
если три вектора заданы координатами
a=(x1; y1; z1), b=(x2; y2; z2), c=(x3; y3; z3), то
смешанное произведение вычисляется по
формуле:
х1 y1 z1
a b c x2
y2
z2
x3
y3
z3

31.

32.

Приложения
нелинейных
операций над
векторами
Скалярное произведение
cos a, b
Геометрические
приложения
Физические
приложения
a b
a b
Прb a
a b
b
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
x1x2 y1 y2 z1z2
x22 y22 z22
A W F S

33.

Приложения
нелинейных
операций над
векторами
Векторное произведение
c a b Sпараллелограмма
Геометрические
приложения
Физические
приложения
1
1
c a b S треуольника
2
2
mA F AM F

34.

Приложения
нелинейных
операций над
векторами
Геометрические
приложения
Смешанное произведение
x1
y1
z1
Vпарал-да abc x2
y2
z2
x3
y3
z3
Vпирамиды
Физические
приложения
1
a b c
6