Системы нелинейных уравнений

1.

Системы
нелинейных уравнений
с двумя неизвестными

2.

№ 1.
Решить систему уравнений
х 2 у 2 32,
х у 4.
Решение. 1) Применим формулу разности квадратов
( х у )( х у ) 32,
х у 4.
4( х у ) 32,
х у 4.
2) Подставим х ─ у = 4 в первое
уравнение
х у 8,
+
х у 4.
2х = 12, х = 6.
3) Подставим х = 6 во второе уравнение данной системы:
6 ─ у = 4, у = 2.
Ответ: (6; 2)

3.

№ 2 Решить систему уравнений
( х 1)( у 4) 0,
2
у ху 2 0.
Решение. Произведение множителей равно нулю, если
один из них равен 0, другие при этом существуют.
х 1,
х 1 0,
х 1,
а) 2
2
у 2
у ху 2 0;
у у 2 0;
у 1.
у 4,
у 4,
у 4 0,
б) 2
16
4
х
2
0
;
4 х 14;
у ху 2 0;
Ответ: (1; ─2), (1; 1), (3,5; ─ 4).
х 3,5,
у 4 .

4.

№3 Решить систему уравнений
12
4
Решение. Учтём, что х ± у ≠ 0.
х у х у 3,
1
1
8 18 1. Сделаем замену х у а ; х у b,
х у х у
4a 12b 3, ∙ (─2) + 8a 24b 6,
получим систему
8a 18b 1;
8a 18b 1;
─ 42b = ─7,
1
1
b
,
b ,
6
6
тогда
1
8а 1 18 ;
а 1 .
6
4
Возвращаемся к исходным переменным:

5.

1
1
х у 4,
1 1;
х у 6
х у 4,
х у 6;
2 х 10,
у 6 х;
х 5,
у 1.
При этом х ± у ≠ 0.
Ответ: ( 5; 1).
Данную систему можно решить, не вводя новые
переменные, для этого достаточно помножить
первое уравнение на 1,5 и почленно сложить
первое уравнение со вторым.