Связанные состояния в двух дельта - функционных ямах

1.

Связанные состояния в двух дельта-функционных ямах
U ( x) ( x a) ( x a)
x
I
II
III
Уравнение Шрёдингера
k 2 0, k
Коммутатор
Hˆ , Iˆ ?
Решения?
2m | E |
2

2.

Решение чётное
I , III : ( x) A e k|x|
II : ( x) B cosh kx
Решение нечётное
I , III : ( x) A e k|x|
II : ( x) B sinh kx
Условия сшивки?

3.

Условие сшивки для чётных уровней
A e ka B cosh ka 0
2m
ka
ka
kA
e
kB
sinh
ka
A
e
2
Уравнение для энергии связанного состояния?

4.

Промежуточные формулы
A e ka B cosh ka 0
2m
ka
A e k 2 kB sinh ka 0
Преобразование детерминанта
2m
1
2m
2m
k sinh ka k 2 cosh ka k eka k e ka k eka k e ka 2 eka 2 e ka 0
2
Или
ke
ka
m
2
e
ka
m
2
e
ka
0 k
m
2
1 e 0
2 ka
Записать уравнение для энергии через безразмерные параметры
ka,
m a
2

5.

Уравнение для энергии чётного связанного состояния
m a
2
1 e , ka, 2
Нечётные уровни?

6.

Условия сшивки для нечётных уровней
A e ka B sinh ka 0
2m
ka
ka
kA
e
kB
cosh
ka
A
e
2

7.

Промежуточные формулы
A e ka B sinh ka 0
2m
ka
A e k 2 kB cosh ka 0
Детерминант
2m
1 ka
2m ka 2m ka
ka
ka
ka
k cosh ka k 2 sinh ka k e k e k e k e 2 e 2 e 0
2
Уравнение для энергии нечётного связанного состояния?

8.

Уравнение для энергии нечётного связанного состояния
m a
2
1 e , ka, 2

9.

Общее уравнение для энергии связанных состояний
m a
2
1 e , ka, 2
Найти графическое решение уравнения и определить условие возникновения нечётного уровня?

10.

2
1
Условие возникновения нечётного уровня?
Найти энергию уровней для сильно раздвинутых ям?
m a
2
1

11.

Условие возникновения нечётного уровня
m a
2
1
2
Найти энергию уровней для сильно раздвинутых ям
(0) (1) 1 e 2

12.

Условие возникновения нечётного уровня.
Решение уравнения Шрёдингера с нулевой энергией
Ищем решение уравнения Шрёдингера с нулевой энергией,
накладывая условие ограниченности решения в пространстве
0
I , III : ( x) A
II : ( x) B x
Условие сшивки?

13.

Условие сшивки
A B a 0
2m
B 2 B a
Или
m a
2
1
2