Похожие презентации:
(8.4) 2_Pryamougolnaya_yama (2)
1.
Найти возможные значения энергии в прямоугольной яме конечной глубиныРассматриваем случай финитного движения (в классической механике)
a
I
En ?
E E 0
0, | x | a
U ( x)
U 0 ,| x | a
Уравнение Шрёдингера
a
II
III x
U0
pˆ 2
2m U x x E x
Уравнение Шрёдингера в разных областях
I , III : k 0, k
2
II :
2 0,
2m E
2
2m
2
U E
0
2.
Схема решения в общем случаеВолновая функция в разных областях
I : C1 ekx C2 e kx
II : B1 cos x B2 sin x
III : A1 ekx A2 e kx
Как определить неизвестные коэффициенты?
3.
Неизвестные коэффициенты можно найти из граничных условий на бесконечностиx 0
и условий сшивки в точках скачка потенциала!
Условия сшивки в точках скачка потенциала
2 d 2 x
a dx 2m dx 2 U x E x 0
0
a
Вычислить предел?
4.
Условия сшивки в точках скачка потенциала2
d 2 x
dx
a 0 a 0
2
2m a dx
2m
0
2 a
a
dx U x E x
a
0
0
Условия сшивки в точках скачка потенциала
a 0 a 0 0
5.
Схема решения в общем случаеВолновая функция в разных областях
I : C1 ekx C2 e kx
II : B1 cos x B2 sin x
III : A1 ekx A2 e kx
Граничные условия и условия сшивки
x 0
a 0 a 0 0
a 0 a 0 0
6.
Из граничных условийI : C ekx
II : B1 cos x B2 sin x
III : A e kx
Оставшиеся коэффициенты вычисляются с помощью условий сшивки.
Результативно надо решить однородную систему из четырёх уравнений!
Поступим иначе. Вычислить
Hˆ , Iˆ ?
7.
РезультатHˆ , Iˆ 0
Собственные функции гамильтониана должны быть
собственными функциями оператора чётности!
Для собственных функций оператора чётности достаточно удовлетворить условиям сшивки
только в одной и точек разрыва потенциала!
Написать чётное решение уравнения Шрёдингера?
8.
Чётное решениеI , III : A e k|x|
II : B cos x
Записать условия сшивки в явном виде в точке a и
получить уравнение для возможных значений энергии?
9.
Условия сшивки в явном видеA e ka B cos a 0
ka
kA e B sin a 0
Уравнение для энергии
sin a k cos a 0
Или
k
tan a
Ввести безразмерные переменные
a,
2mU 0 a 2
2
и найти графическое решение характеристического уравнения.
Указание. Записать величину ka через новые безразмерные переменные.
10.
Промежуточная формулаa
2ma 2
2
U E k a
2
2
0
Или
ka 2
Характеристическое уравнение
k
ka
tan a
a
1 tan
2
11.
12
Характеристическое уравнение
tan
2
3
2
1 tan
2
Всегда ли существует «связанное» состояние?
«Связанное» состояние описывается затухающей
на бесконечности волновой функцией
Условие появление второго чётного уровня?
12.
«Связанное» состояние существует в прямоугольной яме любой глубины.Даже в «мелкой» яме!
«Мелкая» яма
2mU 0 a 2
2
1
Условие появления второго чётного уровня
2mU 0 a 2
2
1
0
2
2
Написать нечётное решение уравнения Шрёдингера?
13.
Нечётное решениеI , III : A e k|x|
II : B sin x
Записать условия сшивки в явном виде в точке a и
получить уравнение для возможных значений энергии?
14.
Условия сшивки в явном видеA e ka B sin a 0
ka
kA e B cos a 0
Уравнение для энергии
cos a k sin a 0
Или
k
cot a
Ввести безразмерные переменные
a,
2mU 0 a 2
2
и найти графическое решение характеристического уравнения.
Указание. Записать величину ka через новые безразмерные переменные.
15.
12
Характеристическое уравнение
cot
2
3
2
1 cot
2
Условие появления нечётного уровня?
16.
Условие появления нечётного уровня/ 2
2
1 0
2mU 0 a 2
2
2
4
Классификация появляющихся уровней по мере увеличения глубины ямы?
17.
12
1
2
tan
2
cot
3
2
2
3
2
По мере увеличения глубины ямы чётность уровней чередуется. Основное состояние
(состояние с наименьшей алгебраической энергией) всегда чётное!