Линейная алгебра. Лекция №1. Часть 1

1. ЛЕКЦИЯ № 1

ТЕМА ЛЕКЦИИ:
«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»
1 часть

2. ПЛАН ЛЕКЦИИ

1. ПОНЯТИЕ И ВИДЫ МАТРИЦ
2. СТРОКИ, СТОЛБЦЫ, ЭЛЕМЕНТЫ
И РАЗМЕР МАТРИЦ
3. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

3. ПОНЯТИЕ И ВИДЫ МАТРИЦ

4. ОПРЕДЕЛЕНИЯ

МАТРИЦЕЙ НАЗЫВАЕТСЯ
ПРЯМО-УГОЛЬНАЯ ИЛИ
КВАДРАТНАЯ ТАБЛИЦА,
ЗАПОЛНЕННАЯ ЧИСЛАМИ.
ЧИСЛА, ЗАПОЛНЯЮЩИЕ
МАТРИЦУ, НАЗЫВАЮТСЯ
ЭЛЕМЕНТАМИ МАТРИЦЫ.
"

5. ВИДЫ МАТРИЦ

4
12
17 29 Прямоугольная
матрица
30 36
3
22
Матрица-столбец
0
5
3 1 2
4 2 0 Квадратная
матрица
5 6 1
1
"
3 2 0
Матрица-строка

6. СТРОКИ, СТОЛБЦЫ, ЭЛЕМЕНТЫ И РАЗМЕР МАТРИЦЫ

7. ПРИНЦИП НУМЕРАЦИИ СТРОК И СТОЛБЦОВ

СТРОКИ НУМЕРУЮТСЯ СВЕРХУ
ВНИЗ, НАЧИНАЯ С № 1.
СТОЛБЦЫ НУМЕРУЮТСЯ СЛЕВА
НАПРАВО, НАЧИНАЯ С № 1.

8. СТРОКА И СТОЛБЕЦ

4
12
17
29
30 36 3-я строка
4
12
17
29
30 36 2-й столбец
"

9. РАЗМЕР МАТРИЦЫ

МАТРИЦА, ИМЕЮЩАЯ m СТРОК И n
СТОЛБЦОВ, НАЗЫВАЕТСЯ МАТРИЦЕЙ
РАЗМЕРА m НА n.
4
12
17 29 Матрица размера 3 на 2
(3 строки, 2 столбца)
30 36
"

10. ОБЩИЙ ВИД МАТРИЦЫ РАЗМЕРА m НА n

a11 a12
a21 a22
A
...
...
a
m1 am2
"
a1n
... a2n
... ...
... amn
...

11. ЭЛЕМЕНТ МАТРИЦЫ

4 Элемент a31 a-три-один 30
12
17 29
(3-я строка,1-й столбец)
30 36
"

12. ДИАГОНАЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

3 1 2
4 2 0 Главная диагональ
5 6 1
3 1 2
4 2 0 Побочная диагональ
5 6 1
"

13. ТРЕУГОЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ

Верхняя треугольная матрица
3 1 2
0 2 0 (под главной диагональю стоят нули)
0 0 1
Нижняя треугольная матрица
3 0 0
1 2 0 (над главной диагональю стоят нули)
2 0 1

14. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

15. ЛЮБУЮ МАТРИЦУ МОЖНО УМНОЖИТЬ НА ЧИСЛО

3 1 2 15 5 10
5 4 2 0 20 10 0
5 6 1 25 30 5

16. МАТРИЦЫ ОДИНАКОВОГО РАЗМЕРА МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ И ВЫЧИТАТЬ

3 1 2 8 5 5
4 2 0 7 3 14
3 8 1 5 2 5
2 3
0 14
4 7

17. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ

4
12
Исходная
A 17
29
матрица (размер 3 на 2)
30 36
12 17 30 Транспонированная
A
матрица (размер 2 на 3)
4
29
36
T

18. УМНОЖЕНИЕ СТРОКИ НА СТОЛБЕЦ (СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ)

7
2
5
3
0
2 7 5 0 3 4 2
4

19. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА СТОЛБЕЦ КАЖДАЯ СТРОКА МАТРИЦЫ СКАЛЯРНО УМНОЖАЕТСЯ НА СТОЛБЕЦ

3 1 2 8 3 8 1 7 2 2 21
4 2 0 7 4 8 2 7 0 2 46
5 6 1 2 5 8 6 7 1 2 4
"

20. ВОЗМОЖНОСТЬ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ

МАТРИЦУ A, ЗАПИСАННУЮ СЛЕВА,
МОЖНО УМНОЖИТЬ НА
МАТРИЦУ B, ЗАПИСАННУЮ СПРАВА,
ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА
ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ A
РАВНО ЧИСЛУ СТРОК МАТРИЦЫ B

21. ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ КАЖДАЯ СТРОКА ЛЕВОЙ МАТРИЦЫ СКАЛЯРНО УМНОЖАЕТСЯ НА КАЖДЫЙ СТОЛБЕЦ ПРАВОЙ МАТРИЦЫ

С A B
A левая матрица, B правая матрица

22. ПРИМЕР УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ

3 1 2 8 1
4 2 0 7 2
5 6 1 2 3
3 8 1 7 2 2 3 1 1 2 2 3 21 5
4 8 2 7 0 2
4 1 2 2 0 3 46 8
5 8 6 7 1 2 5 1 6 2 1 3 4 4

23. УМНОЖЕНИЕ СТОЛБЦА НА СТРОКУ

7 2
7
0 2 5 3 0 2
4
4 2
7 5
0 5
4 5
14 35 21
0
0
0
8 20 12
7 3
0 3
4 3

24. ВАЖНЫЕ ТИПЫ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

1 0 0
Единичная матрица
E 0 1 0
(размер 3 на 3)
0 0 1
0 0 0
Нулевая матрица
0 0 0 0
(размер 3 на 3)
0 0 0

25. СВОЙСТВО ЕДИНИЧНОЙ МАТРИЦЫ: A•E=E•A=A

5 7 4 1 0 0 5 7 4
3 6 8 0 1 0 3 6 8
11 4 0 0 0 1 11 4 0
1 0 0 5 7 4 5 7 4
0 1 0 3 6 8 3 6 8
0 0 1 11 4 0 11 4 0