Матрицы и действия над ними

1.

МАТЕМАТИКА
Воронежский государственный педагогический университет, 2011
Фролова Ю.Б.

2.

ТЕМА ЛЕКЦИИ:
«МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ
НАД НИМИ»
Воронежский государственный педагогический университет, 2011
Фролова Ю.Б.

3. СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ

1. ПОНЯТИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ
МАТРИЦ
2. СТРОКИ, СТОЛБЦЫ, ЭЛЕМЕНТЫ И
РАЗМЕР МАТРИЦЫ
3. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
Воронежский государственный педагогический университет, 2011
Фролова Ю.Б.

4. 1. ПОНЯТИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Воронежский государственный педагогический университет, 2011
Фролова Ю.Б.

5. ОПРЕДЕЛЕНИЯ

МАТРИЦЕЙ НАЗЫВАЕТСЯ
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ТАБЛИЦА,
ЗАПОЛНЕННАЯ ЧИСЛАМИ
ЧИСЛА, ЗАПОЛНЯЮЩИЕ
МАТРИЦУ, НАЗЫВАЮТСЯ ЕЕ
ЭЛЕМЕНТАМИ
Воронежский государственный педагогический университет, 2011
Фролова Ю.Б.

6. ВИДЫ МАТРИЦ

4ö
æ 12
ç -17 29 ÷ Прямоугольная
÷
ç
матрица
ç -30 -36 ÷
è
ø
æ 3 -1 2 ö
ç 4 2 0 ÷ Квадратная
÷ матрица
ç
ç -5 6 1÷
è
ø
Воронежский государственный педагогический университет, 2011
æ3ö
ç 22 ÷
ç ÷ Матрица-столбец
ç0÷
ç -5 ÷
è ø
(1
-3 2 0 )
Матрица-строка
Фролова Ю.Б.

7. 2. СТРОКИ, СТОЛБЦЫ, ЭЛЕМЕНТЫ И РАЗМЕР МАТРИЦЫ

Воронежский государственный педагогический университет, 2011
Фролова Ю.Б.

8. НУМЕРАЦИЯ СТРОК И СТОЛБЦОВ

СТРОКИ НУМЕРУЮТСЯ СВЕРХУ ВНИЗ,
НАЧИНАЯ С № 1
СТОЛБЦЫ НУМЕРУЮТСЯ СЛЕВА
НАПРАВО,
НАЧИНАЯ С № 1
Воронежский государственный педагогический университет, 2011
Фролова Ю.Б.

9. СТРОКА И СТОЛБЕЦ

4ö
æ 12
ç -17 29 ÷
÷
ç
ç -30 -36 ÷ 3-я строка
è
ø
4ö
æ 12
ç -17 29 ÷
÷
ç
ç -30 -36 ÷ 2-й столбец
è
ø
Воронежский государственный педагогический университет, 2011
Фролова Ю.Б.

10. РАЗМЕР МАТРИЦЫ

МАТРИЦА, ИМЕЮЩАЯ m СТРОК И n
СТОЛБЦОВ, НАЗЫВАЕТСЯ
МАТРИЦЕЙ РАЗМЕРНОСТИ m НА n
4ö
æ 12
ç -17 29 ÷ Матрица размера 3 на 2
÷ (3строки, 2 сто лбца)
ç
ç -30 -36 ÷
è
ø
Воронежский государственный педагогический университет, 2011
Фролова Ю.Б.

11. ОБЩИЙ ВИД МАТРИЦЫ РАЗМЕРНОСТИ m НА n

æ a11 a12
ç
ç a21 a22
A=ç
...
...
ç
ça
è m1 am2
Воронежский государственный педагогический университет, 2011
a1n ö
÷
... a2n ÷
... ... ÷
÷
... amn ÷ø
...
Фролова Ю.Б.

12. ЭЛЕМЕНТ МАТРИЦЫ

4Элемент
a31 ( a -три-один ) = -30
ö
æ 12
ç -17 29 ÷
(3-я строка,1-й столбец)
÷
ç
ç -30 -36 ÷
è
ø
Воронежский государственный педагогический университет, 2011
Фролова Ю.Б.

13. ДИАГОНАЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

æ 3 -1 2 ö
ç 4 2Главная
0÷
диагон
÷
ç
ç -5 6 1 ÷
è
ø
æ 3 -1 2 ö
ç 4 2Побочная
0÷
диагон
÷
ç
ç -5 6 1 ÷
è
ø
Воронежский государственный педагогический университет, 2011
аль
аль
Фролова Ю.Б.

14. ТРЕУГОЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ

Верхняя треугольная матрица
æ 3 -1 2 ö
ç 0 2 0 ÷ (под главной диагональю стоят нули)
÷
ç
ç0 0 1 ÷
è
ø
Нижняя треугольная матрица
æ 3 0 0ö
ç -1 2 0 ÷ (над главной диагональю стоят нули)
÷
ç
ç 2 0 1÷
è
ø
Воронежский государственный педагогический университет, 2011
Фролова Ю.Б.

15. 3. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

Воронежский государственный педагогический университет, 2011
Фролова Ю.Б.

16. УМНОЖЕНИЕ НА ЧИСЛО

ЛЮБУЮ МАТРИЦУ МОЖНО
УМНОЖИТЬ НА ЧИСЛО:
æ 3 -1 2 ö æ 15 -5 10 ö
÷
÷
ç
ç
5 × 4 2 0 = 20 10 0
÷ ç
÷
ç
ç -5 6 1÷ ç -25 30 5 ÷
è
ø è
ø
Воронежский государственный педагогический университет, 2011
Фролова Ю.Б.

17. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ МАТРИЦ

МАТРИЦЫ ОДИНАКОВОГО РАЗМЕРА
МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ И ВЫЧИТАТЬ:
æ 3 -1 2 ö æ 8 -5 5 ö
ç 4 2 0 ÷ ± ç 7 3 14 ÷ =
è
ø è
ø
æ 3 ± 8 -1 ± ( -5) 2 ± 5 ö
=ç
÷
2±3
0 ± 14 ø
è4± 7
Воронежский государственный педагогический университет, 2011
Фролова Ю.Б.

18. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ

4ö
æ 12
Исходная
÷
ç
A = -17 29
÷
ç
ç -30 -36 ÷ матрица (размер 3 на 2)
è
ø
æ 12 -17 -30 ö Транспонированная
A =ç
÷
4
29
36матрица
(размер 2 на 3)
è
ø
T
Воронежский государственный педагогический университет, 2011
Фролова Ю.Б.

19. УМНОЖЕНИЕ СТРОКИ НА СТОЛБЕЦ (СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ)

æ7ö
÷
ç
2
5
3
×
0
(
) ç ÷ = 2 × 7 + ( -5) × 0 + 3 × ( -4) = 2
ç -4 ÷
è ø
Воронежский государственный педагогический университет, 2011
Фролова Ю.Б.

20. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА СТОЛБЕЦ КАЖДАЯ СТРОКА МАТРИЦЫ СКАЛЯРНО УМНОЖАЕТСЯ НА СТОЛБЕЦ:

æ 3 -1 2 ö æ 8 ö æ 3 × 8 + ( -1) × 7 + 2 × 2 ö æ 21 ö
ç 4 2 0 ÷ × ç 7 ÷ = ç 4 × 8 + 2 × 7 + 0 × 2 ÷ = ç 46 ÷
÷ ç ÷
÷ ç ÷ ç
ç
ç -5 6 1÷ ç 2 ÷ ç ( -5) × 8 + 6 × 7 + 1× 2 ÷ ç 4 ÷
è
ø è ø è
ø è ø
Воронежский государственный педагогический университет, 2011
Фролова Ю.Б.

21. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ

МАТРИЦУ A, ЗАПИСАННУЮ СЛЕВА,
МОЖНО УМНОЖИТЬ НА МАТРИЦУ B,
ЗАПИСАННУЮ СПРАВА, ТОГДА И
ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ЧИСЛО
СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ A РАВНО
ЧИСЛУ СТРОК МАТРИЦЫ B
Воронежский государственный педагогический университет, 2011
Фролова Ю.Б.

22. ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ КАЖДАЯ СТРОКА ЛЕВОЙ МАТРИЦЫ СКАЛЯРНО УМНОЖАЕТСЯ НА КАЖДЫЙ СТОЛБЕЦ ПРАВОЙ МАТРИЦЫ

С = A× B
A - левая матрица, B - правая матрица
Воронежский государственный педагогический университет, 2011
Фролова Ю.Б.

23. ПРИМЕР УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ

æ 3 -1 2 ö æ 8 1 ö
ç 4 2 0÷ × ç 7 2 ÷ =
÷ ç
÷
ç
ç -5 6 1÷ ç 2 -3÷
è
ø è
ø
æ 3 × 8 + ( -1) × 7 + 2 × 2 3 × 1 + ( -1) × 2 + 2 × ( -3) ö æ 21 -5 ö
÷ ç
ç
= ç 4×8 + 2× 7 + 0× 2
4 × 1 + 2 × 2 + 0 × ( -3) ÷ = 46 8 ÷
÷
ç
ç
÷
ç ( -5) × 8 + 6 × 7 + 1 × 2 ( -5) × 1 + 6 × 2 + 1 × ( -3) ÷
è
ø è4 4ø
Воронежский государственный педагогический университет, 2011
Фролова Ю.Б.

24. ВАЖНЫЕ ТИПЫ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

æ 1 0 0ö
Единичная матрица
÷
ç
E= 0 1 0
÷
ç
(размер 3 на 3)
ç 0 0 1÷
è
ø
æ 0 0 0ö
Нулевая матрица
÷
ç
0= 0 0 0
÷ (размер 3 на 3)
ç
ç 0 0 0÷
è
ø
Воронежский государственный педагогический университет, 2011
Фролова Ю.Б.

25. СВОЙСТВО ЕДИНИЧНОЙ МАТРИЦЫ A•E=E•A=A

æ 5 7 4ö æ 1 0 0ö æ 5 7 4ö
ç 3 -6 8 ÷ × ç 0 1 0 ÷ = ç 3 -6 8 ÷
÷ ç
÷ ç
÷
ç
ç 11 4 0 ÷ ç 0 0 1 ÷ ç 11 4 0 ÷
è
ø è
ø è
ø
æ 1 0 0ö æ 5 7 4ö æ 5 7 4ö
ç 0 1 0 ÷ × ç 3 -6 8 ÷ = ç 3 -6 8 ÷
÷ ç
÷ ç
÷
ç
ç 0 0 1 ÷ ç 11 4 0 ÷ ç11 4 0 ÷
è
ø è
ø è
ø
Воронежский государственный педагогический университет, 2011
Фролова Ю.Б.

26. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Воронежский государственный педагогический университет, 2011
Фролова Ю.Б.