Матрицы и действия над ними

1. НАШ ПРИНЦИП – КАЧЕСТВО!

МАТЕМАТИКА
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009

2.

СЛАЙД-ЛЕКЦИЯ № 1
ТЕМА ЛЕКЦИИ:
«МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД
НИМИ»
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009

3. ПЛАН ЛЕКЦИИ

1. ПОНЯТИЕ И ВИДЫ МАТРИЦ
2. СТРОКИ, СТОЛБЦЫ, ЭЛЕМЕНТЫ
И РАЗМЕР МАТРИЦ
3. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009

4. ПОНЯТИЕ И ВИДЫ МАТРИЦ

ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009

5. ОПРЕДЕЛЕНИЯ

МАТРИЦЕЙ НАЗЫВАЕТСЯ
ПРЯМО-УГОЛЬНАЯ ИЛИ
КВАДРАТНАЯ ТАБЛИЦА,
ЗАПОЛНЕННАЯ ЧИСЛАМИ.
ЧИСЛА, ЗАПОЛНЯЮЩИЕ
МАТРИЦУ, НАЗЫВАЮТСЯ
ЭЛЕМЕНТАМИ МАТРИЦЫ.
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009

6. ВИДЫ МАТРИЦ

4ö
æ 12
ç -17 29 ÷ Прямоугольная
÷
ç
матрица
ç -30 -36 ÷
è
ø
æ3ö
ç 22 ÷
ç ÷ Матрица-столбец
ç0÷
ç -5 ÷
è ø
æ 3 -1 2 ö
ç 4 2 0 ÷ Квадратная
÷ матрица
ç
ç -5 6 1÷
è
ø
(1
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
-3 2 0 )
Матрица-строка
МОСКВА, 2009

7. СТРОКИ, СТОЛБЦЫ, ЭЛЕМЕНТЫ И РАЗМЕР МАТРИЦЫ

ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009

8. ПРИНЦИП НУМЕРАЦИИ СТРОК И СТОЛБЦОВ

СТРОКИ НУМЕРУЮТСЯ СВЕРХУ
ВНИЗ, НАЧИНАЯ С № 1.
СТОЛБЦЫ НУМЕРУЮТСЯ СЛЕВА
НАПРАВО, НАЧИНАЯ С № 1.
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009

9. СТРОКА И СТОЛБЕЦ

4ö
æ 12
ç -17
29 ÷
÷
ç
ç -30 -36 ÷ 3-я строка
è
ø
4ö
æ 12
ç -17
29 ÷
÷
ç
ç -30 -36 ÷ 2-й столбец
è
ø
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009

10. РАЗМЕР МАТРИЦЫ

МАТРИЦА, ИМЕЮЩАЯ m СТРОК И n
СТОЛБЦОВ, НАЗЫВАЕТСЯ МАТРИЦЕЙ
РАЗМЕРА m НА n.
4ö
æ 12
ç -17 29 ÷ Матрица размера 3 на 2
÷ (3строки, 2 сто лбца)
ç
ç -30 -36 ÷
è
ø
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009

11. ОБЩИЙ ВИД МАТРИЦЫ РАЗМЕРА m НА n

æ a11 a12
ç
ç a21 a22
A=ç
...
...
ç
ça
è m1 am2
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
a1n ö
÷
... a2n ÷
... ... ÷
÷
... amn ø÷
...
МОСКВА, 2009

12. ЭЛЕМЕНТ МАТРИЦЫ

4Элемент
a31 ( a -три-один ) = -30
ö
æ 12
ç -17 29 ÷
(3-я строка,1-й столбец)
÷
ç
ç -30 -36 ÷
è
ø
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009

13. ДИАГОНАЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

æ 3 -1 2 ö
ç 4 2Главная
0÷
диагон
÷
ç
ç -5 6 1 ÷
è
ø
æ 3 -1 2 ö
÷
ç 4 2Побочная
0
диагон
÷
ç
ç -5 6 1 ÷
è
ø
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
аль
аль
МОСКВА, 2009

14. ТРЕУГОЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ

Верхняя треугольная матрица
æ 3 -1 2 ö
ç 0 2 0 ÷ (под главной диагональю стоят нули)
÷
ç
ç0 0 1 ÷
è
ø
Нижняя треугольная матрица
æ 3 0 0ö
ç -1 2 0 ÷ (над главной диагональю стоят нули)
÷
ç
ç 2 0 1÷
è
ø
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009

15. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009

16. ЛЮБУЮ МАТРИЦУ МОЖНО УМНОЖИТЬ НА ЧИСЛО

æ 3 -1 2 ö æ 15 -5 10 ö
÷
÷
ç
ç
5 × 4 2 0 = 20 10 0
÷ ç
÷
ç
ç -5 6 1÷ ç -25 30 5 ÷
è
ø è
ø
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009

17. МАТРИЦЫ ОДИНАКОВОГО РАЗМЕРА МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ И ВЫЧИТАТЬ

æ 3 -1 2 ö æ 8 -5 5 ö
ç 4 2 0 ÷ ± ç 7 3 14 ÷ =
è
ø è
ø
æ 3 ± 8 -1 ± ( -5) 2 ± 5 ö
=ç
÷
2±3
0 ± 14 ø
è4± 7
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009

18. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ

4ö
æ 12
Исходная
÷
ç
A = -17
29
÷ матрица (размер 3 на 2)
ç
ç -30 -36 ÷
è
ø
æ12 -17 -30 ö Транспонированная
A =ç
÷
4
29
36матрица
(размер 2 на 3)
è
ø
T
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009

19. УМНОЖЕНИЕ СТРОКИ НА СТОЛБЕЦ (СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ)

æ 7ö
÷
ç
2
5
3
×
0
(
) ç ÷ = 2 × 7 + ( -5) × 0 + 3 × ( -4) = 2
ç -4 ÷
è ø
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009

20. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА СТОЛБЕЦ КАЖДАЯ СТРОКА МАТРИЦЫ СКАЛЯРНО УМНОЖАЕТСЯ НА СТОЛБЕЦ

æ 3 -1 2 ö æ 8 ö æ 3 × 8 + ( -1) × 7 + 2 × 2 ö æ 21 ö
ç 4 2 0 ÷ × ç 7 ÷ = ç 4 × 8 + 2 × 7 + 0 × 2 ÷ = ç 46 ÷
÷ ç ÷
÷ ç ÷ ç
ç
ç -5 6 1÷ ç 2 ÷ ç ( -5) × 8 + 6 × 7 + 1× 2 ÷ ç 4 ÷
è
ø è ø è
ø è ø
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009

21. ВОЗМОЖНОСТЬ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ

МАТРИЦУ A, ЗАПИСАННУЮ СЛЕВА,
МОЖНО УМНОЖИТЬ НА
МАТРИЦУ B, ЗАПИСАННУЮ СПРАВА,
ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА
ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ A
РАВНО ЧИСЛУ СТРОК МАТРИЦЫ B
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009

22. ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ КАЖДАЯ СТРОКА ЛЕВОЙ МАТРИЦЫ СКАЛЯРНО УМНОЖАЕТСЯ НА КАЖДЫЙ СТОЛБЕЦ ПРАВОЙ МАТРИЦЫ

С = A× B
A - левая матрица, B - правая матрица
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009

23. ПРИМЕР УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ

æ 3
ç 4
ç
ç -5
è
æ 3 × 8 + ( -1) × 7 + 2 × 2
ç
= ç 4×8 + 2×7 + 0× 2
ç ( -5) × 8 + 6 × 7 + 1 × 2
è
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
-1 2 ö æ 8 1 ö
2 0÷ × ç 7 2 ÷ =
÷ ç
÷
6 1ø÷ çè 2 -3ø÷
3 × 1 + ( -1) × 2 + 2 × ( -3) ö æ 21 -5 ö
÷ ç
÷
4 × 1 + 2 × 2 + 0 × ( -3) ÷ = 46 8
÷
ç
ç
÷
÷
5
×
1
+
6
×
2
+
1
×
3
4
4
( )
( )ø è
ø
МОСКВА, 2009

24. УМНОЖЕНИЕ СТОЛБЦА НА СТРОКУ

7 × ( -5)
æ 7×2
æ7ö
ç 0 ÷ × ( 2 -5 3) = ç 0 × 2
0
×
5
(
)
ç
ç ÷
ç -4 ÷
ç ( -4 ) × 2 ( -4 ) × ( -5)
è ø
è
æ 14 -35 21 ö
÷
ç
= 0
0
0
÷
ç
ç -8 20 -12 ÷
è
ø
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
7×3 ö
÷
0×3 ÷ =
( -4) × 3÷ø
МОСКВА, 2009

25. ВАЖНЫЕ ТИПЫ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

æ 1 0 0ö
Единичная матрица
÷
ç
E= 0 1 0
÷
ç
(размер 3 на 3)
ç 0 0 1÷
è
ø
æ 0 0 0ö
Нулевая матрица
÷
ç
0= 0 0 0
÷ (размер 3 на 3)
ç
ç 0 0 0÷
è
ø
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009

26. СВОЙСТВО ЕДИНИЧНОЙ МАТРИЦЫ: A•E=E•A=A

æ 5 7 4ö æ 1 0 0ö æ 5 7 4ö
ç 3 -6 8 ÷ × ç 0 1 0 ÷ = ç 3 -6 8 ÷
÷ ç
÷ ç
÷
ç
ç 11 4 0 ÷ ç 0 0 1 ÷ ç 11 4 0 ÷
è
ø è
ø è
ø
æ 1 0 0ö æ 5 7 4ö æ 5 7 4ö
ç 0 1 0 ÷ × ç 3 -6 8 ÷ = ç 3 -6 8 ÷
÷ ç
÷ ç
÷
ç
ç 0 0 1 ÷ ç11 4 0 ÷ ç11 4 0 ÷
è
ø è
ø è
ø
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009

27. БЛАГОДАРИМ ЗА ВНИМАНИЕ!

ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009