Лайфхаки для решения задач по математике

1.

Использование лайфхаков при
решении задач по математике

2.

Давайте знакомиться…
Денисов Андрей Петрович
Учитель математики
Университетский лицей №1511
предуниверситария НИЯУ МИФИ
Люблю игры в любых проявлениях
(и с удовольствием в них играю)
спортивные
настольные
компьютерные
(да-да, я тоже человек :))

3.

Решение квадратных уравнений
ax 2 bx c 0, a 0
Как вы привыкли решать квадратные уравнения?
D b2 4ac
BORED
x 1,2
b D
2a

4.

Решение квадратных уравнений
ax 2 bx c 0
Решим несколько квадратных уравнений при a=1
x 2 8x 12 0
Разложим
+12
на целые
множители
1
2
3
-1
-2
-3
12
6
4
-12
-6
-4
Это и есть
ответ!!!
Ответ:
2;6
Какая пара дает в
сумме…
Внимание!
+8
Правильно: 2 и 6

5.

Решение квадратных уравнений
Попробуем еще раз?
x 2 15x 36 0
Разложим +36 на целые множители
1
2
3
4
6
-1
-2
-3
-4
-6
Ответ: 3; 12
36
18
12
9
6
- 36
-18
-12
-9
-6
Какая пара дает в сумме +15 ?
x 1 3
x 2 12

6.

Решение квадратных уравнений
Еще один интересный лайфхак
x 2 73x 72 0
Чему равна сумма всех коэффициентов уравнения?
1x 2 73x 72 0
1 73 72 0
Если сумма всех коэффициентов любого уравнения (хоть 50й степени) равна нулю,
то x=1 является решением данного уравнения.
Что нам это дает?
x 2 73x 72 0
1
72
x 1 1
x 2 72
Мы точно знаем, что x1=1 корень
А еще знаем, что x1·x2=72, тогда …
Ответ:
1; 72

7.

Решение квадратных уравнений
Усложним уравнение
7x 2 15x 8 0
a 1
Но, при этом
7 15 8 0
Следовательно x1=1 является корнем уравнения
x1 1
c 8
x1 x2 a 7
Ответ:
8
x 1;
7
x 1 1
x 2 8
7

8.

Решение квадратных уравнений
Способ, ради которого мы вообще все это затеяли :)
Удивите своих учителей!
Рассмотрим уравнение:
3x 2 7 x 2 0
a 1
Сумма
коэффициентов
не равна 0
Все указывает на дальнейшее
решение через дискриминант

9.

Решение квадратных уравнений
Рассмотрим уравнение:
3x 2 7 x 2 0
D 49 24 25
7 5
2
x
1
7 5
6
x12
6
x 7 5 1
2
3
6
x2 7x 6 0
D 49 24 25
x12
7 5
2

10.

Решение квадратных уравнений
Рассмотрим уравнение:
3x 2 7 x 2 0
x2 7x 6 0
1
3
6
3
Последовательность действий:
1. Добиваемся того, чтобы коэффициент перед х2 был положительным
2. Перебрасываем его (со знаком умножить) на свободный член
3. Решаем новое уравнение, используя теорему Виета (обратную)
4. Приписываем «прыгающий» коэффициент в знаменатель найденных корней
5. Пишем ответ

11.

Решение квадратных уравнений
Решить уравнение:
2 x 2 13 x 18 0
x 2 13 x 36 0
9
2
Ответ:
4
2
9
2;
2
Как же я раньше жил без этого?

12.

Решение квадратных уравнений
И еще один интересный способ решения.
Он особенно хорош при a=1 и четном b и это не D/4
x 2 8 x 180 0
Выделим полный квадрат (забыв про 180 вообще)
x 2 8 x x 4 16
2
Теперь вспомним про 180
x 2 8 x 180 x 4 2 16 180 x 4 2 196
x 4 142 x 4 14 x 4 14 x 18 x 10
2
x 18 x 10 0
x 18
x 10
Ответ:
18; 10

13.

Решение квадратных уравнений
Корни в уме подбирались, зачем тогда так сложно?
x 2 8 x 180 0
18 10
А если вот так ?
x2 8x 1 0
x 4 2 15 0
x 4
2
x 4
Ответ:
15 0
15 x 4
2
15 0
4 15; 4 15

14.

Умножение чисел
Как быстро возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 5 ?
25 25 2 3 25 625
35 35 12 25
75 75 56 25
145 145 210 25

15.

Умножение чисел
Как быстро умножать числа, разность которых равна 2 ?
11 13 12 1 12 1 144 1 143
24 26 25 1 25 1 625 1 624
17 19 18 1 18 1 324 1 323
Как быстро умножать числа, разность которых четная?
18 32 25 7 25 7 625 49 625 25 24 576

16.

Умножение чисел
Как возводить в квадрат любые числа?
26 26 20 6 2 400 240 36 676
37 37 30 7 2 900 420 49 1369
51 51 50 1 2500 100 1 2601
2
А вам слабо?
Как извлечь квадратный корень из числа (если мы точно знаем, что он есть)
2304 48
40 8
2
1600 640 64 2304
10 2 100
1 1 1
20 2 400
2 2 4
30 2 900
60 7 2 3600 840 49 4489
4 4 _6
40 1600
5 5 _ 5
50 2 2500
6 6 _6
2
4489 67
3 3 9
7 7 _ 9
60 2 3600
8 8 _ 4
70 4900
9 9 _1
2

17.

Умножение чисел
Умножение десятичных и обыкновенных дробей
7
3
21
7 0,0000021
0,07 0,00003
100 100000 10
108
12
9
0,012 0,0009
7 0,0000108
1000 10000 10
12 9
3 4 9
3
99 40
9 11 4 10 110
42 70 2 3 7 7 2 5
4
35 21
5 7 3 7
Is it legal?

18.

Вычисление процентов
Найти
2 7
20%
от
70
14
3 14
ЕГЭ близко!
30%
от
140
12%
от
50
50%
от
12
16%
от
25
25%
от
16
42
6
4

19.

Решение уравнений с модулем
Решить уравнение
3x x 1 2
Как учат в школе?
x 1 0
3 x x 1 2
x 1 0
3 x x 1 2
x 1
x 1
4
x
1
x 0,25
x 1
x 1 x 0,25
2 x 3
x 1.5
Как в школе не учат :) ?
x 1 2 3x
x 1 2 3x
x 1 3x 2
2 3 x 0
4 x 1
x 0,25
2 x 3
x 1,5
x 0,25
x 2
x 2
3
3