Системы уравнений и методы их решения

1.

И МЕТОДЫ ИХ
РЕШЕНИЯ

2.

В общем случае система m линейных
уравнений с n неизвестными (или
линейная система) имеет следующий
вид:
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 ,
a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n b2 ,
.........................................,
a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n bm .

3.

a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 ,
a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n b2 ,
.........................................,
a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n bm .
Здесь x1 , x2 ,..., xn - неизвестные.
Число неизвестных не обязательно
равно числу уравнений.
Величины a11 ,a12 ,...,amn называются
коэффициентами системы,
а величины b1 ,b2 ,...,bm называют
свободными членами.

4.

Система линейных уравнений называется
однородной, если все ее свободные
члены равны нулю.
Если хотя бы один из свободных членов
отличен от нуля, то система (1)
называется неоднородной.

5.

Система линейных уравнений
называется квадратной, если
число уравнений равно
числу неизвестных.

6.

Решением линейной системы (1)
называется такая совокупность
n чисел c1 ,c2 ,...,cn ,
которая при подстановке
в систему (1) на место
неизвестных x1 , x2 ,..., xn
обращает все уравнения
этой системы в тождества.

7.

Система линейных уравнений (1)
называется совместной, если
она имеет хотя бы одно решение,
и несовместной, если у нее
не существует ни одного решения.

8.

Совместная система называется
определенной, если она имеет
единственное решение,
и неопределенной, если у нее
существует, по крайней мере,
два различных решения.

9.

Две системы уравнений
называются равносильными
или эквивалентными, если
каждое решение одной системы
одновременно является
решением и другой системы.

10.

a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2 ,
.........................................,
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm .
ЛИНЕЙНОЙ
СИСТЕМЫ

11.

Весьма удобно записывать
линейную систему в
матричной форме.
Для этого составим три матрицы.

12.

Матрицу коэффициентов системы:
a11 a12
a 21 a 22
A
.... ....
a
m1 a m 2
.... a 1n
.... a 2 n
.... .... (2)
.... a mn
которая называется
основной матрицей системы.

13.

Вектор-столбец неизвестных:
x1
x2
X
.... (3)
x
n
и вектор-столбец свободных членов
b1
b2
B
....
bm
(4)

14.

Поскольку число столбцов
матрицы A равно числу строк
матрицы X, то их произведение
есть вектор-столбец:
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n
a 21 x 2 a 22 x 2 ... a 2 n x n
AX
....................................
a x a x ... a x
m2 2
mn n
m1 1
(5)

15.

Элементами полученной матрицы
являются левые части системы (1).
Теперь систему уравнений (1)
можно записать в виде AX=B (6)

16.

Решением матричного уравнения (6)
называется такой вектор-столбец X,
который при заданной матрице
коэффициентов A и заданном
вектор-столбце свободных членов B
обращает уравнение (6) в тождество.

17.

Введем в рассмотрение еще одну матрицу.
Дополним основную матрицу системы A
столбцом свободных членов и
получим новую матрицу размера mx(n+1):
a11 a12
a 21 a 22
AB
.... ....
a a
m1 m 2
b1
.... a 2 n b2
.... .... ....
.... a mn bm
.... a 1n
(7)
Эта матрица AB называется
расширенной матрицей системы.

18.

Теорема Кронекера-Капелли
Для того, чтобы система
линейных уравнений (1)
являлась совместной,
необходимо и достаточно,
чтобы ранг расширенной
матрицы этой системы
был равен рангу ее основной
матрицы.

19.

решения систем
n линейных
уравнений с n
неизвестными

20.

Рассмотрим частный случай
системы (1), когда число
уравнений равно числу
неизвестных m=n.
Используя матричную форму
записи, запишем линейную
систему в виде (6): AX=B.

21.

Если определитель основной матрицы
системы отличен от нуля ( det A 0 ),
то матрица A имеет обратную A 1 .

22.

Умножим обе части уравнения
слева на матрицу A 1 .
Тогда A 1 AX A 1B , или X A B . (9)
Уравнение (9) представляет собой
решение системы (6).
1

23.

xj
j
, j 1,2,..., n
Крамера

24.

Если определитель системы
n линейных уравнений с n неизвестными
отличен от нуля, то эта система совместна
и имеет единственное решение,
которое находится по формуле Крамера
xj
j
, j 1,2,...,n , где
определитель системы,
j - определитель,
получающийся из определителя
путем замены в нем j- того столбца
на столбец свободных членов.
-

25.

Если определитель системы равен нулю,
а хотя бы один из определителей
неизвестных j отличен от нуля,
то система совместна.

26.

Если равны нулю как
определитель системы,
так и все определители
неизвестных j ,
то система не определена.