Математика. Раздел 6. Метод координат в пространстве. Занятие 64

1.

Математика
Раздел 6. Метод координат в пространстве
Занятие 64.
Скалярное произведение
векторов

2.

Угол между векторами
A
a
а, b AOB
B
O
b
a
а, b а1 , b1
a1
b
где
O
b1
Если а b, то а, b 180
Если а b, то а, b 0
а а1 , b b1

3.

Угол между векторами
АВСDA1B1C1D1 – куб. Найти углы между данными векторами:
AС , АВ1 ???
AС , АВ1 САВ1
САВ1 равносторонний
А В1 С 60
Ответ : 60

4.

Угол между векторами
АВСDA1B1C1D1 – куб. Найти углы между данными векторами:
DС , АA1 ???
DD1 АA1
DС , АA1 DС , DD1 СDD1
DD1 DC
90
Ответ : 90

5.

Скалярное произведение
a
аb а b cos
b
АВСDA1B1C1D1 – куб c ребром равным 1. Найти скалярное произведение
векторов:
AС АВ1 ???
AС АВ1 AС АВ1 cos
60
AC 2 12 12 2
AC 2
AС АВ1 2 2 cos 60 2
1
1
2

6.

Скалярное произведение
АВСDA1B1C1D1 – куб c ребром равным 1. Найти скалярное произведение
векторов:
BС DА1 ???
BС DА1 BС DА1 cos
A1 D 2 12 12 2
A1 D 2
BC 1
M
DM BC
BС , DA1 DM , DA1 MDA1 180 45 135
BС DА1 2 1 cos135 cos135 cos(90 45 ) sin 45
2
1
2
2

7.

Свойства скалярного произведения
2
1. а а
2
2. а b b а
3.
4.
а b аb
а b c аb a c
5. аb 0 а 0 или b 0 или а b
6. Если a ( x1 ; y1 ; z1 ), b ( x2 ; y2 ; z 2 ),
то ab x1 x2 y1 y2 z1 z 2

8.

Свойства скалярного произведения
Вычислите скалярные произведения данных векторов:
a (1; 2; 3) b ( 4; 5; 6) с (7; 8; 9)
Решение:
1 4
a b 2 5 4 10 ( 18) 12
3 6
1 7
a с 2 8 7 ( 16) 27 18
3 9
4 7
b с 5 8 28 ( 40) ( 54) 122
6 9

9.

Свойства скалярного произведения
Проверить справедливость 4 свойства на примере векторов:
a ( 1; 3; 2) b (5; 2; 3) с (2; 2; 1)
Решение:
1 5 2 1 7
a b с 3 2 2 3 0 7 0 4 3
2 3 1 2 2
1 5 1 2
a b a с 3 2 3 2
2 3 2 1
5 6 6 ( 2) ( 6) ( 2) 3
а b c аb a c

10.

Свойства скалярного произведения
При каком t векторы a (t ; 4; 2) и b ( 5; 2; 3) перпендикулярны?
Решение:
а b аb 0
t 5
a b 4 2 5t 8 ( 6) 5t 2
2 3
5t 2 0
5t 2
t 2 : ( 5) 0,4
Ответ: t = 0,4

11.

Шмельков Владимир Юрьевич
преподаватель математики
ГБПОУ ЗКНО
Москва, 2021г.