Математика. Раздел 6. Метод координат в пространстве. Занятие 66. Уравнение плоскости

1.

Математика
Раздел 6. Метод координат в пространстве
Занятие 66.
Уравнение плоскости

2.

Уравнение поверхности в пространстве
Уравнение с тремя переменными задает в пространстве некоторую
поверхность , если координаты каждой точки этой поверхности
являются решением этого уравнения, и, наоборот, все решения
уравнения образуют точки этой поверхности.
Например:
2x y2 z 0
(2; 3; 5)
2 2 32 5 4 9 5 0
(верно)
(2; 3; 5) - решение уравнения
(1; 1; 2)
(1; 1; 2)
1 2 12 2 2 1 2 3 0
- нерешение уравнения
(не верно)

3.

Уравнение плоскости (общее)
Составим уравнение плоскости, проходящей через точку
и вектором нормали п ( А; В; С )
М ( x0 ; y0 ; z0 )
Вектор нормали к плоскости – это вектор, перпендикулярный плоскости
T ( x; y; z ) - произвольная точка из
п
T
п
п МT 0
п МT
М
п ( А; В; С )
МT ( x x0 ; y y0 ; z z0 )
A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0
Ax Ax0 By By0 Cz Cz 0 0
Ax By Cz Ax0 By0 Cz 0 0
D
Ax By Cz D 0

4.

Уравнение плоскости
Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку
и данным вектором нормали:
М (1; 6; 4) п (3; 2; 5)
МT ( x 1; y 6; z 4)
М (3; 2;0)
п (1;4; 3 )
МT ( x 3; y 2; z )
3( x 1) 2( y 6) 5( z 4) 0
( x 3) 4( y 2) 3 z 0
3 x 3 2 y 12 5 z 20 0
x 3 4 y 8 3z 0
3 x 2 y 5 z 29 0
x 4 y 3z 5 0
Ответ: 3 x 2 y 5 z 29 0
Ответ:
x 4 y 3z 5 0

5.

Уравнение плоскости
Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку
и данным вектором нормали:
М ( 5; 0; 3) п (0; 1; 2)
Ответ:
М (2; 3; 7) п (4;0; 1 )
Ответ:

6.

Уравнение плоскости в отрезках
x y z
1
a b c
x 0, y 0
y 0, z 0
x 0, z 0
где a, b, c
z
1
c
x
1
a
y
1
b
z c
(0; 0; c)
x a
(a; 0; 0)
y b
(0; b; 0)
c
b
a

7.

Уравнение плоскости
Построить изображение плоскости, заданной уравнением:
3 x 4 y z 24 0
3 x 4 y z 24
z
3x 4 y z
1
24 24 24
x y z
1
8 6 24
a 8
b 6
c 24
6
8
x
-24
y

8.

Уравнение плоскости
Построить изображение плоскости, заданной уравнением:
2x 5 y 9z 3 0
2 x 5 y 9 z 3
z
-3/2
2x 5 y 9z
1
3 3 3
2x 5 y
3z 1
3
3
x
y
z
1
3 / 2 3 / 5 1/ 3
a 3 / 2
b 3/ 5
c 1/ 3
1/3
3/5
x
y

9.

Уравнение плоскости
Построить изображение плоскости, заданной уравнением:
2 x 7 z 28 0
2 x 7 z 28
z
4
2x 7z
1
28 28
x z
1
14 4
a 14
OY ||
c 4
y
x
14

10.

Уравнение плоскости
Построить изображение плоскости, заданной уравнением:
5 y 3 z 30 0
z
y
x

11.

Шмельков Владимир Юрьевич
преподаватель математики
ГБПОУ ЗКНО
Москва, 2021г.