Использование метода координат в пространстве

1.

2. Исследование выполнил: ученик 11а класса сш№177 САБИРОВ ИЛЬДАР

Научный руководитель: учитель
математики высшей категории
Хабибуллина А.Я

3.

Координатный метод решения
заключается во введении (привязке к
исследуемым фигурам) декартовой
системы координат, а затем –
исчислении образующихся векторов
(их длин и углов между ними).
Мы уже хорошо знакомы с
векторами, координатами и их
свойствами. Цель моей работы:
научиться применять знания для
решения задач стереометрии (С2).

4. Алгоритм применения метода координат к решению геометрических задач сводится к следующему:

Выбираем в пространстве систему
координат из соображений удобства
выражения координат и наглядности
изображения.
Находим координаты необходимых для
нас точек.
Решаем задачу, используя основные
задачи метода координат.
Переходим от аналитических
соотношений к геометрическим.

5. В задании С2 чаще всего требуется найти:

угол между двумя скрещивающимися
прямыми,
угол между прямой и плоскостью,
угол между двумя плоскостями,
расстояние между двумя
скрещивающимися прямыми,
расстояние от точки до прямой,
расстояние от точки до плоскости.

6.

Углом между скрещивающимися прямыми называет ся
угол между двумя прямыми, параллельными им и
проходящими через произвольную т очку.
При нахождении угла между прямыми используют
формулу
или в координатной форме
q p
сos
q p
cos
x1 x2 y1 y 2 z1 z 2
x12 y12 z12 x22 y 22 z 22
для нахождения угла φ между прямыми m и l, если
векторы q x1 ; y1 ; z1 и p x2 ; y2 ; z 2 параллельны
соотвественно этим прямым; в частности, для того чтобы
прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и
достаточно, чтобы p q 0 или x1 x2 y1 y 2 z1 z 2 0 .

7. Задача на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.

Сторона основания правильной
четырехугольной призмы
ABCDA1B1C1D1 равна 2, высота —
4. Точка E — середина отрезка
CD, точка F — середина отрезка
AD. Найдите угол между
прямыми CF и B1E.

8. Решение

Поместим параллелепипед в
прямоугольную систему координат, как
показано на рисунке, и найдём искомый
угол как угол между векторами.
Выпишем координаты точек B1, E, C, F в
этой системе координат: B1 (0; 0; 4),
E(1; 2; 0), C (0; 2; 0), F (2; 1; 0).
z
B1
A1
C1
D1
Тогда СF {2; -1; 0}, B E {1; 2; -4}. Найдём
1
угол между этими векторами по
формуле:
С
B
у
cos
E
А
х
F
D
сos
x1 x2 y1 y1 z1 z 2
x y1 z12 x22 y 22 z 22
2
1
2
2 1 1 2 0 ( 4)
2 ( 1) 1 2 ( 4)
2
То есть искомый угол α=90˚.
Ответ: 90˚.
2
2
2
2
0

9. Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Углом между плоскост ью и не перпендикулярной
ей прямой называется угол между этой прямой и её
проекцией на данную плоскость.
Угол между прямой l и плоскостью α можно
вычислить:
(M ; )
1) по формуле sin sin(l; )
, гдеM l , l A ;
AM
2) по формуле sin
sin
n p
n p
или в координатах
x1 x2 y1 y 2 z1 z 2
x12 y12 z12 x22 y 22 z 22
, где
n x1 ; y1 ; z1 - вектор нормали к плоскости α,
p x2 ; y2 ; z2 - направляющий векор прямой l

10. Задача на нахождение угла между прямой и плоскостью.

В прямоугольном
параллелепипеде
ABCDA1B1C1D1 рёбра АВ и АА1
равны 1, а ребро АD=2. Точка Е
– середина ребра В1С1.
Найдите угол между прямой
ВЕ и плоскостью АВ1С.

11. Решение

Для решения этой задачи необходимо
воспользоваться уравнением плоскости,
имеющим общий вид
ах+bу+cz+d=0, где a, b и c – координаты
нормали к плоскости.
Чтобы составить это уравнение,
необходимо определить координаты трёх
точек, лежащих в данной плоскости: А(1;
0; 0), В1(0;0;1), С(0;2;0).
Решая систему
а d 0,
c d 0,
2b d 0,
находим коэффициенты а, b и с уравнения ах+bу+cz+d=0: а=-d,
d
b= , c=-d. Таким образом, уравнение примет вид
2
d
dx y dz d 0 или, после упрощения, 2х+у+2z-2=0. Значит
2
нормаль n к этой плоскости имеет координаты
n 2;1;2 .

12.

Длину вектора легко найти
2
2
ВЕ
ВВ
В
Е
2
геометрически:
1
1
Но его координаты нам всё равно
необходимы. Из простых вычислений
находим, что BE 0; 1; 1 .
Найдем угол между вектором и
нормалью к плоскости по формуле
скалярного произведения векторов:
sin
x1 x2 y1 y 2 z1 z 2
1 1 1 2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x1 y1 z1 x2 y 2 z 2
2 3 2
2 2 1 2
Ответ: 45˚

13. Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного

Двугранный угол, образованный полуплоскост ями
измеряет ся величиной его линейного угла,
получаемого при пересечении двугранного угла
плоскост ью, перпендикулярной его ребру.
Угол между двумя пересекающимися плоскостями можно
вычислить:
(M ; )
, гдеM , l
1) по формуле sin ( , )
(М ; l )
n1 n2
2) как угол между нормалями по формуле
сos ( , )
или в координатной форме cos ( , )
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1C 2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
где n1 A1 ; B1 ; C1 - вектор нормали плоскости А1х+В1у+С1z+D1=0,
n1 A1 ; B1 ; C1 - вектор нормали плоскости A2x+B2y+C2z+D2=0.

14. Задача на нахождение угла между двумя плоскостями.

В единичном кубе
АВСDA1В1С1D1 найдите угол
между плоскостями АD1 Е и
D1FC, где точки Е и F-
середины ребер А1В1 и В1С1.

15.

Решение.
Введём прямоугольную систему координат.
Тогда А(0;0;0), С(1;1;0), D1(1;0;1), E(0;0,5;1),
F(0,5;1;1).
1) Решая систему
a 0 b 0 c 0 d 0,
a c d 0,
0,5b c d 0
составляем уравнение плоскости АD1E:
x+2y-z=0.
2) плоскость CFD1:
a c d 0,
отсюда находим
0,5a b c d 0,
a b d 0
уравнение 2x+y+z-3=0.
Найдём искомый угол как угол между нормалями плоскостей:
n 1;2; 1 , m 2;1;1 cos
Ответ: 60˚
n m
2 2 1 1
, откуда φ=60˚
6 6 2
n m

16.

Расстояние между точками А и В
можно вычислить:
1) по формуле
( А; В)
х
х1 у 2 у1 z 2 z1 ,
2
2
2
где A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2);
2
2) по формуле AB AB .
2

17. Задача на нахождение расстояния между двумя точками.

В основании пирамиды SABCD
лежит ромб со стороной 2 и острым
углом в 60˚. Боковое ребро SA
перпендикулярно основанию
пирамиды и равно 4. Найдите
расстояние от середины Н ребра SD
и серединой М ребра ВС.

18.

Решение.
Поместим пирамиду в
прямоугольную систему координат, как
показано на рисунке. Найдём координаты
точки Н как координаты середины отрезка
SD: S(0; 0; 4), D(0; 2; 0).
х
0 0
0 2
4 0
0, у
1, z
2 H (0;1;2)
2
2
2
Чтобы найти координаты точек В и С,
найдём координаты их проекций на оси.
АВх=ACx=2·cos30˚= 3 ,
ABy=ACу–2=2·cos60˚=1.
Отсюда В( 3 ;1;0), С( 3 ;3;0). Тогда координаты точки М равняются:
3 3
1 3
0 0
х
3, у
2, z
0 М ( 3;2;0)
2
2
2
Теперь находим расстояние между точками, заданными своими
координатами:
2
2
2
2
( Н ; М ) х2 х1 у2 у1 z 2 z1 3 12 ( 2) 2 8 2 2
Ответ:
2 2

19. Задача.

В единичном кубе АВСDA1В1С1D1
точки Е и К – середины ребер АА1 и СD
соответственно, а точка М расположена на
диагонали В1D1 так, что В1М = 2МD1.
Найдите расстояние между точками Q и L,
где Q – середина отрезка ЕМ, а L – точка
отрезка МК такая, что ML=2LK.

20.

Решение.
Введём декартову систему координат.
E(1;0;0,5), K(0,5;1,0), В1(0;0;1), D1(1;1;1).
Чтобы вычислить координаты т.М,
воспользуемся формулой для нахождения
координат точки, которая делит отрезок B1D1
в отношении λ=2:1:
xM
0 2 1 2
2
1 2
2 2
, уМ , zM
1 M ( ; ;1)
1 2
3
3
1 2
3 3
Аналогично находим координаты точки L:
2
2
2 0,5
2
5
8
1
5 8 1
3
3
xL
, yL
, z L L( ; ; )
2 1
9
3
9
3
9 9 3

21.

Координаты точки Q находим
по формуле координат
середины отрезка:
5 1
Q( ; ;1)
6 3
(Q; L)
х
х1 у2 у1 z 2 z1
2
2
13
Ответ:
.
18
2
.
2
2
2
2
169 13
5 5 2
324 18
18 9 3

22. Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на

Расст ояние от т очки до плоскост и, не
содержащей эту точку, есть длина отрезка
перпендикуляра, опущенного из этой точки на
плоскость.
Расстояние от точки М до плоскости α
r
1
r1
1) вычисляется по формуле
, где ρ=ρ(М;α),
ρ1=ρ(М1;α), ОМ=r, ОМ1=r1, ММ1∩α=0; в частности, ρ=ρ1,
если r=r1: прямая m, проходящая через точку М,
пересекает плоскость α в точке О, а точка М1 лежит на
прямой m;
2) вычисляется по формуле ( М ; )
aх0 bу0 cz 0 d
a b c
2
где М(х0;у0;z0), плоскость α задана уравнением
ax+by+cz+d=0;
2
2
,

23.

Задача на нахождение
расстояния от точки до
плоскости.
В кубе АВСDA1B1C1D1
проведена диагональ B1D. В каком
отношении, считая от вершины
B1, плоскость А1BC1 делит
диагональ B1D?

24.

Решение.
Составим уравнение плоскости А1BC1 и
найдём расстояние от этой плоскости до
каждой из точек B1 и D. Пусть l – ребро куба.
В(0;0;0), А1(l;0;l), С1(0;l;l).
d 0,
la lz d 0,
lb lc d
Решив систему
определяем, что уравнение плоскости имеет
вид: x+y–z=0 → а=1, b=1, c= –1. B1(0;0;1), D(1;1;0).
Теперь найдём расстояние от каждой точки до
плоскости по формуле
2 3
( М ; )
1 : 2
aх0 bу0 cz 0 d
a2 b2 c2
2 1
:
2 :1
3 3
Ответ: 2:1.
1 ( D; А1С1 В)
3
3
2 ( B1 ; А1С1 В)
3

25. Задача. Основание прямой призмы АВСА1В1С1 – равнобедренный треугольник АВС, основание АС и высота ВD которого равны 4. Боковое

ребро равно 2. Через
середину К отрезка В1С проведена
плоскость, перпендикулярная к
этому отрезку. Найдите расстояние
от вершины А до этой плоскости.

26.

Решение.
Выберем систему координат как показано
на рисунке и выпишем координаты вершин
данной призмы и точки К в этой системе
координат: А(0;–2;0), В(0;0;0), С(0;2;0),
В1(4;0;2), К(2;1;1). Тогда В1С 4;2; 2 .
Этот вектор перпендикулярен плоскости,
значит, он является его нормалью. К тому
же плоскость проходит через точку К. То
есть уравнение плоскости имеет вид
–2(x–2)+2(у–1)–2(z–1)=0 или, после
упрощения, 2x–y+z-4=0.
Теперь находим расстояние от т.А(0;-2;0) до плоскости:
( А; )
Ответ:
aх0 bу0 cz 0 d
a2 b2 c2
6
3
.
2 ( 1) 4
2 2 ( 1) 2 1
2
6
3
6

27. Как вы видите, все те соотношения, которые при решении традиционным методом даются с большим трудом (через привлечение большого

количества вспомогательных теорем),
координатным методом получаются в ходе
несложных алгебраических вычислений. Нам не
нужно задумываться, к примеру, как проходит та
или иная плоскость, как упадет перпендикуляр,
опущенный из данной точки на плоскость, каким
образом скрещивающие прямые перенести, чтобы
они были пересекающимися и т.д. Нам просто надо
поместить тело в прямоугольную систему
координат, определить координаты точек, векторов
или плоскостей и воспользоваться формулой.

28. Благодарим за внимание!