Бесконечно малые величины

1.

Функция f(x) называется бесконечно малой
величиной, если при
x x0
или при x ее предел равен нулю:
lim f ( x) 0
x x0
или
lim f ( x) 0
x

2.

Функция
y cos x
является бесконечно малой величиной при
x
поскольку
2
lim cos x 0
x
2

3.

Если функция f(x) имеет при
x x0 или при x
предел, равный А, то ее можно
представить в виде суммы этого
числа А и бесконечно малой
величины
(x) при x x0 или x
lim f ( x) A
x x0
x
f ( x) A ( x)

4.

Проведем доказательство для случая
x x0
По условию
lim f ( x) A , следовательно
x x0
для любого, сколь угодно малого числа ε>0,
найдется такое положительное число δ, что
при всех х, таких что
|x-x0|<δ, выполняется неравенство:
f ( x) A

5.

f ( x) A ( x)
(x) , а это означает, что
Обозначим:
Тогда
lim ( x) 0
x x0
Следовательно, по определению,
(x)
является бесконечно малой величиной при
x x0

6.

Верна и обратная
Если функцию f(x) можно
представить как сумму числа А
и бесконечно малой величины
(x) при x x0 или x
то число А является пределом
этой функции при
x x0 или при x
f ( x) A ( x) lim
f
(
x
)
A
x x
0
x

7.

1
Алгебраическая сумма бесконечно
малых величин есть величина
бесконечно малая.

8.

2
Произведение бесконечно малой
величины на ограниченную функцию
есть величина бесконечно малая.
3
Частное от деления бесконечно малой
величины на функцию, предел которой
отличен от нуля, есть величина
бесконечно малая.

9.

Пусть
( x) 5x 10 ( x) lg( x 1)
являются бесконечно малыми величинами
при
x 2
поскольку
lim (5x 10) 0
x 2
lim lg( x 1) 0
x 2
Функция
f ( x) sin x

10.

является
ограниченной
промежутке, поскольку
на
любом
sin x 1
( x) x 5
Функция
2
x 2
имеет предел при
lim ( x 5) 1
2
x 2
Тогда функции
( x) ( x) 5x 10 lg( x 1)

11.

( x) f ( x) (5x 10) sin x
( x) f ( x) lg( x 1) sin x
( x) ( x) (5x 10) lg( x 1)
( x) 5 x 10
2
( x) x 5
являются бесконечно малыми величинами
при
x 2

12.

Предел отношения двух бесконечно малых
величин
( x)
lim
x x
0
x
( x)
может быть равен нулю, тогда α(х)
называется бесконечно малой более
высокого порядка, чем β(х);
может быть равен числу А, не равному
нулю, тогда α(х) и β(х) имеют одинаковый
порядок малости;
может быть равен бесконечности, тогда
α(х) называется бесконечно малой более
низкого порядка, чем β(х).