Стереометрия

1.

Стереометрия

2.

Параллельность плоскостей

3.

ввести определение параллельных
плоскостей;
изучить взаимное расположение
плоскостей в пространстве;
сформулировать признаки
параллельных плоскостей (Т9 и задача);
изучить свойства параллельных
плоскостей;
применить полученные сведения при
решении задач.

4.

Определение
Две плоскости называются параллельными, если
они не пересекаются.
Плоскости
Пересекаются
Параллельны
α
α
β
β
α∩β
α || β

5.

6.

7.

8.

Теорема 9 (признак параллельности плоскостей)
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости
соответственно параллельны двум прямым другой
плоскости, то эти плоскости параллельны.
а
М
b
α
а1
β
М1
b1

9.

Задача (признак параллельности)
Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две
пересекающие прямые m и n плоскости α
плоскости β .
Дано: т ∩ п = К, т Є α, п Є α,
т || β, п || β.
Доказать: α || β.
т К
α∩β=с
1) Допустим, что ___________
α
п || β, т || β
2) Так как __________________,
т || с и п || с
то ______________________.
параллельны
п
с
β
3) Получаем, что
через
точку К проходят две прямые параллельные прямой с.
______________________________________________________.
Вывод:
α || β

10.

, то
Признак параллельности трех плоскостей
Если две плоскости и
плоскости
и
параллельны
параллельны.

11.

.
Свойства параллельных плоскостей:
а
1. Если две параллельные плоскости
пересечены третьей, то линии их
пересечения параллельны.
b

12.

С
а
А
2. Отрезки параллельных прямых,
заключенные между параллельными
плоскостями, равны.
D
b
В
АВ = СD

13.

Задача. ЕМС = МСА и РЕВ = ЕВС. Докажите, что
плоскости МЕР и АВС параллельны.
D
Р
М
Е
В
А
С

14.

Отрезок СD лежит в плоскости . Концы отрезка ЕМ лежат
на параллельных плоскостях и . Постройте линии
пересечения плоскостей ЕСD, ЕМС и ЕМD с плоскостью .
Е
М
D
С

15.

Концы отрезков АВ и СD лежат на параллельных плоскостях
и . Постройте линии пересечения плоскости АВС с
плоскостью и плоскости ВDC с плоскостью .
А
В
С
D

16.

Отрезки АВ и СD лежат соответственно в параллельных
плоскостях и . Что можно сказать о взаимном
расположении прямых АD и ВС?
В
А
С
D
АD BC

17.

Плоскости
и
и
параллельны, aIIa1. Прямая a пересекает
соответственно в точках А и В, а прямая a1
пересекает плоскость в точке А1. Постройте точку
пересечения a1 с плоскостью
A a
B
a1
A1
B1
.
Поясните.

18.

Задача. Точка В не лежит в плоскости треугольника АDC, точки
М, P, N – середины сторон АВ, ВС, ВD соответственно.
а) Докажите, что плоскости
B
МРN и АCD параллельны.
б) Найдите площадь
треугольника МPN, если
площадь треугольника АСD
равна 48 см2.
N
M
P
C
A
D

19.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?
Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они
параллельны?
Плоскости и β параллельны, прямая m не лежит в плоскости .
Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β?
Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух
параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет
одну общую точку?
Боковые стороны трапеции параллельны плоскости . Верно ли,
что плоскость трапеции параллельна плоскости ?
Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут
ли эти стороны быть боковыми сторонами трапеции?
Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в
одной плоскости, параллельна другой плоскости?
Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна
одной из этих плоскостей?
Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости?
Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны
плоскости , то и третья сторона параллельна плоскости ?

20.

Проверяем свою работу
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек? Да
Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они
параллельны? Нет
Плоскости и β параллельны, прямая m не лежит в плоскости .
Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β? Да
Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух
параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет
одну общую точку? Нет
Боковые стороны трапеции параллельны плоскости . Верно ли,
что плоскость трапеции параллельна плоскости ? Да
Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут
ли эти стороны быть боковыми сторонами трапеции? Нет
Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в
одной плоскости, параллельна другой плоскости? Нет
Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна
одной из этих плоскостей? Нет
Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости? Нет
Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны
плоскости , то и третья сторона параллельна плоскости ? Да