Вычисление площади криволинейной трапеции

1. Вычисление площади криволинейной трапеции

Применение определенного интеграла
для нахождения площади
криволинейной трапеции.

2.

Найдите производную и одну из
первообразных функции
f'(x)
1
0
х
2Cos2x
22 ln2
х
f(x)
х
х
2х
Sin2x
F(x)
х3
12 2
х x
Соs2
2 ln22
x2
3

3. Определенный интеграл

b
f x dx F x
b
a
F b F a
a
– формула Ньютона-Лейбница.
Геометрический смысл определенного интеграла
заключается в том, что определенный интеграл
равен площади криволинейной трапеции:
ограниченной кривой у = f(x),
прямыми х = а; х = b и осью Ох, у = 0 .

4.

Криволинейная трапеция
Криволинейной трапецией называется фигура,
ограниченная графиком одной непрерывной
функцией f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком
[а;b] на оси Ох.
У
0
a
x=b
х=а
y = f(x)
b
Х

5.

На каком рисунке изображена
криволинейная трапеция?
y
1.
2.
y
x
x
3.
y
4.
x
y
x

6. Какие из данных фигур являются криволинейными трапециями?

1
2
3
у
y
y
y = f(x)
0
a
b
х
a
0
y
b
c
4
0
b
b x
y
y = f1(x)
b
x
0
0
a
y
a
a
x
y = f2(x)
0
x
5
a
b x
6

7. Площадь криволинейной трапеции

y
D
C
b
S ABCD f x dx
a
a
b
B
x=b
x=a
0
A
F b F a
y=0
x

8. Площадь криволинейной трапеции

y
B
b
y=0
x
b
S ABCD
f x dx
D
C
x=b
a
x=a
0
A
a
F b F a

9.

y
Площадь криволинейной
трапеции
D
0
A
a
C
S PMCD S ABCD S ABMP
B
b
b
b
x
f x dx g x dx
a
a
b
b
а
a
f ( x)dx g ( x)dx
P
M

10.

y
Площадь криволинейной
трапеции
D
C
S PMCD S ABCD S ABMP
P
0
Aa
M
b B
b
b
a
a
f x dx g x dx
f x g x dxx
b
a

11. Пример 1:

вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y = x2, y = x + 2.
y
SВОС SABCD SABOCD
C
2
2
1
1
x 2 dx x 2 dx
B
A
-1
2
2
x
x
х 2 х 2 dx 2x
3
2
1
O
D
2
2
3
2
1
8 1
1
1
2 4 2 5 4,5
3 2
3
2
x

12.

y
Площадь криволинейной
трапеции
SАЕDВ SAEDC SСDB
D
с
b
a
с
f x dx g x dx
Е
0
Aa
с
C
b
B
x

13.

вычислить площадь фигуры,
Пример 2:
ограниченной линиями
y = (x – 2)2, y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0
y
4
0
SАDВ SADС SСDB
D
A
2
4
C
8
B
x

14.

вычислить площадь фигуры,
Пример 2:
ограниченной линиями
y = (x – 2)2, y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0
4
8
x - 2 dx 2
2
2
3 4
x 2
8 - хdx
3
4
4 8 x 8 x
3
2
8
4
4 2 3 2 2 3 4 8 8 8 8 4 8 4 8 4
3
3
3
3
8 х t
dx dt
1
2
2 t dt 2 t dt
3
2
t
4
2 (8 x) 3
3
3
2
8 32 40
1
13
3 3
3
3

15. Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции y = (x-1)2, осью Ox и прямой x=2.

y x 1
2
1
0
1
01
x=2
y
12
x

16.

Найти площадь криволинейной трапеции,
изображенной на рисунке
У=х²
y
b
S
f ( x ) dx
a
3
S
х 2 dx F (3) F (1)
1
33 13
2
8 ( кв.ед)
3
3
3
1
0
1
3
x

17.

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у
1
S ( x 2 2)dx
2
3
x
1
( 2 x) 2
3
1
8
2 ( 4)
3
3
х
-2
0
1

18. Вычисление площадей плоских фигур

Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями y=x-2 и y=x2-4x+2
y
1.
y=x2-
4x+2, xв =2, yв = -2
2. у=х-2: х=0, у=-2; х=2, у=0
3. Абсциссы точек пересечения:
x2- 4x+2=x-2
х1=1, х2=4
4
4. S= ((x 2)
( х 2 4 x 2))dx
1
4
2
3
4
5x
x
(5 x x 4)dx (
4 x) 4,5
2
3
1
1
Ответ: S=4,5
1
2
-2
4
x

19.

Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
у
х
-2
3
у = х2 - 3

20.

Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
у
S1
S2
х

21.

Найти площадь криволинейной трапеции,
изображенной на рисунке
y
I
1
0
I
-1
y=sinx
2
x