Нелинейная динамика. Лекция 4

1. Нелинейная динамика

Лекция 4

2. Методы анализа нелинейных систем

Точное интегрирование дифференциальных уравнений
- Уравнения, интегрируемые непосредственно
dny
d n 1 y
f ( x)
f ( x)dx C1
n
n 1
dx
dx
- Линейное уравнение
dy
P( x) y Q( x)
dx
- Уравнение, сводящееся к линейным
dy
P( x) y Q( x) y n
dx
2

3. Методы анализа нелинейных систем

- Уравнение с разделяющимися переменными
P ( x) R ( y )dx S ( x)Q ( y )dy 0
- Уравнение второго порядка, не содержащее зависимой
переменной в явном виде
dy d 2 y
F t, , 2 0
dt dt
- Уравнение второго порядка, не содержащее независимой
переменной в явном виде
dy d 2 y
F y, , 2 0
dt dt
3

4. Методы анализа нелинейных систем

- Уравнение второго порядка, сводящиеся к эллиптическим
функциям
Метод припасовывания
4

5. Эллиптические интегралы

k – модуль интеграла
2
R
–
рациональная
функция
двух своих аргументов
– дополнительный
модуль
k
1
k
R
(
z
,
w
)
dz
n - параметр
w2=P(z), где P(z) – полином 3ей или 4ой степени
dt
z
0
(1 t )(1 k t )
2
1 k t
dt
2
0
1 t
z
Неполные эллиптические интегралы
в нормальной форме Лежандра
2 2
2 2
z sin ,
t sin
z
dt
0
(1 nt ) (1 t )(1 k t )
2
F ( , k )
0
2 2
1 k 2 sin 2 )
E ( , k ) 1 k 2 sin 2 ) d
2
d
П ( , n, k )
0
0
d
(1 n sin 2 ) 1 k 2 sin 2 )
5

6. Полные эллиптические интегралы

/2
K (k ) F ( , k )
0
2
d
1 k sin )
2
dt
1
2
0
(1 t 2 )(1 k 2t 2 )
2 2
1
k
t
E (k ) E ( , k ) 1 k 2 sin 2 ) d
dt
2
0
0
2
1 t
/2
d
П ( n , k ) П ( , n, k )
2
2
2
0 (1 n sin ) 1 k sin )
2
/2
1
dt
0
(1 nt 2 ) (1 t 2 )(1 k 2t 2 )
1
6

7. Эллиптические функции

Эллиптические функции – функции обратные к эллиптическим
интегралам
Амплитуда Якоби
d
u F ( , k )
am(u , k )
2
2
0
1 k sin )
Функции Якоби
sn(u , k ) sin( ) sin( am(u, k )) - эллиптический синус
cn(u , k ) cos( ) cos( am(u, k )) - эллиптический косинус
d am(u , k )
2
2
dn(u , k )
dn(u , k ) 1 k sn (u , k )
du
7

8. Уравнение движения маятника

1 2
T J
2
2 g / l
П mga cos
1 2
2 cos h
2
h 2 cos
Рассмотрим случай колебаний
Сделаем замену:
2 2 2 (cos cos )
k1 sin / 2
sin( / 2) k1 sin
2 2 (1 k12 sin 2 )
d
(1 k12 sin 2 )
dt
d
(1 k sin )
2
1
2
dt
8

9. Уравнение движения маятника

d
(1 k sin )
2
2
t
o
2
1
2
d
(1 k sin )
2
1
2
F ( , k1 )
(1 k sin )
2
1
2
dt
am( t , k1 )
sin( / 2) k1 sin
2 arcsin(k1 sin ) 2 arcsin( k1 sin( am( t , k1 )))
2 arcsin(k1 sn( t , k1 ))
Период sn(u,k) равен 4K(k)
T
4 K (k1 )
9

10.

10