Обчислення невизначених інтегралів різними методами інтегрування

1.

Обчислення невизначених
інтегралів різними методами
інтегрування
Практичне заняття
Т-18 д

2. План

1.Первісна и невизначений інтеграл
2. Властивості невизначеного інтеграла.
3. Таблиця невизначених інтегралів.
4.Основні прийоми знаходження
невизначеного інтеграла:
- Безпосереднє інтегрування;
- Метод заміни змінної;
- Інтегрування частинами.

3. 1. Первісна і невизначений інтеграл

Функція F (x)
називається первісною для функції
f (x) , якщо її похідна або
диференціал задовольняє умову
F ( x) f ( x) ,
або
Визначення.
dF ( x) f ( x)dx .

4. Первісна і невизначений інтеграл

Кожна неперервна функція, що інтегрується, має
нескінченну безліч первісних, що відрізняються на
сталу С:
F ( x) C
F ( x) f ( x)
(1)
Знаходження цих первісних називається
інтегруванням.
Сукупність усіх первісних для функції
називається невизначеним інтегралом:
f ( x)dx F ( x) C ,
(2)

5. 2. Властивості інтегралу, які витікають із визначення

Невизначений інтеграл від диференціала
непрервно диференціюємої функції
дорівнює самій цій функції
1.
d ( x) ( x)dx ( x) C,
так як (x )
є первісною для (x).

6. Властивості інтегралу

Сформулюємо далі наступні властивості
невизначеного інтегралу:
2.Якщо функції f1 x і f 2 x мають первісні, то
функція f1 x f 2 x також має первісну, при
цьому:
f x f x dx f x dx f x dx
1
2
1
F 1( x) F 2( x) C ;
3. Kf x dx K f x dx ;
4.
f kx b dx 1 / kF(kx b) C
2

7. 3. Таблиця невизначених інтегралів

1. dx x C .
2.
3.
6. sin xdx cos x C .
n 1
x
x n dx
C.
n 1
7. cos xdx sin x C .
dx
ln x C .
x
dx
8. 2 ctgx C .
sin x
x
a
4. a x dx
C .
ln a
5. e x dx e x C .
9.
10.
dx
cos 2 x tgx C .
dx
1 x 2 arctgx C .

8. Таблиця невизначених інтегралів

11.
12.
13.
dx
1 x
arcsin x C
dx
a x
2
15.
dx
1
a x
a 2 x 2 2a ln a x C .
2
dx
1
x
a 2 x 2 a arctg a C
2
x
arcsin C
a
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
14.
16.
dx
x2 a
ln x x 2 a C

9. 4. Методи інтегрування

10. 1. Метод безпосереднього інтегрування

• Приклад 1. Обчислити x 2 3x 3 x 1 dx
• Рішення. Так як під знаком інтегралу
знаходиться сума чотирьох доданків, то
розкладуємо інтеграл на суму чотирьох
інтегралів:
2 3x3 x 1 dx x 2 dx 3 x3dx xdx dx .
x
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2

11.

Приклад 2
1
3
3
2
2
x
x
dx
2
xdx
x
dx
3
x
dx
3
x
1
1 1
2
x 3
x
x
C3
2 C1
C2 3
1 1
2
1 1
2
3
1
1
2
2
93 2
2
93 2
2
x x x
x 2C1 C2 3C3 x x x
x C
3
2
3
2
2

12.

Приклад 3
1
1
ctg x x C
dx
dx
ctg
xdx
sin 2 x 1 dx sin 2 x
2
Приклад 4
dx
dx
dx
sin 2 x cos2 x
sin 2 x cos2 x sin 2 x cos2 x dx cos2 x sin 2 x
tg x ctg x C

13. 2. Метод заміни змінної (спосіб підстановки).

Застосовується наступна формула:
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt ,
(4)
де x (t ) - диференційована функція ,
а
t - нова змінна.

14.

• Приклад 5 . Обчислити :
2x t
d (2 x) dt
cos2 xdx 2dx dt
1
dx dt
2
1
1
1
costdt sin t C sin 2 x C
2
2
2

15.

Приклад 6 . Обчислити :
1 3х t ,
d (1 3 x) dt
1
1 dt 1
1
(1 3x)7 dx 3dx dt , 3 t 7 3 ( 6t 6 ) C
1
dx dt
3
1
1
6 C
C
6
18t
18(1 3 x)

16.

Приклад 6 . Обчислити :
2 ln x 3 dx
3
x
t 2 ln x 3
1
3
2
t
dt
dt dx
2
x
1
1 4
4
t C 2 ln x 3 C
8
8

17. 3. Метод інтегрування частинами

udv uv vdu
(3)
Інтеграли І-го типу:
n
n x
x
sin
xdx
x
, де n 1,2...k ; e dx , де n 1,2...k ,
n 1
n
du
nx
dx , а,
x
u
вводять позначення:
, тоді
наприклад sin xdx dv ,тоді v cos x .
Інтеграли ІІ-го типу:
n
n
x
arctgxdx
x
, ln xdx , де n 0, 1, 2,... k .
позначають за u функцію arctgx , ln x , а за
dv беруть x n dx .

18.

udv uv vdu
Приклад 7. Обчислити x cos xdx .
Розв’язання.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

19.

Приклад 8. Обчислити
dx
u ln x, du
2
2
x
x
x dx
=
ln x
x ln xdx
2
2
2 x
x
dv xdx, v
2
2
2
2
x
1
x
1x
ln x xdx ln x
C
2
2
2
2 2
.
2
2
x
x
ln x С.
2
4

20.

Домашнє завдання:
- Опрацювати лекцію за посиланням:
https://drive.google.com/file/d/1aresnkQDQA
2Y9v5qCJMFjidEEUE2ScWL/view?usp=sha
ring ст. 97-102
- Розв’язати інтеграли:
1 6
а) 5 x 4 dx;
х
x
1
в)
dx;
3
(1 5 x)
б ) cos x sin xdx
7
г ) ( x 5) sin xdx.