План
1. Первісна і невизначений інтеграл
Первісна і невизначений інтеграл
2. Властивості інтегралу, які витікають із визначення
Властивості інтегралу
3. Таблиця невизначених інтегралів
Таблиця невизначених інтегралів
4. Методи інтегрування
1. Метод безпосереднього інтегрування
2. Метод заміни змінної (спосіб підстановки).
3. Метод інтегрування частинами
592.00K
Категория: МатематикаМатематика

Обчислення невизначених інтегралів різними методами інтегрування

1.

Обчислення невизначених
інтегралів різними методами
інтегрування
Практичне заняття
Т-18 д

2. План

1.Первісна и невизначений інтеграл
2. Властивості невизначеного інтеграла.
3. Таблиця невизначених інтегралів.
4.Основні прийоми знаходження
невизначеного інтеграла:
- Безпосереднє інтегрування;
- Метод заміни змінної;
- Інтегрування частинами.

3. 1. Первісна і невизначений інтеграл

Функція F (x)
називається первісною для функції
f (x) , якщо її похідна або
диференціал задовольняє умову
F ( x) f ( x) ,
або
Визначення.
dF ( x) f ( x)dx .

4. Первісна і невизначений інтеграл

Кожна неперервна функція, що інтегрується, має
нескінченну безліч первісних, що відрізняються на
сталу С:
F ( x) C
F ( x) f ( x)
(1)
Знаходження цих первісних називається
інтегруванням.
Сукупність усіх первісних для функції
називається невизначеним інтегралом:
f ( x)dx F ( x) C ,
(2)

5. 2. Властивості інтегралу, які витікають із визначення

Невизначений інтеграл від диференціала
непрервно диференціюємої функції
дорівнює самій цій функції
1.
d ( x) ( x)dx ( x) C,
так як (x )
є первісною для (x).

6. Властивості інтегралу

Сформулюємо далі наступні властивості
невизначеного інтегралу:
2.Якщо функції f1 x і f 2 x мають первісні, то
функція f1 x f 2 x також має первісну, при
цьому:
f x f x dx f x dx f x dx
1
2
1
F 1( x) F 2( x) C ;
3. Kf x dx K f x dx ;
4.
f kx b dx 1 / kF(kx b) C
2

7. 3. Таблиця невизначених інтегралів

1. dx x C .
2.
3.
6. sin xdx cos x C .
n 1
x
x n dx
C.
n 1
7. cos xdx sin x C .
dx
ln x C .
x
dx
8. 2 ctgx C .
sin x
x
a
4. a x dx
C .
ln a
5. e x dx e x C .
9.
10.
dx
cos 2 x tgx C .
dx
1 x 2 arctgx C .

8. Таблиця невизначених інтегралів

11.
12.
13.
dx
1 x
arcsin x C
dx
a x
2
15.
dx
1
a x
a 2 x 2 2a ln a x C .
2
dx
1
x
a 2 x 2 a arctg a C
2
x
arcsin C
a
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
14.
16.
dx
x2 a
ln x x 2 a C

9. 4. Методи інтегрування

10. 1. Метод безпосереднього інтегрування

• Приклад 1. Обчислити x 2 3x 3 x 1 dx
• Рішення. Так як під знаком інтегралу
знаходиться сума чотирьох доданків, то
розкладуємо інтеграл на суму чотирьох
інтегралів:
2 3x3 x 1 dx x 2 dx 3 x3dx xdx dx .
x
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2

11.

Приклад 2
1
3
3
2
2
x
x
dx
2
xdx
x
dx
3
x
dx
3
x
1
1 1
2
x 3
x
x
C3
2 C1
C2 3
1 1
2
1 1
2
3
1
1
2
2
93 2
2
93 2
2
x x x
x 2C1 C2 3C3 x x x
x C
3
2
3
2
2

12.

Приклад 3
1
1
ctg x x C
dx
dx
ctg
xdx
sin 2 x 1 dx sin 2 x
2
Приклад 4
dx
dx
dx
sin 2 x cos2 x
sin 2 x cos2 x sin 2 x cos2 x dx cos2 x sin 2 x
tg x ctg x C

13. 2. Метод заміни змінної (спосіб підстановки).

Застосовується наступна формула:
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt ,
(4)
де x (t ) - диференційована функція ,
а
t - нова змінна.

14.

• Приклад 5 . Обчислити :
2x t
d (2 x) dt
cos2 xdx 2dx dt
1
dx dt
2
1
1
1
costdt sin t C sin 2 x C
2
2
2

15.

Приклад 6 . Обчислити :
1 3х t ,
d (1 3 x) dt
1
1 dt 1
1
(1 3x)7 dx 3dx dt , 3 t 7 3 ( 6t 6 ) C
1
dx dt
3
1
1
6 C
C
6
18t
18(1 3 x)

16.

Приклад 6 . Обчислити :
2 ln x 3 dx
3
x
t 2 ln x 3
1
3
2
t
dt
dt dx
2
x
1
1 4
4
t C 2 ln x 3 C
8
8

17. 3. Метод інтегрування частинами

udv uv vdu
(3)
Інтеграли І-го типу:
n
n x
x
sin
xdx
x
, де n 1,2...k ; e dx , де n 1,2...k ,
n 1
n
du
nx
dx , а,
x
u
вводять позначення:
, тоді
наприклад sin xdx dv ,тоді v cos x .
Інтеграли ІІ-го типу:
n
n
x
arctgxdx
x
, ln xdx , де n 0, 1, 2,... k .
позначають за u функцію arctgx , ln x , а за
dv беруть x n dx .

18.

udv uv vdu
Приклад 7. Обчислити x cos xdx .
Розв’язання.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

19.

Приклад 8. Обчислити
dx
u ln x, du
2
2
x
x
x dx
=
ln x
x ln xdx
2
2
2 x
x
dv xdx, v
2
2
2
2
x
1
x
1x
ln x xdx ln x
C
2
2
2
2 2
.
2
2
x
x
ln x С.
2
4

20.

Домашнє завдання:
- Опрацювати лекцію за посиланням:
https://drive.google.com/file/d/1aresnkQDQA
2Y9v5qCJMFjidEEUE2ScWL/view?usp=sha
ring ст. 97-102
- Розв’язати інтеграли:
1 6
а) 5 x 4 dx;
х
x
1
в)
dx;
3
(1 5 x)
б ) cos x sin xdx
7
г ) ( x 5) sin xdx.
English     Русский Правила