Інтегральне числення. Диференціальні рівняння

1.

Інтегральне
числення.
Диференціальні
рівняння.
1

2. ЗМІСТ

• Невизначений інтеграл.
• Властивості невизначеного інтеграла.
Визначений інтеграл.
• Формула Ньютона-Лейбніца.
• Властивості визначеного інтеграла.
• Основні поняття теорії
диференціальних рівнянь.
2

3. Невизначений інтеграл, його властивості і обчислення

Означення. Функція F(x) називається
первісною функції f(x) на деякому
проміжку, якщо F ( x) f ( x) для
кожного х з цього проміжку
Наприклад функція cosx являється
первісною для функції – sinx, тому що
(cos x) sin x
3

4. Первісна та невизначений інтеграл

Очевидно, якщо F(x) – первісна функції
f(x), то , де С –деяка постійна, також
являється первісною для функції f(x).
Якщо F(x) є будь – яка первісна для
функції f(x), то всяка функція виду
Ф(х)= також являється первісною для
функції f(x)
4

5. Первісна та невизначений інтеграл

Означення. Сукупність всіх
первісних функції
f(x),визначених на деякому
проміжку, називається
невизначеним інтегралом від
функції f(x) на цьому проміжку
і позначається
f ( x)dx
5

6. Первісна та невизначений інтеграл

Якщо F(x) – деяка первісна для функції
f(x), то пишуть f ( x)dx = F ( x) C , хоча
логічніше писати f ( x)dx = F ( x) C . Ми
по існуючих правилах будемо писати
f ( x)dx = F ( x) C . Таким чином один і
той же символ f ( x)dx буде визначати
як всю сукупність первісних функції
f(x), так і будь – який елемент цієї
множини
6

7. Властивості інтеграла, котрі випливають з означення

Первісна невизначеного інтегралу рівна
підінтегральній функції, а його
диференціал – його підінтегральному
виразу. Тобто:
1.( f ( x)dx) ( F ( x) C ) F ( x) f ( x);
2.d f ( x)dx ( f ( x)dx) dx f ( x)dx.
7

8. Властивості інтеграла, котрі випливають з означення

Невизначений інтеграл від неперервно
диференційованої функції дорівнює самій
цій функції з точністю до постійної.
d
(
x
)
( x)dx ( x) C,
Так як (х ) являється первісною для (х )
8

9. Властивості інтегралу

9

10. Таблиця невизначених інтегралів

1. dx x C .
a 1
x
2. x a dx
C, (a 1) .
a 1
dx
3. ln x C .
x
x
a
4. a x dx
C .
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8. 2 ctgx C .
sin x
dx
9. 2 tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x
10

11. Таблиця невизначених інтегралів

11.
dx
arcsin x C .
1 x 2
dx
1
x
12. 2 2 arctg C .
a
a
a x
13.
a2 x2
x
arcsin C ..
a
x2 a
ln x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
dx
1
x a
ln
C
2
2
2
a
x
a
x a
19.
dx
1
a x
ln
a 2 x 2 2a a x C .
20.
14.
15.
dx
dx
16.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C .
2
sh x
11

12. Методи інтегрування

• Метод інтегрування заміни
змінної.
• Метод інтегрування по частинах.
• Метод безпосереднього
інтегрування
12

13. Метод інтегрування заміни змінної.

Нехай потрібно знайти f ( x)dx , причому
безпосередньо підібрати первісну для ми не
f (x)
можемо, але нам відомо, що вона існує. Часто
вдається найти первісну, ввівши нову змінну, по
формулі:
f ( x) dx
(t )
1
t
dt
x (t ) де , а t - нова змінна
13

14. Метод інтегрування по частинах.

Цей метод заснований на формулі:
udv
uv
vdu
14

15. Метод безпосереднього інтегрування

Приклад. Обчислити
(х
2
3х х 1)dx
3
15

16. Визначений інтеграл.

n
f ( x ) x
i
i
Означення. Вираз i 1
, де
xi xi xi 1 , називається інтегральною
сумою функції f (x) на відрізку a,b .
16

17. Визначений інтеграл.

n
lim
f ( x ) x ,
Означення. Якщо існує max x 0 i 1 i i
яка не залежить ні від способу розбиття
відрізку a, b на частини, ні від вибору
точок xi xi 1 , xi , то така границя
називається визначеним інтегралом
функції f (x) на відрізку a, b і позначається
i
b
f ( x)dx
a
17

18. Властивості визначеного інтегралу

a
1. f x dx 0 ;
a
b
2. dx b a ;
a
b
a
3. f x dx f x dx ;
a
b
b
4. f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
a
b
b
a
a
18

19. Властивості визначеного інтегралу

b
b
a
b
a
5. Kf x dx K f x dx ;
c
b
a
c
6. f x dx f x dx f x dx ;
a
b
7. f x dx 0 , если f x 0 .
a
19

20. Обчислення визначеного інтегралу

Теорема. Нехай F (x) - первісна функції f (x)
b
Тоді
f ( x)dx F (b) F (a)
a
Цю формулу називають формулою Ньютона –
Лейбніца, з якої випливає, що для обчислення
визначеного інтегралу необхідно знайти
первісну від підінтегральної функції.
20

21.

21