Невизначений інтеграл, його властивості і обчислення

1. Невизначений інтеграл, його властивості і обчислення

1. Первісна і невизначений
інтеграл.
2. Властивості невизначеного
інтеграла.
Таблиця невизначених інтегралів.
3.Основні методи знаходження
невизначеного інтеграла.

2. Первісна і невизначений інтеграл

F (x )
Функція
називається первісною для функції
f (x) , якщо її похідна або
диференціал задовольняє умову
F ( x) f ( x) ,
або
dF ( x) f ( x)dx .
Визначення.

3. Первісна і невизначений інтеграл

Якщо
F (x)
кожна функція виду
є первісною для
f (x) ,
то і
F ( x) С також є первісною для
f (x) .
F ( x) C
F ( x) f ( x)
Для кожної неперервної на проміжку функції
існують первісні на цьому проміжку. Знаходження цих
первісних називається інтегруванням.
Сукупність усіх первісних для функції
f (x) називається невизначеним інтегралом від
функції
f (x) :
f ( x)dx F ( x) C .

4. Властивості невизначеного інтегралу

Похідна невизначеного інтегралу
дорівнює підінтегральній функції, а його
диференціал - підінтегральному виразу.
Дійсно:
1.( f ( x)dx) ( F ( x) C ) F ( x) f ( x);
2.d f ( x)dx ( f ( x)dx) dx f ( x)dx.

5. Властивості невизначеного інтегралу

Невизначений інтеграл від диференціала
неперервно диференційовної функції
дорівнює самій цій функції
3.
d ( x) ( x)dx ( x) C,
так як
(x )
є первісною для
(x).

6. Властивості невизначеного інтегралу

Сформулюємо далі наступні
властивості невизначеного інтегралу:
4.Якщо функції f1 x і f 2 x мають первісні, то
функція f1 x f 2 x також має первісну, при
цьому: f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx K f x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

7. Таблиця невизначених інтегралів

1. dx x C .
2.
3.
x n 1
.
x
dx
C
n 1
dx
x ln x C .
n
x
a
4. a x dx
C .
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8. 2 ctgx C .
sin x
dx
9. 2 tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x

8. Таблиця невизначених інтегралів

11.
12.
13.
dx
1 x
arcsin x C
15.
dx
1
a x
ln
a 2 x 2 2a a x C .
2
dx
1
x
arctg
C
a2 x2 a
a
dx
a2 x2
arcsin
x
C
a
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
14.
16.
dx
x2 a
ln x x 2 a C

9. Методи інтегрування

10. 1. Метод безпосереднього інтегрування

Приклад.
Обчислити
x
2
3x x 1 dx
3
Так як під знаком інтегралу знаходиться сума
чотирьох доданків, то розкладуємо інтеграл на
суму чотирьох інтегралів:
2
3
2
3
x 3 x x 1 dx x dx 3 x dx xdx dx .
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2

11. 2. Метод заміни змінної (спосіб підстановки).

Застосовується наступна формула:
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt ,
(4)
де x (t ) - диференційована функція ,
а
t - нова змінна.

12. Приклади

Приклад 1 . Обчислити :
2x t
d (2 x) dt
cos2 xdx 2dx dt
1
dx dt
2
1
1
1
costdt sin t C sin 2 x C
2
2
2

13. Приклади

Приклад 2 . Обчислити :
dx
x 4x 5
Рішення. Преобразімо x 2 4 x 5 ,
2
.
виділяючи повний квадрат по формулі a b 2 a 2 2ab b 2 .
Тоді отримаємо :
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x
t
2
x 2 2 1 dx dt
x2 4x 5
t 2 1
arctgt C arctg x 2 C.

14. Приклади

Приклад 3 . Обчислити :
1 x
x t, x t 2 ,
1 t
2tdt
2
1 x dx dx 2tdt
1 t
1 t 2 z,
tdt
t2
dz
1 t 2 1
2
2
dt
2
dt
1
2
2
2
z
1 t
1 t
1 t
2tdt dz, tdt dz
2
dt
dt
2
ln z 2 dt 2
ln( t 1) 2 dt 2
2
2
1 t
1 t
ln( t 2 1) 2t 2arctgt C ln( x 1) 2 x 2arctg x C.

15. 3. Метод інтегрування частинами

Цей метод засновано на формулі udv uv vdu (3)
Методом інтегрування частинами беруть такі
інтеграли:
а) x n sin xdx , де n 1,2...k ;
б) x n e x dx , де n 1,2...k ;
в) x n arctgxdx , де n 0, 1, 2,... k . ;
г) x n ln xdx , де n 0, 1, 2,... k .
При обчисленні інтегралів а) і б) вводять
позначення: x n u , тоді du nx n 1dx , наприклад
sin xdx dv ,тоді v cos x .
При обчисленні інтегралів в), г) позначають за u
функцію arctgx , ln x , а за dv беруть x n dx .

16. Приклади

Приклад 1. Обчислити x cos xdx .
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

17.

Приклади
Приклад 2. Обчислити
dx
u ln x, du
x
x2
x 2 dx
=
ln x
x ln xdx
2
2
2 x
x
dv xdx, v
2
2
2
2
x
1
x
1x
=
ln x xdx
ln x
C .
2
2
2
2 2